Кинематика – раздел механики, в котором изучаются геометрические свойства движения тел без учета их инертности (массы) и действующих на них сил.

1. Понятия скорости и ускорения точки. Подсчет скорости и ускорения при координатном способе задания движения. Касательное и нормальное ускорение точки.

Скорость – ВФВ, хар. изменение перемещение за единицу времени

Отношение вектора перемещения точки к соответствующему промежутку времени дает векторную величину, называемую средней по модулю и направлению скоростью точки за промежуток времени (при криволинейном движении направлено в сторону движения точки, а прямолинейном – вдоль самой траектории) V_ср=ММ₁/t=∆ r/∆ t=dr/dt

Скоростью точки в данный момент времени называется ВФВ V, к которой стремится средняя скорость V_ср при стремлении промежутка времени к нулю (равна первой производной от радиуса - вектора точки по времени, направлен по касательной к траектории точки в сторону движения)

Ускорение – ВФВ, хар. изменение вектора скорости за единицу времени.

Отношение приращения вектора скорости к соответствующему промежутку времени определяется вектором среднего ускорения точки за этот промежуток времени а_ср= ∆V/∆t (вектор ускорения имеет тоже направление как и ∆V, в сторону вогнутости траектории; = первой производной от вектора скорости или второй от перемещения)

Ускорением точки в данный момент времени называется векторная величина, к которой стремится среднее ускорение при стремлении промежутка времени к нулю

а=lim ∆V/∆t= dV/dt

при прямолинейном движении вектор а направлен вдоль прямой, по которой движется точка. Если плоская кривая , то в сторону вогнутости как вектор среднего ускорения

Способы описания движения м.т.: векторный, координатный, траекторный.

Координатный способ задания движения точек.

f=f(x;у;z;t) x=x(t),y=y(t),z=z(t); r=xi+yj+zk; r²=x²+y²+z²

Положение точки можно непосредственно определять ее декартовыми координатами x,y,z, которые при движении точки будут, с течением времени, изменятся.

x=x(t),y=y(t),z=z(t); эти уравнения представляют собой уравнения движения точки в прямоугольных декартовых координатах

Определение скорости из V=dr/dt, V_x=x’, V_y=y’, V_z=z’, Таким образом, проекции скорости точки на координатную оси равны первым производным от соответствующих координат точки по времени.

Затем, зная проекции скорости, найдем ее модуль и направление и углы, которые вектор V образует с координатными осями.

Определение ускорения из а=dV/dt, a_x=x’’, a_y=y’’, a_z=z’’, т.е.проекции ускорения точки на координатные оси равны первым производным от проекции скорости или вторым производным от соответствующих координат точки по времени

Модуль и направление – углы, образуемые вектором ускорения с координатными осями.

В случае прямолинейного движения, которое задается одним уравнением x=f(t), будет V_x=dx/dt; ax=dV_x/dt=d²_x/dt²

Касательное и нормальное ускорения точки.

Проектируя на ось тау и n, мы получаем a_тан=(dV)_тан/dt; a_n=(dV)_n/dt

a_тан=(dV) /dt; a_n=Vd фир/dt=V²/Ро, где фир- угол смежности – элементарный угол смежности; Ро-радиус кривизны траектории

a_тан=dV/dt=d²S/dt²; a_n=V²/ро=Vw; a_b=0

Косательное всегда направлено по косательной к траектории, а нормальное в сторону вогнутости кривой, центру окружности, т.к. всегда больше 0.

2. Абсолютное и относительное движения точки. Переносное движение. Теорема о сложении скоростей.

Движение, которое относится сразу к двум системам отсчета, одна из которых является основной, а другая, определенным образом движется по отношению к первой, называют сложным или составным. Таким образом, сложное движение рассматривается на два простых.

1. Движение, совершаемое м.т. по отношению к подвижной системе отсчета, называется относительным движением.

Траектория, описываемая точкой, называется относительной траекторией. Скорость, по отношению к осям Оxyz называется относительной скоростью, ускорение - относительным ускорением. Из определения следует, что при вычислении скорости и ускорения можно движение осей Оxyz во внимание не принимать (рассматривать как неподвижные)

2. Движение, совершаемое подвижной системой отсчета Оxyz по отношению к неподвижной системой О₁x₁y₁z₁ является для м.т. переносным движением.

Скорость той неизменной связанной с подвижным осями Оxyz м.т(малое)., с которой в данный момент времени совпадает движущаяся м.т., называется переносной скоростью т.М в этот момент, а ускорение м.т.(малое) – переносным ускорением м.т.

3. Движение, совершаемое точкой по отношению к неподвижной системе отсчета О₁x₁y₁z₁ называется абсолютным или сложным. Траектория этого движения называется абсолютной, скорость и ускорения – абсолютная …

Пример: движение шара относительно палубы, будет относительный, движение парохода относительно берега будет переносным, движение шара, относительно к берегу, будет абсолютным.

