- •1. Задача, о площади криволинейной трапеции приводящая к понятию определенного интеграла.
- •2. Классы интегрируемых функций.
- •3. Теорема об определенном интеграле с переменным верхним пределом
- •4. Теорема Лейбница – Ньютона.
- •5. Теорема об интегрировании по частям
- •6. Теорема о замене переменной в определенном интеграле
- •7. Вывод формулы вычисления площади плоской фигуры (в декартовой системе координат)
- •8. Вывод формулы вычисления длины дуги (в декартовой системе координат)
- •9. Вывод формулы вычисления объема тела вращения относительно оси ox и oy (в декартовой системе координат).
- •10. Теорема об абсолютной сходимости несобственного интеграла 1-го рода
- •11. Сформулируйте и докажите свойства решений олду.
- •12. Теорема о равенстве нулю вронскиана линейно-зависимых функций (необх. Усл. Л.З.).
- •13. Теорема о структуре общего решения лоду
- •14. Теорема о структуре общего решения лнду
- •15. Теорема о суперпозиции решений (принцип сложения решений)
- •16. Метод вариации произвольных постоянных – метод Лагранжа
- •17. Необходимый признак сходимости.
- •18. Критерий сходимости рядов с неотрицательными членами.
- •19. Предельный признак сравнения для рядов с неотрицательными членами.
- •20. Признак Даламбера.
- •21. Радикальный признак Коши.
- •22. Абсолютная и условная сходимость. Достаточный признак сходимости знакопеременных рядов.
- •23. Степенные ряды. Теорема Абеля. Радиус сходимости.
- •24.Тригонометрический ряд Фурье. Нахождение коэффициентов для четных и нечетных функций.
- •25. Нахождение коэффициентов для тригонометрического р. Фурье (теорему док).
- •1. Понятие первообразной. Свойства первообразной.
- •2. Понятие неопределенного интеграла. Свойства неопределенного интеграла.
- •3. Методы вычисления неопределенного интеграла: метод подстановки (замены переменной),
- •4.Интегрирование рациональных функций.
- •7. Интегрирование иррациональных функций.
- •9. Понятие интегральной суммы.
- •10. Понятие определённого интеграла. Геометрический смысл определенного интеграла
- •11. Необходимый признак интегрируемости функции по Риману. Функция Дирихле.
- •12. Свойства определенного интеграла. Теорема о среднем.
- •13. Свойства линейности и аддитивности определённого интеграла.
- •14. Свойства определенного интеграла, выраженные неравенствами
- •15. Интегралы с переменным верхним пределом.
- •16. Объем тела вращения с заданным поперечным сечением
- •18. Понятие несобственного интеграла II рода
- •19. 20. Признаки сравнения (для несобственного интеграла I и II рода.)
- •21. Свойства определенного интеграла от чет. И нечт. Функции на симметричном промежутке.
- •22. Понятие общего решения дифференциального уравнения первого порядка, частное решение, начальные условия, задача Коши.
- •2 3. Теорема о существовании и единственности решения ду в полных дифференциалах.
- •24. О пределитель Вронского.
- •25. Линейные однородные дифференциальные уравнения n-го порядка с постоянными коэффициентами. Вид частных решений, характеристическое уравнение
- •26.Теорема о существовании и единственности решения задачи Коши д.У. Порядка выше первого.
- •27. Числовой ряд. Основные понятия и определения: определение числового ряда, n-ой
- •28. Интегральный признак Коши.
- •29. Знакочередующиеся ряды. Теорема Лейбница.
- •30. Равномерная сходимость функционального ряда.
- •31. Теорема и признак Вейерштрасса:
- •32. Свойство равномерно сходящихся функциональных рядов.
- •33. Ортогональная система функций:
- •34. Теорема Дирихле. Условия Дирихле.
- •35. Степенные ряды. Область сходимости. Радиус сходимости.
- •36. Ряд Тейлора, область сходимости. Достаточный признак сходимости ряда Тейлора.
- •37. Ряды Маклорена
- •38. Тригонометрический ряд Фурье
2. Понятие неопределенного интеграла. Свойства неопределенного интеграла.
