- •1. Задача, о площади криволинейной трапеции приводящая к понятию определенного интеграла.
- •2. Классы интегрируемых функций.
- •3. Теорема об определенном интеграле с переменным верхним пределом
- •4. Теорема Лейбница – Ньютона.
- •5. Теорема об интегрировании по частям
- •6. Теорема о замене переменной в определенном интеграле
- •7. Вывод формулы вычисления площади плоской фигуры (в декартовой системе координат)
- •8. Вывод формулы вычисления длины дуги (в декартовой системе координат)
- •9. Вывод формулы вычисления объема тела вращения относительно оси ox и oy (в декартовой системе координат).
- •10. Теорема об абсолютной сходимости несобственного интеграла 1-го рода
- •11. Сформулируйте и докажите свойства решений олду.
- •12. Теорема о равенстве нулю вронскиана линейно-зависимых функций (необх. Усл. Л.З.).
- •13. Теорема о структуре общего решения лоду
- •14. Теорема о структуре общего решения лнду
- •15. Теорема о суперпозиции решений (принцип сложения решений)
- •16. Метод вариации произвольных постоянных – метод Лагранжа
- •17. Необходимый признак сходимости.
- •18. Критерий сходимости рядов с неотрицательными членами.
- •19. Предельный признак сравнения для рядов с неотрицательными членами.
- •20. Признак Даламбера.
- •21. Радикальный признак Коши.
- •22. Абсолютная и условная сходимость. Достаточный признак сходимости знакопеременных рядов.
- •23. Степенные ряды. Теорема Абеля. Радиус сходимости.
- •24.Тригонометрический ряд Фурье. Нахождение коэффициентов для четных и нечетных функций.
- •25. Нахождение коэффициентов для тригонометрического р. Фурье (теорему док).
- •1. Понятие первообразной. Свойства первообразной.
- •2. Понятие неопределенного интеграла. Свойства неопределенного интеграла.
- •3. Методы вычисления неопределенного интеграла: метод подстановки (замены переменной),
- •4.Интегрирование рациональных функций.
- •7. Интегрирование иррациональных функций.
- •9. Понятие интегральной суммы.
- •10. Понятие определённого интеграла. Геометрический смысл определенного интеграла
- •11. Необходимый признак интегрируемости функции по Риману. Функция Дирихле.
- •12. Свойства определенного интеграла. Теорема о среднем.
- •13. Свойства линейности и аддитивности определённого интеграла.
- •14. Свойства определенного интеграла, выраженные неравенствами
- •15. Интегралы с переменным верхним пределом.
- •16. Объем тела вращения с заданным поперечным сечением
- •18. Понятие несобственного интеграла II рода
- •19. 20. Признаки сравнения (для несобственного интеграла I и II рода.)
- •21. Свойства определенного интеграла от чет. И нечт. Функции на симметричном промежутке.
- •22. Понятие общего решения дифференциального уравнения первого порядка, частное решение, начальные условия, задача Коши.
- •2 3. Теорема о существовании и единственности решения ду в полных дифференциалах.
- •24. О пределитель Вронского.
- •25. Линейные однородные дифференциальные уравнения n-го порядка с постоянными коэффициентами. Вид частных решений, характеристическое уравнение
- •26.Теорема о существовании и единственности решения задачи Коши д.У. Порядка выше первого.
- •27. Числовой ряд. Основные понятия и определения: определение числового ряда, n-ой
- •28. Интегральный признак Коши.
- •29. Знакочередующиеся ряды. Теорема Лейбница.
- •30. Равномерная сходимость функционального ряда.
- •31. Теорема и признак Вейерштрасса:
- •32. Свойство равномерно сходящихся функциональных рядов.
- •33. Ортогональная система функций:
- •34. Теорема Дирихле. Условия Дирихле.
- •35. Степенные ряды. Область сходимости. Радиус сходимости.
- •36. Ряд Тейлора, область сходимости. Достаточный признак сходимости ряда Тейлора.
- •37. Ряды Маклорена
- •38. Тригонометрический ряд Фурье
7. Интегрирование иррациональных функций.
прием выделения полного квадрата и замены полного квадрата на новую переменную
подстановка:
подстановка:
подстановка:
, где a, b, g …– дробные рациональные числа. Рационализация проводится подстановкой: , где s – наименьшее общее кратное a, b, g
, где a, b, g …– дробные рациональные числа. Рационализация проводится подстановкой: , где s – наименьшее общее кратное a, b, g
Выражение вида где (m,n,p,a,b) – const, называется дифференциальным биномом, интеграл от него решается при помощи подстановки Чебышева.
8. Интегрирование дифференциального бинома. Теорема
И нтеграл вида , где m, n, p – рациональные числа
выражается через элементарные функции только в следующих случаях:
p < 0 – целое Þ x = t s, d x = s t s-1 d t , s – нок знаменателей m и n;
– целое Þ , s – знаменатель дроби
p = к/s, ;
– целое Þ ,
s – знаменатель дроби p= к/s,
9. Понятие интегральной суммы.
Пусть на отрезке [a,b] определена вещественнозначная функция f.
Рассмотрим разбиение отрезка — конечное множество попарно различных точек отрезка . Это разбиение делит отрезок[a,b] на n отрезков . Длина наибольшего из отрезков d = max(Δxi), называется диаметром разбиения, где Δxi = xi − xi − 1.
Отметим на каждом отрезке разбиения по точке . Интегральной суммой называется выражение .
10. Понятие определённого интеграла. Геометрический смысл определенного интеграла
Определенным интегралом от функции у= на называется конечный предел соответствующей интегральной суммы при неограниченном увеличении числа разбиений промежутка на части (noo) и стремлении длин всех частичных промежутков к нулю (хi 0)
если предел конечен и не зависит от разбиений и выбора точки
, где - подынтегральная функция.
-подынтегральное выражение.
а- нижний предел интегрирования.
в- верхний предел интегрирования.
d- длина наибольшего из отрезков разбиения.
Геометрический смысл интеграла - это площадь криволинейной трапеции, ограниченной линиями , y=0, x=a, x=b, на [a, b].
11. Необходимый признак интегрируемости функции по Риману. Функция Дирихле.
Признак Римана (теоретически). Для существующего определённого интеграла необходимо и достаточно, чтобы
Функция Дирихле — функция , принимающая значение 1, если аргумент есть рациональное число, и значение 0, если аргумент есть иррациональное число,
.
Функция Дирихле — пример функции не интегрируемой в смысле Римана.
12. Свойства определенного интеграла. Теорема о среднем.
Основные свойства определенного интеграла.
,
, где c-const,
Определенный интеграл от ф-ий:
Адитивность определенного интеграла
Если , то
Монотонность определенного интеграла. если , то
Ограниченность.
Оценка определенного интеграла. Пусть f(х) интегрируема на [a,b], a<b, , Теорема о среднем: Если f(х) непрерывна на [a,b], то существует точка , такая что , где -среднее значение.