Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
Shpory_-_Vsyo (1).docx
Скачиваний:
5
Добавлен:
23.09.2019
Размер:
1.05 Mб
Скачать

2. Понятие неопределенного интеграла. Свойства неопределенного интеграла.

Определение. Неопределенным интегралом от функции f(x) на интервале (a;b) называется совокупность всех ее первообразных.

, где F(x), какая-либо первообразная функции f(x) на (a;b).

f(x) – подынтегральная функция

f(x)dx подытегральная функция

 - знак интеграла.

Свойства неопределенного интеграла.

1. Вынесение постоянного множителя.

Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла

2. Почленное интегрирование.

Интеграл от алгебраической суммы функций равен алгебраической сумме интегралов от слагаемых

3. Дифференцирование интеграла.

Производная неопределенного интеграла по переменной интегрирования равна подынтегральной функции

это свойство является единственным критерием проверки правильности результата интегрирования.

4. Символы неопределенного интегрирования и дифференциала, стоящие рядом, взаимно уничтожаются

5. Инвариантность формы

Форма результата интегрирования не зависит от того, что является переменной интегрирования – независимая переменная, или функция U(x) (свойство инвариантности формулы интегрирования).

Т.е. если

3. Методы вычисления неопределенного интеграла: метод подстановки (замены переменной),

формула интегрирования по частям.

  1. Непосредственное интегрирование – интегрирование с помощью свойств, тождественных преобразований подынтегральной функции и таблицы основных интегралов.

  2. И нтегрирование по частям. Теорема. Если функции u(x) и v(x) дифференцируемы на некотором промежутке и на этом промежутке существует интеграл , то на нем существует и интеграл , причем

  1. Замена переменной. Теорема. Пусть функция x = j(t) определена и дифференцируема на некотором множестве Т и j : Т ® X. Тогда если на множестве X функция y = f (x) имеет первообразную F(x), то на множестве Т функция F(j(t)) является первообразной для функции f (j(t)) (t). Из теоремы следует, что

.

4.Интегрирование рациональных функций.

1. Если дробь неправильная, надо выделить целую часть рациональной дроби, разделив числитель на знаменатель по правилу деления многочлена на многочлен.

2. Знаменатель Qn(x) разложим на простейшие сомножители:

Qn(x) = (xa)k…(xb)r (x2 + p x + q)l… (x2 + p x + q)s , где многочлены (x2 + p x + q) не имеют действительных корней.

3 . Представим дробь Pm(x) /Qn(x) в виде суммы простейших дробей с неопределенными коэффициентами:

где A1, A2, … ,Cs, Ds неопределенные коэффициенты, которые надо найти.

4. Приведем все дроби в разложении к общему знаменателю и приравняем числители в обеих частях равенства.

5. Составим систему уравнений, используя равенство многочленов, стоящих в числителе, приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х.

6. Решим систему уравнений, находя некоторые коэффициенты методом частных значений, полагая x равным действительным корням знаменателя.

7. Подставим найденные коэффициенты A1, A2, … ,Cs, Ds в разложение дроби.

8. Проинтегрируем простейшие дроби.

5. Метод неопределенных коэффициентов при разложении дроби на сумму простейших дробей.

Теорема. Пусть Pm(x) /Qn(x) - правильная рациональная дробь, знаменатель которой представлен в виде произведения линейных и квадратичных множителей (с вещественными коэффициентами)

Qn(x) = a (x - x1) a (x - x2) b …(x2 + p x + q)l … (x2 + r x + s) m ,

где x1, x2,… - вещественные корни, (x2 + p x + q), … (x2 + r x + s) - квадратные трехчлены, не разложимые на вещественные множители (a+…+ b+ l +…+ m = n ). Тогда имеет место разложение

где Ai , Bi , Mi , Ni , Ri , Si , … - вещественные числа (некоторые из которых могут быть равны нулю).

6. Интегрирование тригонометрических функций. Универсальная тригонометрическая подстановка

  1. И нтегралы вида , где n и m – целые.

1. Если n и m – четные, положительные, то применяются формулы понижения степени:

2. Если n или m – нечетное, то непосредственно отделяют от нечетной степени один множитель.

3. Если n и m – дробные или целые отрицательные и (n + m ) четное отрицательное, то замена t = tg x, иди t = сtg x.

у ниверсальная тригонометрическая подстановка

где R – рациональная функция

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]