Определение. Неопределенным интегралом от функции f(x) на интервале (a;b) называется совокупность всех ее первообразных.
, где F(x), какая-либо первообразная функции f(x) на (a;b).
f(x) – подынтегральная функция
f(x)dx подытегральная функция
- знак интеграла.
Свойства неопределенного интеграла.
1. Вынесение постоянного множителя.
Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла
2. Почленное интегрирование.
Интеграл от алгебраической суммы функций равен алгебраической сумме интегралов от слагаемых
3. Дифференцирование интеграла.
Производная неопределенного интеграла по переменной интегрирования равна подынтегральной функции
это свойство является единственным критерием проверки правильности результата интегрирования.
4. Символы неопределенного интегрирования и дифференциала, стоящие рядом, взаимно уничтожаются
5. Инвариантность формы
Форма результата интегрирования не зависит от того, что является переменной интегрирования – независимая переменная, или функция U(x) (свойство инвариантности формулы интегрирования).
Т.е. если
3. Методы вычисления неопределенного интеграла: метод подстановки (замены переменной),
формула интегрирования по частям.
Непосредственное интегрирование – интегрирование с помощью свойств, тождественных преобразований подынтегральной функции и таблицы основных интегралов.
И нтегрирование по частям. Теорема. Если функции u(x) и v(x) дифференцируемы на некотором промежутке и на этом промежутке существует интеграл , то на нем существует и интеграл , причем
Замена переменной. Теорема. Пусть функция x = j(t) определена и дифференцируема на некотором множестве Т и j : Т ® X. Тогда если на множестве X функция y = f (x) имеет первообразную F(x), то на множестве Т функция F(j(t)) является первообразной для функции f (j(t)) j¢ (t). Из теоремы следует, что
.
4.Интегрирование рациональных функций.
1. Если дробь неправильная, надо выделить целую часть рациональной дроби, разделив числитель на знаменатель по правилу деления многочлена на многочлен.
2. Знаменатель Qn(x) разложим на простейшие сомножители:
Qn(x) = (x – a)k…(x – b)r (x2 + p x + q)l… (x2 + p x + q)s , где многочлены (x2 + p x + q) не имеют действительных корней.
3 . Представим дробь Pm(x) /Qn(x) в виде суммы простейших дробей с неопределенными коэффициентами:
где A1, A2, … ,Cs, Ds неопределенные коэффициенты, которые надо найти.
4. Приведем все дроби в разложении к общему знаменателю и приравняем числители в обеих частях равенства.
5. Составим систему уравнений, используя равенство многочленов, стоящих в числителе, приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х.
6. Решим систему уравнений, находя некоторые коэффициенты методом частных значений, полагая x равным действительным корням знаменателя.
7. Подставим найденные коэффициенты A1, A2, … ,Cs, Ds в разложение дроби.
8. Проинтегрируем простейшие дроби.
5. Метод неопределенных коэффициентов при разложении дроби на сумму простейших дробей.
Теорема. Пусть Pm(x) /Qn(x) - правильная рациональная дробь, знаменатель которой представлен в виде произведения линейных и квадратичных множителей (с вещественными коэффициентами)
Qn(x) = a (x - x1) a (x - x2) b …(x2 + p x + q)l … (x2 + r x + s) m ,
где x1, x2,… - вещественные корни, (x2 + p x + q), … (x2 + r x + s) - квадратные трехчлены, не разложимые на вещественные множители (a+…+ b+ l +…+ m = n ). Тогда имеет место разложение
где Ai , Bi , Mi , Ni , Ri , Si , … - вещественные числа (некоторые из которых могут быть равны нулю).
6. Интегрирование тригонометрических функций. Универсальная тригонометрическая подстановка
И нтегралы вида , где n и m – целые.
1. Если n и m – четные, положительные, то применяются формулы понижения степени:
2. Если n или m – нечетное, то непосредственно отделяют от нечетной степени один множитель.
3. Если n и m – дробные или целые отрицательные и (n + m ) четное отрицательное, то замена t = tg x, иди t = сtg x.
у ниверсальная тригонометрическая подстановка
где R – рациональная функция