6. Проекции скорости точки на неподвижные оси декартовых координат

Направленные отрезки принято называто также геометрическими векторами или просто векторами. Вектор как направленный отрезок мы будем по-прежнему записывать в тексте двумя большими латинскими буквами с общей чертовй наверху при условии, что первая из них обозначает начало, вторая - конец вектора. Наряду с этим мы будем также обозначать вектор одной малой латинской буквой полужирного шрифта, которая на чертежах ставится у конца стрелки, изображающей вектор (рис. 1, где изображен вектор а с началом А и концом В). Начало вектора часто будет называться таже его точкой приложения.

Векторы называются равными, если они имеют одинаковые длины, лежат на параллельных прямых или на одной прямой и направлены в одну сторону.

Число, равное длине вктора (при заданном масштабе), называется его модулем. Модуль вектора a обозначается символом   или а. Если  , то вектор   называется единичным.

Единичный вектор, имеющий одинаковое направление с данным вектором  , называется ортом вектора   и обозначается обычно символом  .Проекцией вектора   на ось u называется число, равное величине отрезка   оси u, где точка   является проекцией точки А на ось u, а   - проекцией точки В на эту ось.

Проекция вектора   на ось u обозначается символом  . Если вектор обозначен символом  , то его проекцию на ось u принято обозначать:  .

Проекция вектора   на ось u выражается через его модуль и угол   наклона к оси u формулой

.

Проекции произвольного вектора   на оси некоторой заданной системы координат в дальнейшем обозначаются буквами X, Y, Z. Равенство  ={X, Y, Z} означает, что числа X, Y, Z являются проекциями вектора на координатные оси. Вектор, для которого X=Y=Z=0, называется нулевым и обозначается  .

Проекции вектора на координатные оси называются также его (декартовыми) координатами. Если даны две точки  ( ,  ,  ) и  ( ,  ,  ), являющиеся соответственно началом и концом вектора  , то его координаты X, Y, Z определяются по формулам  ,  ,  .

Формула

 (2)

позволяет по координатам вектора определить его модуль.

Если  ,  ,   - углы, которые составляет вектор   с координатными осями (см. рис. 2), то  ,  ,   называются направляющими косинусами вектора  .

Вследствие формулы (1)

,  ,  .

Отсюда, и из формулы (2) следует, что

.

Последнее равенство позволяет определить один из углов  ,  ,  , если известны два других.

7. Годограф скорости точки и его уравнения.

Годограф

(Hodograph) — скорость движущейся точки есть векториальная величина (см. Вектор), изображаемая длиною, откладываемою от положения движущейся точки по направлению движения и заключающею в себе столько единиц длины и частей ее, сколько в изображаемой скорости заключается единиц скорости и частей ее. Чтобы составить наглядное представление об изменении величины и направления скорости при каком-либо криволинейном движении точки, Гамильтон (см.) предложил строить вспомогательную кривую, названную им Г. скорости; эта кривая образуется оконечностями векторов, изображающих скорости, отложенных от одной и той же неподвижной точки, напр. от начала координат.

Возьмем, напр., движение тяжелой материальной точки в среде, сопротивление которой движению пропорционально скорости. Это движение выражается уравнениями:

x = (a/k)(1 — f)

y = -(g/k)t + (1/k)(ß + g/k)(1 — f)

где f = е^-kt, а и ß — проекции начальной скорости v_o на оси Х и У, g — ускорение силы тяжести, действующей по направлению отрицательной оси У, k — коэффициент сопротивления среды. На прилагаемом чертеже изображены: траектория движущейся точки и Г. скорости.

Траектория, начинаясь в точке О, имеет наивысшую точку в M₁, где скорость параллельна оси Х; затем, опускаясь к оси Х, она наконец пересекает эту ось и после того асимптотически приближается к означенной прерывною чертою прямой, параллельной отрицательной оси У. Г. скорости есть прямая V_oV₃, начинающаяся в точке V_o — конце вектора OV_o, изображающего начальную скорость v_o, и кончающаяся в точкеV₃ — конце вектора OV₃, изображающего скорость g/k, к которой приближается скорость движущейся точки по мере возрастания t до бесконечности. По мере того, как движущаяся точка описывает траекторию, точка, описывающая Г., непрерывно перемещается от V_o к V₃. Радиус вектор OV₁ изображает скорость v₁ в наивысшей точке траектории, радиус вектор OV₂ — скорость в точке М₂, где касательная параллельна OV₂ и т. д.

Скорость точки, описывающей Г., определяет величину и направление ускорения движущейся точки (см. Ускорение). Способ построения Г. применяется в механике для различных целей и к другим непрерывно изменяющимся с течением времени векториальным величинам. Таковы Г. угловой скорости, главного момента количеств движений и проч.