- •1. Задача, о площади криволинейной трапеции приводящая к понятию определенного интеграла.
- •2. Классы интегрируемых функций.
- •3. Теорема об определенном интеграле с переменным верхним пределом
- •4. Теорема Лейбница – Ньютона.
- •5. Теорема об интегрировании по частям
- •6. Теорема о замене переменной в определенном интеграле
- •7. Вывод формулы вычисления площади плоской фигуры (в декартовой системе координат)
- •8. Вывод формулы вычисления длины дуги (в декартовой системе координат)
- •9. Вывод формулы вычисления объема тела вращения относительно оси ox и oy (в декартовой системе координат).
- •10. Теорема об абсолютной сходимости несобственного интеграла 1-го рода
- •11. Сформулируйте и докажите свойства решений олду.
- •12. Теорема о равенстве нулю вронскиана линейно-зависимых функций (необх. Усл. Л.З.).
- •13. Теорема о структуре общего решения лоду
- •14. Теорема о структуре общего решения лнду
- •15. Теорема о суперпозиции решений (принцип сложения решений)
- •16. Метод вариации произвольных постоянных – метод Лагранжа
- •17. Необходимый признак сходимости.
- •18. Критерий сходимости рядов с неотрицательными членами.
- •19. Предельный признак сравнения для рядов с неотрицательными членами.
- •20. Признак Даламбера.
- •21. Радикальный признак Коши.
- •22. Абсолютная и условная сходимость. Достаточный признак сходимости знакопеременных рядов.
- •23. Степенные ряды. Теорема Абеля. Радиус сходимости.
- •24.Тригонометрический ряд Фурье. Нахождение коэффициентов для четных и нечетных функций.
- •25. Нахождение коэффициентов для тригонометрического р. Фурье (теорему док).
- •1. Понятие первообразной. Свойства первообразной.
- •2. Понятие неопределенного интеграла. Свойства неопределенного интеграла.
- •3. Методы вычисления неопределенного интеграла: метод подстановки (замены переменной),
- •4.Интегрирование рациональных функций.
- •7. Интегрирование иррациональных функций.
- •9. Понятие интегральной суммы.
- •10. Понятие определённого интеграла. Геометрический смысл определенного интеграла
- •11. Необходимый признак интегрируемости функции по Риману. Функция Дирихле.
- •12. Свойства определенного интеграла. Теорема о среднем.
- •13. Свойства линейности и аддитивности определённого интеграла.
- •14. Свойства определенного интеграла, выраженные неравенствами
- •15. Интегралы с переменным верхним пределом.
- •16. Объем тела вращения с заданным поперечным сечением
- •18. Понятие несобственного интеграла II рода
- •19. 20. Признаки сравнения (для несобственного интеграла I и II рода.)
- •21. Свойства определенного интеграла от чет. И нечт. Функции на симметричном промежутке.
- •22. Понятие общего решения дифференциального уравнения первого порядка, частное решение, начальные условия, задача Коши.
- •2 3. Теорема о существовании и единственности решения ду в полных дифференциалах.
- •24. О пределитель Вронского.
- •25. Линейные однородные дифференциальные уравнения n-го порядка с постоянными коэффициентами. Вид частных решений, характеристическое уравнение
- •26.Теорема о существовании и единственности решения задачи Коши д.У. Порядка выше первого.
- •27. Числовой ряд. Основные понятия и определения: определение числового ряда, n-ой
- •28. Интегральный признак Коши.
- •29. Знакочередующиеся ряды. Теорема Лейбница.
- •30. Равномерная сходимость функционального ряда.
- •31. Теорема и признак Вейерштрасса:
- •32. Свойство равномерно сходящихся функциональных рядов.
- •33. Ортогональная система функций:
- •34. Теорема Дирихле. Условия Дирихле.
- •35. Степенные ряды. Область сходимости. Радиус сходимости.
- •36. Ряд Тейлора, область сходимости. Достаточный признак сходимости ряда Тейлора.
