5. Приложение 1.

Базовые неравенства.

1). Неравенство Коши. (Неравенство между средним арифметическим и средним

геометрическим двух неотрицательных чисел).

Если

Равенство достигается только при a = b. Если же

2). Неравенство Коши для n переменных.

Равенство достигается только при а₁=а₂= …. =а_n .

3).

Равенство достигается только при а = 1.

4).

Равенство достигается только при а = -1.

5). .

6). .

Равенство достигается при а =b.

7). .

8). .

Равенство достигается только при

9).

Приложение 2.

Таблица.

Использование свойств функций при решении уравнений.

Теорема 1. Если одна из функций y=f(x), y=g(x) убывает, а другая возрастает на промежутке Х, то на этом промежутке уравнение f(x)=g(x) имеет не более одного корня.

Теорема 2. Если f(x) возрастает на Х (или f(x) убывает на Х), то уравнение f(x)=C, где C=const, на Х имеет не более одного корня.

Теорема 3. Если , то

Теорема 4. Если кривая y=f(x) выпуклая на Х, а кривая y=g(x) вогнутая на Х, то на промежутке Х уравнение f(x)=g(x) имеет не более двух корней.

Теорема 5. Пусть уравнение f(x) =0 имеет конечное число корней. Если y=f(x) — чётная (нечётная) функция, то уравнение f(x)=0 имеет чётное число корней тогда и только тогда, когда f(0)  0; и имеет нечётное число корней тогда и только тогда, когда f(0)=0.

Литература.

1. Саакян С. М., Гольдман А. М. , Денисов Д.В.

Задачи по алгебре и началам анализа. Пособие для учащихся 10-11 классов общеобразовательных учреждений.

«Просвещение», «Учебная литература», Москва, 1997 .

2. Вавилов В. В., Мельников И.И., Олехник С.Н., Пасиченко П.И.

Задачи по математике. Начала анализа.

Москва , «Наука». Главная редакция физико-математической литературы, 1990.

3. Дорофеев Г., Потапов М., Розов Н.

Математика. Для поступающих в вузы.

Дрофа, Москва, 2001.

4. Кутасов А. Д., Пиголкина Т. С., Чехлов В. И., Яковлева Т. Х.

Пособие по математике для поступающих в вузы. Под редакцией Г. Н. Яковлева.

Москва, «Наука». Главная редакция физико-математической литературы, 1988.

5. Кравцев С. В., Макаров Ю. Н., Максимов В. Ф., Нараленков М. И.,

Чирский В. Г.

Методы решения задач по алгебре: от простых до самых сложных.

Издательство «Экзамен», Москва, 2003.

6. Мордкович А. Г.

Беседы с учителями математики. Учебно – методическое пособие.

Москва, ООО «Издательский дом «ОНИКС 21 век», ООО « Издательство « Мир и образование», 2005.

7. Литвиненко В. Н., Мордкович А. Г.

Практикум по элементарной математике. Алгебра. Тригонометрия. Учебное пособие для студентов физико – математических специальностей педагогических институтов и учителей.

Москва, « Просвящение», 1991.

21