- •1. Задача, о площади криволинейной трапеции приводящая к понятию определенного интеграла.
- •2. Классы интегрируемых функций.
- •3. Теорема об определенном интеграле с переменным верхним пределом
- •4. Теорема Лейбница – Ньютона.
- •5. Теорема об интегрировании по частям
- •6. Теорема о замене переменной в определенном интеграле
- •7. Вывод формулы вычисления площади плоской фигуры (в декартовой системе координат)
- •8. Вывод формулы вычисления длины дуги (в декартовой системе координат)
- •9. Вывод формулы вычисления объема тела вращения относительно оси ox и oy (в декартовой системе координат).
- •10. Теорема об абсолютной сходимости несобственного интеграла 1-го рода
- •11. Сформулируйте и докажите свойства решений олду.
- •12. Теорема о равенстве нулю вронскиана линейно-зависимых функций (необх. Усл. Л.З.).
- •13. Теорема о структуре общего решения лоду
- •14. Теорема о структуре общего решения лнду
- •15. Теорема о суперпозиции решений (принцип сложения решений)
- •16. Метод вариации произвольных постоянных – метод Лагранжа
- •17. Необходимый признак сходимости.
- •18. Критерий сходимости рядов с неотрицательными членами.
- •19. Предельный признак сравнения для рядов с неотрицательными членами.
- •20. Признак Даламбера.
- •21. Радикальный признак Коши.
- •22. Абсолютная и условная сходимость. Достаточный признак сходимости знакопеременных рядов.
- •23. Степенные ряды. Теорема Абеля. Радиус сходимости.
- •24.Тригонометрический ряд Фурье. Нахождение коэффициентов для четных и нечетных функций.
- •25. Нахождение коэффициентов для тригонометрического р. Фурье (теорему док).
- •1. Понятие первообразной. Свойства первообразной.
- •2. Понятие неопределенного интеграла. Свойства неопределенного интеграла.
- •3. Методы вычисления неопределенного интеграла: метод подстановки (замены переменной),
- •4.Интегрирование рациональных функций.
- •7. Интегрирование иррациональных функций.
- •9. Понятие интегральной суммы.
- •10. Понятие определённого интеграла. Геометрический смысл определенного интеграла
- •11. Необходимый признак интегрируемости функции по Риману. Функция Дирихле.
- •12. Свойства определенного интеграла. Теорема о среднем.
- •13. Свойства линейности и аддитивности определённого интеграла.
- •14. Свойства определенного интеграла, выраженные неравенствами
- •15. Интегралы с переменным верхним пределом.
- •16. Объем тела вращения с заданным поперечным сечением
- •18. Понятие несобственного интеграла II рода
- •19. 20. Признаки сравнения (для несобственного интеграла I и II рода.)
- •21. Свойства определенного интеграла от чет. И нечт. Функции на симметричном промежутке.
- •22. Понятие общего решения дифференциального уравнения первого порядка, частное решение, начальные условия, задача Коши.
- •2 3. Теорема о существовании и единственности решения ду в полных дифференциалах.
- •24. О пределитель Вронского.
- •25. Линейные однородные дифференциальные уравнения n-го порядка с постоянными коэффициентами. Вид частных решений, характеристическое уравнение
- •26.Теорема о существовании и единственности решения задачи Коши д.У. Порядка выше первого.
- •27. Числовой ряд. Основные понятия и определения: определение числового ряда, n-ой
- •28. Интегральный признак Коши.
- •29. Знакочередующиеся ряды. Теорема Лейбница.
- •30. Равномерная сходимость функционального ряда.
- •31. Теорема и признак Вейерштрасса:
- •32. Свойство равномерно сходящихся функциональных рядов.
- •33. Ортогональная система функций:
- •34. Теорема Дирихле. Условия Дирихле.
- •35. Степенные ряды. Область сходимости. Радиус сходимости.
- •36. Ряд Тейлора, область сходимости. Достаточный признак сходимости ряда Тейлора.
- •37. Ряды Маклорена
- •38. Тригонометрический ряд Фурье
23. Степенные ряды. Теорема Абеля. Радиус сходимости.
Функциональные ряды вида , где an, z, z0 – комплексные числа, называются степенными рядами. Числа an, n=0,1,2…называются коэффициентами степенного ряда.
Т. Абеля. Если степенной ряд (1) сходится при z=z0, то он сходится и при том абсолютно при любом z, у которого .
Доказательство. Пусть ряд (2) сходится, тогда его n-ый член стремиться к нулю при и поэтому последовательность
{ } ограничена, т.е. существует такая постоянная M>0, что , а n=0,1,2… В силу этого для n-го члена ряда (1) получается следующая оценка: . Если , то ряд , являясь геометрической прогрессией со знаменателем <1, сходится. Поэтому по признаку сравнения сходится и ряд , а это означает абсолютную сходимость ряда (1) при . Теорема доказана.
У всякого степенного ряда существует радиус сходимости R. В круге сходимости, т.е. при любом z, у которого , ряд сходится абсолютно. На любом круге , где r фиксировано и r<R, ряд сходится равномерно. Пусть R- радиус сходимости степенного ряда , тогда R = .
24.Тригонометрический ряд Фурье. Нахождение коэффициентов для четных и нечетных функций.
Рядом Фурье для периодической с периодом Т=2п функции у=f(x), определенной на интервале [-п,п], называется тригонометрический ряд. (1)
Коэффициенты и находятся по формулам Фурье Для четной периодической функции все коэффициенты и ряд Фурье будет рядом по косинусам
Для нечетной периодической функции коэффициенты и ряд Фурье будет рядом по синусам
25. Нахождение коэффициентов для тригонометрического р. Фурье (теорему док).
Теорема: Если ф-ия определена на и разлагается в тригонометрический ряд (*), к-е можно почленно интегрировать, то это разложение единственное.
Доказательство: Умножим обе части (*) на , проинтег-ем на . Аналогично умножим (*) на и проинтег-ем. . Умножим (*) на и проинтег-ем на Коэфф-ты рав-ва (*) опр-ся единственным образом такое разложение единственное , , , Теорема доказана.
1. Понятие первообразной. Свойства первообразной.
Определение. Функция F(x) называется первообразной функции f(x) на (a;b), если для x (a;b) выполняется равенство F’(x)’=f(x)
Т. (о первообразных). Все первообразные для данной функции отличаются на постоянное слагаемое.
Это значит, что ели F(x) есть какая-либо первообразная для функции f(x), то все бесконечное множество ее первообразных можно записать одним выражением F(x)+C.
Для того, чтобы 2 функции были дифференцируемы на Т или были первообразными одной и той же функции необходимо и достаточно, чтобы на этом промежутке эти 2 функции отличались на константу.
F(x)-G(x)=C
Совокупность всех ее (функция f задана на Т) первообразных называется неопределенным интегралом.
Обозначается
f(x)-подынтегральная функция
f(x)dx-подынтегральное выражение
∫ - знак неопределенного интеграла