1. Прямое и обратное преобразование Лапласа. Изображение производных от переменных состояния при нулевых и ненулевых начальных условиях.

Рис. 4.2.6.

Допустим, что функция s(t) задана на интервале (0, ), равна нулю при t<0, а интеграл спектральной функции расходится. Умножим s(t) на экспоненциальную функцию , где - положительная константа, и выберем значение таким, чтобы произведение удовлетворяло условию абсолютной интегрируемости. Сущность данной операции хорошо видна на рис. 4.2.6 . Интегрируемость функции u(t) может быть установлена для любой функции s(t) соответствующим выбором коэффициента . При этом спектральная плотность функции u(t) может быть вычислена по формуле (4.2.2):

После объединения экспоненциальных функций это выражение можно переписать следующим образом: (4.2.10)

Соответствующее обратное преобразование Фурье функции :

Для восстановления функции s(t) достаточно умножить обе части данного выражения на , объединить экспоненциальные множители под интегралом и заменить переменную интегрирования на :

Обозначим комплексную переменную в выражениях (4.2.10,4.2.11) через р (оператор Лапласа) и получим общепринятую форму прямого и обратного преобразования Лапласа:

(4.2.10')

где некоторое вещественное число.

Сигнальную функцию s(t) в преобразованиях Лапласа обычно называют оригиналом, а ее спектральную функцию S(p) - изображением оригинала.

При нулевых начальных условия функции будут иметь вид:

При – площадь сигнала.

При

2. Прямое и обратное преобразование Фурье. Связь изображений по Лапласу с изображениями по Фурье.

Формула прямого преобразования Фурье:

Формула обратного преобразования Фурье:

Связь изображений по Лапласу с изображениями по Фурье:

Непрерывное преобразование Фурье эквивалентно двустороннему преобразованию Лапласа с комплексным аргументом :

(не уверена в последней формуле, к тому же буквы могу меняться в зависимости от источников)

3. Вывод системы дифференциальных уравнений (СДУ), описывающих динамику нагруженного LCR-ФНЧ 2 порядка.

.

Согласно первому закону Кирхгофа ток катушки индуктивности расщепляется на ток конденсатора и ток нагрузки :

.

Известно, что ток конденсатора определяется как , а ток нагрузки по закону Ома выразим как .

С учетом данных выражений система дифференциальных уравнений, описывающих состояния ФНЧ, выглядит следующим образом:

.

Применим к полученной системе дифференциальных уравнений прямое преобразование Лапласа, получим систему алгебраических уравнений в изображениях и проведем алгебраические преобразования:

,

где s – оператор Лапласа.