- •Раздел 1.
- •Раздел 1 «Элементы линейной алгебры»
- •Раздел 2. Элементы аналитической геометрии Домашняя самостоятельная работа № 2
- •Раздел 2 «Элементы аналитической геометрии»
- •Тема «Векторы. Операции над векторами»
- •Домашняя самостоятельная работа №3
- •Раздел 2 «Элементы аналитической геометрии» Тема: «Прямая линия на плоскости»
- •Раздел 3. Основы математического анализа Домашняя самостоятельная работа №1
- •Раздел 3 «Основы математического анализа »
- •Тема: «Теория пределов. Непрерывность»
- •Установить, является ли данная функция непрерывной или разрывной для каждого из данных значений аргумента;
- •В случае разрыва функции найти её пределы при приближении к точке разрыва слева и справа;
- •Сделать чертёж. ( 3 балла)
- •Методические указания по выполнению домашней самостоятельной работы №1 по теме 3.1.«Теория пределов. Непрерывность» пример решения типового варианта
- •Домашняя самостоятельная работа №2
- •Раздел 3 «Основы математического анализа »
- •Тема 3.2.: «Дифференциальное исчисление функции одной переменной»
- •Домашняя самостоятельная работа №3
- •Раздел 3 «Основы математического анализа »
- •Тема 3.3.: «Интегральное исчисление функции одной переменной. Неопределённый интеграл»
- •Образец выполнения контрольной работы по теме «Неопределённый интеграл»
- •Домашняя самостоятельная работа №4
- •Раздел 3 «Основы математического анализа »
- •Тема 3.3.: «Интегральное исчисление функции одной переменной. Определённый интеграл»
- •Образец выполнения
- •Домашняя самостоятельная работа №5
- •Раздел 3 «Основы математического анализа »
- •Тема 3.4.: «Дифференциальное исчисление функции нескольких переменных»
- •Раздел 3 «Основы математического анализа »
- •Тема 3.5.: «Интегральное исчисление функции нескольких переменных.»
- •Образец выполнения
- •Домашняя самостоятельная работа №7
- •Раздел 3 «Основы математического анализа »
- •Тема 3.6.: «Теория рядов.»
- •Образец выполнения
Раздел 3. Основы математического анализа Домашняя самостоятельная работа №1
Раздел 3 «Основы математического анализа »
Тема: «Теория пределов. Непрерывность»
№1. Вычислить пределы (3 балла).
№2. Вычислить пределы( 2 балла):
№ варианта |
а |
б |
1 |
|
|
2 |
|
|
3 |
|
|
4 |
|
|
5 |
|
|
6 |
|
|
7 |
|
|
8 |
|
|
9 |
|
|
10 |
|
|
№3. Найти точки разрыва функции и построить график(2 балла).
№4. Задана функция y=f(x) и два значения аргумента х1 и х2. Требуется:
Установить, является ли данная функция непрерывной или разрывной для каждого из данных значений аргумента;
В случае разрыва функции найти её пределы при приближении к точке разрыва слева и справа;
Сделать чертёж. ( 3 балла)
№ варианта |
Задание |
1 |
|
2 |
|
3 |
|
4 |
|
5 |
|
6 |
|
7 |
|
8 |
|
9 |
|
10 |
|
Максимальное количество баллов - 10.
Оценка «5» ставится, если вы набрали 10 баллов
Оценка «4» ставится, если вы набрали 8-9 баллов
Оценка «3» ставится, если вы набрали 6-7 баллов
Оценка «2» ставится, если вы набрали 5 и меньше баллов
Методические указания по выполнению домашней самостоятельной работы №1 по теме 3.1.«Теория пределов. Непрерывность» пример решения типового варианта
Задание 1. Найти предел функции
Решение: Имеем неопределенность вида . Для ее раскрытия разложим числитель и знаменатель на множители и сократим на общий множитель , который при не равен нулю. В результате неопределенность будет раскрыта.
Задание 2. Найти предел функции
Решение: Имеем неопределенность вида . Для ее раскрытия можно либо разделить числитель и знаменатель на наибольшую степень переменной x и учитывая, что величина обратная бесконечно большой величине есть бесконечно малая величина, раскроем исходную неопределенность, либо вынести переменную в наибольшей степени в числители и знаменатели дроби и сократить на наибольшую степень.
или
Задание 3. Найти предел функции
Решение: Имеем неопределенность вида . Раскрываем ее аналогично тому как это сделано в примере 2.
Задание 4. Найти предел функции
Решение: Имеем неопределенность вида . Раскрываем ее аналогично тому как это сделано в примере 2.
Задание 5. Найти предел функции
Решение: Имеем неопределенность вида . Для ее раскрытия умножим числитель и знаменатель на выражение сопряженное числителю, разложим выражение стоящее в знаменателе на множители по формуле разности кубов и сократим числитель и знаменатель на общий множитель , который при не равен нулю. В результате неопределенность будет раскрыта.
Задание 6. Найти предел функции
Решение: Имеем неопределенность вида . Для раскрытия этой неопределенности воспользуемся вторым замечательным пределом .
Задание 7. Найти предел функции
Решение: В данном примере при выяснении вида неопределенности видим, что таковой не имеется.
Имеем , тогда
Задание 8. Найти предел, используя эквивалентные бесконечно малые функции
Решение: Имеем неопределенность вида . Для ее раскрытия воспользуемся теоремой о замене бесконечно малых функций эквивалентными им бесконечно малыми. Так как и , то
Задание 9. Исследовать данную функцию на непрерывность и построить ее график
Решение:
Функция является неэлементарной, так как на разных интервалах представлена различными аналитическими выражениями. Эта функция определена на интервалах , где она задана непрерывными элементарными функциями. Внутри каждого интервала указанные элементарные функции не имеют точек разрыва, следовательно, разрыв возможен только в точках перехода от одного аналитического выражения к другому, т.е. в точках и .
Для точки имеем:
Так как , то функция в точке имеет разрыв первого рода.
Для точки находим:
Так как , то функция в точке имеет разрыв первого рода.
График данной функции изображен на рис. 3.
Рис. 3.
Задание 10. Исследовать данную функцию на непрерывность в указанных точках
Решение:
Для точки имеем:
т.е. в точке функция имеет разрыв второго рода (терпит бесконечный разрыв).
Для точки имеем:
Следовательно, в точке функция непрерывна.