- •1. Задача, о площади криволинейной трапеции приводящая к понятию определенного интеграла.
- •2. Классы интегрируемых функций.
- •3. Теорема об определенном интеграле с переменным верхним пределом
- •4. Теорема Лейбница – Ньютона.
- •5. Теорема об интегрировании по частям
- •6. Теорема о замене переменной в определенном интеграле
- •7. Вывод формулы вычисления площади плоской фигуры (в декартовой системе координат)
- •8. Вывод формулы вычисления длины дуги (в декартовой системе координат)
- •9. Вывод формулы вычисления объема тела вращения относительно оси ox и oy (в декартовой системе координат).
- •10. Теорема об абсолютной сходимости несобственного интеграла 1-го рода
- •11. Сформулируйте и докажите свойства решений олду.
- •12. Теорема о равенстве нулю вронскиана линейно-зависимых функций (необх. Усл. Л.З.).
- •13. Теорема о структуре общего решения лоду
- •14. Теорема о структуре общего решения лнду
- •15. Теорема о суперпозиции решений (принцип сложения решений)
- •16. Метод вариации произвольных постоянных – метод Лагранжа
- •17. Необходимый признак сходимости.
- •18. Критерий сходимости рядов с неотрицательными членами.
- •19. Предельный признак сравнения для рядов с неотрицательными членами.
- •20. Признак Даламбера.
- •21. Радикальный признак Коши.
- •22. Абсолютная и условная сходимость. Достаточный признак сходимости знакопеременных рядов.
- •23. Степенные ряды. Теорема Абеля. Радиус сходимости.
- •24.Тригонометрический ряд Фурье. Нахождение коэффициентов для четных и нечетных функций.
- •25. Нахождение коэффициентов для тригонометрического р. Фурье (теорему док).
- •1. Понятие первообразной. Свойства первообразной.
- •2. Понятие неопределенного интеграла. Свойства неопределенного интеграла.
- •3. Методы вычисления неопределенного интеграла: метод подстановки (замены переменной),
- •4.Интегрирование рациональных функций.
- •7. Интегрирование иррациональных функций.
- •9. Понятие интегральной суммы.
- •10. Понятие определённого интеграла. Геометрический смысл определенного интеграла
- •11. Необходимый признак интегрируемости функции по Риману. Функция Дирихле.
- •12. Свойства определенного интеграла. Теорема о среднем.
- •13. Свойства линейности и аддитивности определённого интеграла.
- •14. Свойства определенного интеграла, выраженные неравенствами
- •15. Интегралы с переменным верхним пределом.
- •16. Объем тела вращения с заданным поперечным сечением
- •18. Понятие несобственного интеграла II рода
- •19. 20. Признаки сравнения (для несобственного интеграла I и II рода.)
- •21. Свойства определенного интеграла от чет. И нечт. Функции на симметричном промежутке.
- •22. Понятие общего решения дифференциального уравнения первого порядка, частное решение, начальные условия, задача Коши.
- •2 3. Теорема о существовании и единственности решения ду в полных дифференциалах.
- •24. О пределитель Вронского.
- •25. Линейные однородные дифференциальные уравнения n-го порядка с постоянными коэффициентами. Вид частных решений, характеристическое уравнение
- •26.Теорема о существовании и единственности решения задачи Коши д.У. Порядка выше первого.
- •27. Числовой ряд. Основные понятия и определения: определение числового ряда, n-ой
- •28. Интегральный признак Коши.
- •29. Знакочередующиеся ряды. Теорема Лейбница.
- •30. Равномерная сходимость функционального ряда.
- •31. Теорема и признак Вейерштрасса:
- •32. Свойство равномерно сходящихся функциональных рядов.
- •33. Ортогональная система функций:
- •34. Теорема Дирихле. Условия Дирихле.
- •35. Степенные ряды. Область сходимости. Радиус сходимости.