Теорема о сложении скоростей.

При сложном движении абсолютная скорость точки равна геометрической сумме относительной и переносной скоростей. Vаб=Vот+Vпер

Если угол между векторами Vот и Vпер. Равен альфа, то по модулю V_аб²= V_от²+V_пер²+2V_ОтV_перcosальфа

3. Сложение ускорений. Теорема Кореолиса.

При сложном движении ускорение точки равно геометрической сумме трех ускорений: относительного, переносного и поворотного (кореолисова). а_аб=а_от+а_пер+а_кор

а_кор =2(w*V_от) =2|w|*|V_от|sin альфа. Кореолисово ускорение равно удвоенному векторному произведению переносной угловой скорости на относительную скорость точки.

В случае поступательного переносного движения w=0, следовательно акор=0,следовательно а_аб=а_от+а_пер

а_аб можно найти методом проекции на оси x, y, z

Кореолисово ускорение может быть равно нулю

когда w=0, т.е. когда переносное движение является поступательным или есть переносная угловая скорость в данный момент времени обращается в нуль;

когда V_отн =0, т.е. относительная скорость в данный момент времени обращается в нуль.

Когда альфа=0=180, т.е. когда относительное движение происходит по направлению, параллельному оси переносного вращения, или если в данный момент времени вектор V_отн параллелен этой оси.

Правило Жуковского.

Находим проекцию вектора относительной скорости на плоскость, перпендикулярную оси, а затем эту проекцию повернуть на 90 в сторону вращения. Если движение лежит в одной плоскости, перпендикулярной оси, то нужно повернуть вектор относительной скорости на 90 в сторону вращения

4. Поступательное и вращательное движение твердого тела. Вектор угловой скорости и углового ускорения.

Задачи кинематики твердого тела распадаются на две части: 1) задание движения и определение кинематических характеристик движения тела в целом; 2) определение кинематических характеристик движения отдельных точек тела.

Поступательным называется такое движение твердого тела, при котором любая прямая, проведенная в этом теле, перемещается, оставаясь параллельной своему начальному направлению.

Свойства поступательного движения определяются теоремой: при поступательном движении все точки тела описывают одинаковые (при наложении совпадающие) траектории и имеют в каждый момент времени одинаковые по модулю и направлению скорости и ускорения.

Вращательным движением твердого тела вокруг неподвижной оси называется такое его движение, при котором какие-нибудь две точки, принадлежащие телу (или неизменно с ним связанные), остаются во все время движения неподвижным. Проходящая через неподвижные точки прямая называется осью вращения. Положение тела в любой момент времени однозначно определится взятым с соответствующим знаком углом ФИР между этими полуосями, который называется углом поворота тела. Измеряется в радианах. Уравнение фир=f(t) выражает закон вращательного движения твердого тела вокруг неподвижной оси.

Фир=w’=E’’

Угловое ускорение характеризует изменение с течением времени угловой скорости тела.

Числовое значение угловой скорости тела в данный момент времени равно первой производной от угла поворота по времени.

Числовое значение углового ускорения тела в данный момент времени равно первой производной от угловой скорости или второй производной от угла поворота тела по времени.

Если модуль угловой скорости со временем возрастает, вращение тела называется ускоренным, а если убывает – замедленным (вращение будет ускоренным, когда величины w и E будут иметь одинаковые знаки, и замедленным когда разные; направление E совпадает с направлением w, когда тело вращается ускоренно, и противоположно w при замедленном вращении)

5. Плоское движение твердого тела. Разложение движения плоской фигуры на поступательное вместе с полюсом и вращательное вокруг полюса. Независимость угловой скорости и углового ускорения фигуры от выбора полюса.

Плоскопараллельным (или плоским) называется такое движение твердого тела, при котором все его точки перемещаются параллельно некоторой фиксированной плоскости. Рассматривается сечение фигуры.

Уравнение x_a=f₁(t), y_a=f₂(t)- при фир=const; фир=f₃(t)-при х_а и у_а = сonst, определяющие закон происходящего движения, называются уравнениями движения плоской фигуры в ее плоскости. Они же являются уравнениями плоскопараллельного движения твердого тела. В общем случае движение плоской фигуры в ее плоскости может рассматриваться как слагающееся из поступательного движения, при котором все точки фигуры движутся так же, как полюс 1, и из вращательного движения вокруг этого полюса.

При изучении движения можно в качестве полюса выбирать любую точку фигуры. Если вместо 1го полюса взять 2ой и определять ее положение. Характеристики поступательной части движения при этом изменятся, так как в общем случае вектора V_c(a_c) не равно V_a(a_a) (иначе бы движение фигуры было поступательным). Характеристики вращательного части движения остаются неизменными.

Вращательная часть движения от выбора полюса не зависит.