- •37. Ряды Маклорена
- •38. Тригонометрический ряд Фурье
8. Вывод формулы вычисления длины дуги (в декартовой системе координат)
Пусть дуга – это график некоторой функцией f(x), заключенный между x = a, x = b. Пусть f(x) – определена на [a; b]. Разобьем [a; b] на n частей произвольным образом. Обозначим Δxk = xk – xk – 1. Через точки xi проведем вертикальные линии, параллельные Oy. Обозначим точки пересечения графика с этими линиями M1, M2, … , Mn-1 и соединим их. Длина ломанной , где .
По теореме Лагранжа:
Если дуга задана параметрически, то:
9. Вывод формулы вычисления объема тела вращения относительно оси ox и oy (в декартовой системе координат).
Пусть задано тело, ограниченное замкнутой поверхностью, известно S любого сечения плоскостью, перпендик. к OX –(поперечное)
1 . Разбив отрезок [a,b] на n частей a=Xₒ<X₁<X₂...<Xn=b
Обозначим ΔXk=Xk-Xk-1 , k=1,n
λ=max[a,b]{ΔXk}, через xk проводим поперечное сечение
2. Выберем ξk [xk-1, xk] произвольно и найдем S(ξk); каждый слой тела Т представляет собой цилиндр с основанием S(ξk) и высотой ΔXk
ΔVk= S(ξk) ΔXk
V=
V =
Вычисление объема тела вращения: Рассмотрим тело, образованное вращением вокруг оси Ox криволинейной трапеции aABb ограниченной кривой y=f(x), осью Ox и x = a, y = b
1. Рассмотрим произвольное разбиение [a,b] x0 = a < x1< x2<… < xn = b
обозначим Δxk = xk-xk-1
2. Пересекаем тело вращения плоскостями перпендикулярными Ox и получи круги, радиусы которых равны |yk|=|f(xk)| На каждом [xk-1- xk] выберем произвольным образом ξk S(ξk)= πf2(ξk) (S=πR2)
3. Предположим на любом частном отрезке ф-ия S=S(x) совпадает с S(ξk). Тогда объем частичного цилиндра: ΔVk = S(ξk)Δxk = πf2(ξk)Δxk
4.
10. Теорема об абсолютной сходимости несобственного интеграла 1-го рода
Несобственный интеграл первого или второго рода называется абсолютно сходящимся, если сходиться интеграл, составленный из модулей ; несобственный интеграл называется условно сходящимся, если он сходиться, но не абсолютно ( -расходиться).
Теорема:
Если несобственный интеграл абсолютно сходиться, то он просто сходиться.
Доказательство:
Пусть - сходиться, рассмотрим 2 вспомогательные операции:
(*)
;
сх-ся сх-ся сх-ся сх-ся
Из (*) следует, что сходиться.
11. Сформулируйте и докажите свойства решений олду.
1) Если у1(х) – решение ОЛДУ у(n) + P1y(n-1) +…+ Pn-1 y’ + Pn y = 0 (*) , то функция y=С у1(х), где С=const, также является решением этого ОЛДУ.
Док-во:
Подставим в ДУ:
С у1(n) + P1 С y1(n-1) +…+ Pn-1 С y1’ + Pn С y1 = 0
С(у1 (n) + P1 у1(n-1) +…+ Pn-1 у1’ + Pn у1) = 0
у1(n) + P1 у1(n-1) +…+ Pn-1 у1’ + Pn у1 = 0
2) Если у1(х) и у2(х) – решение ОЛДУ (*), то функции у1(х) + у2(х) также являются решениями этого ДУ
Док-во:
(у1+у2)(n) + P1(у1+у2) (n-1) +…+ Pn-1 (у1+у2)’ + Pn (у1+у2) =
= [у1 (n) + P1 у1 (n-1) +…+ Pn-1 у1’ + Pn у1] + [у2 (n) + P1 у2 (n-1) +…+ Pn-1 у2’ + Pn у2] = 0 + 0 = 0
3) Если y1, y2, …, yk – решения ЛОДУ (*), то функция (C1y1 + C2y2 + … + Ckyk) тоже является решением этого ДУ для любых постоянных C1, C2, …, Ck.