- •36. Ряд Тейлора, область сходимости. Достаточный признак сходимости ряда Тейлора.
- •37. Ряды Маклорена
- •38. Тригонометрический ряд Фурье
27. Числовой ряд. Основные понятия и определения: определение числового ряда, n-ой
частичной суммы, сходящегося и расходящегося ряда.
П усть дана последовательность вещественных чисел {a1, a2, a3, …, an, …} .
Определение. Выражение a1 + a2 + a3 + …+ an +… называется числовым рядом и обозначается
При этом: числа a1, a2, a3, …, an, … – называются членами ряда; an – называют общим членом ряда (или n-м членом ряда). По заданной последовательность чисел {a1, a2, a3, …, an, …} построим последовательность
S1 = a1, S2 = a1 + a2, S3 = a1 + a2+ a3, …, S n = a1 + a2+ a3+ …+ an, …
Определение. Числа S1 , S2 , S3 , …, S n , … называются частными суммами числового ряда.
Определение. Если предел существует и конечен, то говорят, что числовой ряд сходится, а само значение предела, то есть величину S, называют суммой числового ряда. Если этот предел не существует или бесконечен, то говорят, что числовой ряд расходится.
28. Интегральный признак Коши.
Пусть дан ряд , члены этого ряда являются непрерывной функцией
g(x) при целых х и пусть функция g(x) является убывающей на промежутке ,
тогда ряд сходится, если сходится несобственный интеграл ,
и расходится, если расходится ;
29. Знакочередующиеся ряды. Теорема Лейбница.
Знакочередующиеся ряды - это ряды, члены которых поочерёдно то положительны, то отрицательны.
Теорема Лейбница.
Если =0 (1) и un un+1>0, n=1,2,…,(2) то знакочередующийся ряд
(3) сходится.
30. Равномерная сходимость функционального ряда.
Функциональный ряд un(x) называется равномерно сходящимся в некоторой области x, если для каждого сколь угодно малого числа >0 найдётся такое целое положительное число N( ), что при n>N выполняется неравенство = < для всех x из области X.
При этом сумма S(x) равномерно сходящегося функционального ряда есть непрерывная функция.
Достаточным признаком равномерности сходимости является - Признак Вейерштрасса.
31. Теорема и признак Вейерштрасса:
Признак Вейерштрасса.
Если члены функционального ряда U1(x)+U2(x)+…+Un(x)+… по абсолютной величине не превышают в некоторой области соответствующих членов сходящегося знакоположительного ряда a1+ a2+…+an+…, т.е.
|U1(x)| a1, |U2(x)| a2, |U3(x)| a3, … |Un(x)| an, …
То функциональный ряд в области сходиться абсолютно и равномерно (правильно).
Знакоположительный числовой ряд называется мажорирующим рядом или мажорантой для данного функционального ряда.
Т. Вейерштрасса. Если существует такая числовая последовательность {an}, что =0, аn (1),
(2) для всех n=1,2… и всех х , то последовательность { } равномерно на E сходится к функции .
Доказательство. В силу условия (1) для любого существует такой номер , что an< для всех . Но тогда в силу условия (2) для всех и всех х , а это и означает равномерную сходимость последовательности { } к функции на множестве Е.
32. Свойство равномерно сходящихся функциональных рядов.
1) Сумма правильно сходящегося ряда есть функция непрерывная в области сходимости.
Свойства почленного дифференцирования и интегрирования правильно сходящихся рядов.
2) Если ряд сходится равномерно к некоторой непрерывной функции S(x), и ряд из производных так же равномерно сходится, то его сумма S*(x) равна производной от суммы исходного ряда S*(x) = =( )'= S'(x)
3) Если ряд сходится равномерно к некоторой непрерывной функции S(x), то ряд полученый из данного путем почленного интерирования равномерно сходится и имеет сумму S**(x), равную интегралу от суммы исходного ряда
S**(x)= = =