53)В какой плоскости расположено ускорение точки и чему равны его проекции на естественные координатные оси?

Ускорение- векторная величина, равная первой производной от вектора скорости или второй производной от радиус-вектора точки во времени.

Представим скорость точки М в виде ,где v=v_t— проекция вектора v на ось (рис. 58). Дифференцируя это равенство по времени, получим:

.(44) Отсюда находим, что .

Кроме того, , где угол смежности. Отсюда находим, что и . Но , так как где p-радиус кривизны кривой в точке М. Следовательно, .Подставляя найденную величину в равенство(44), получим окончательно: .(46)

Таким образом, проекции ускорения на оси естественного трехгранника равны:

.Вектор называется тангенциальной или

касательной составляющей ускорения, а вектор — нормальной

составляющей (рис. 63). Модуль ускорения на основании равенств (46) будет: или .(48)Угол , между вектором w и главной нормалью определяется из уравнения (рис. 63) .(49)

По формулам (47) — (49) можно определить модуль и направление ускорения, если движение задано естественным способом, т. е.дана траектория (следовательно, известен радиус кривизны в каждой ее точке) и дан закон движения вдоль траектории в виде s = f(t).Вектор (или ось ) направляется в этом случае в сторону положительного отсчета расстояния s.

Рассуждая, как в случае прямолинейного движения, придем к выводу, что движение будет ускоренным(рис 64а), когда проекции векторов v и w на ось , т. е. величины имеют одинаковые знаки (угол между v и w острый),и замедленным(рис64б), когда эти знаки разные (угол между vи w тупой).Если в данный момент времени , то ускорение точки в этот момент направлено по главной нормали ( ).Если же в течение некоторого промежутка времени, то здесь скорость постоянна (движение- равномерное криволинейное), а ускорение, появляющееся за счет изменения вектора v по направлению, направлено вдоль главной нормали к траектории . Аналогично если в данный момент времени ,то вектор w в этот момент направлен по касательной к траектории( ).Полное ускорение точки в течение некоторого промежутка времени может быть равно нулю (w = 0), когда в течение этого промежутка и , т. е., как следует из

предыдущих рассуждений, когда точка в течение этого промежутка движется относительно выбранной системы отсчета равномерно и прямолинейно.

54)Что характеризуют собой касательное и нормальное ускорение точки?

Касательное и нормальное ускорения характеризуют собой равномерное и равнопеременное криволинейное движение. 1) Если во все время движения численная величина скорости постоянна, т. еV=V₀ = const, то криволинейное движение

называется равномерным. Из выражения , интегрируя, найдем закон равномерного криволинейного движения: s = s₀ + v₀t,где s₀—начальное расстояние точки (в момент f = 0).

2) Если касательное ускорение точки во все время движения постоянно, т.е , то криволинейное движение называется равнопеременным. Из выражения найдем закон изменения скорости в этом движении:

где v₀ — начальная скорость точки (в момент t = 0). Отсюда, принимая во внимание, что , получим закон равнопеременного криволинейного движения в виде

где s₀—начальное расстояние. От случая прямолинейного движения

отличается тем, что в него вместо х входит s, а вместо а — величина .

Нормальную проекцию ускорения, которую при круговом движении называют еще

центростремительным ускорением, получим, принимая во внимание, что радиус кривизны р =R(рис 66), в виде .Модуль ускорения точки в круговом движении будет:

.Угол , который образует ускорение W с радиусом, определяется из равенства .Если v = const, то ускорение в круговом движении будет

направлено по радиусу, так как тангенциальное ускорение в этом случае равно нулю.