6. Первый случай употребления слова "один "...1,11

7. Первая попытка произвести счет предметов... 1,11

1.Первые числовые представления ("два")...1,7

2. Первое знакомство с числом "один"...\,7

3. Первая попытка произвести счет предметов...1,7

4.Первый случай восприятия трех предметов.. Л,7

5.Употребление слова "много "...1,10

6.Употребление слова "двадцать" в смысле множества предметов... 1,11

7.Беспорядочное называние числительных в виде "счета" предметов... 1,11

1 .Первый случай определения численности (трех) предметов по памяти. ..2,2

2. Первый удачный счет предметов до трех...2,3

3. Беспорядочное называние числительных в виде "счета" предметов.,.2,4

4. Первый удачный счет предметов до четырех...2,5

5.0бнаружено знакомство с соотношением чисел в пределах трех (2+1=3)...2,7

6. Первый случай правильного употребления слова "пять"...If,

7. Обнаружено знакомство с понятием "половина"... 2.8

8. Обнаружено правильное представление о сравнительной величине предметов... 2,8

1.Первый правильный счет до двух...I,!

2. Обнаружено ясное представление о трех предметах (умение подать три вещи по просьбе)...2,5

3.Первый правильный счет предметов до трех....2,8

4.Первый случай правильного употребления слова "четыре".. .2,11

5. Числовая абстракция по отношению к (трем) разнородным предметам...2,\\

10

ЛЮСЯ лебединцева ЛЕНОЧКА ЛЕЁЁДИНЦ^ВА-

1.Обнаружено понимание соотношений между числами в пределе четырех (4=3+1, 4=2+2)...3,5

2.3накомство с понятием "несколько"...3,5

3. Первый счет (до трех) последовательных явлений ...3,5

4-Обнаружено знакомство с наложением для сравнения величины предметов...3,5

5.Первый случай оценки времени...3,6

6. Числовая абстракция по отношению к (трем) разнородным

7.Овладение счетом до 7 и8 (3,7), до 9 (3,8) и 6 (3,10)

8.Понимание соотношений между числами в пределе 5(3.8) и 6(3.10)

9 . Появление представлений об отвлеченном числе...3,10

10. Обнаружено знакомство с геометрическими формами.. .3,11

1. Понимание соотношений чисел в пределе двух (1+1=2, 2-1=1)...3,4

2. Умение определять численность предметов по памяти и воображению.. .3,4

З.Знакомство с понятием "половина"...3,5

4.Понимание соотношений между числами в пределе трех и четырех (2+1=3 3+1=4)...3,7

5.Первый случай правильного употребления слова "пять"...3,7

11

1. Правильный счет предметов до 19...4,0

2. Первая попытка произвести распределение (пяти) предметов на две равные группы.. .4,2

З.Знакомство с понятием "четверть".. А,,3

4.3чакомство с некоторыми соотношениями чисел в пределе Ю (4+4=8, 5+5=10)...4,4

5-Понимание того, что две половины составляют целое...4,5

6. "Десять да десять -двадцать"...4,5

7.Первый случай обратного счета..А,Ю

8. Деление пополам с применением дробных чисел.,.5,0

ЛЮСЯ ЛЕБЕДИНЦЕВА

1. Знакомство с цифрами и обозначением ими чисел до 10-15...5,0

2.Деление на четыре части с применением дробных чисел...5,1

3.Знакомство со счетом предметов десятками и единицами в пределе сотни ...5,3

4.Первый счет парами...5,5

5. Раздробление (пяти) целых в половины...5,7

6. Вычитание путем дополнения (8-6=2)...5,8

7. Пятьдесят, как "полсотни"...5,10

^.Знакомство с показаниями часов и римскими цифрами...6,0

9.Твердое знание соотношений чисел первого десятка и умение выполнять четыре действия в этих пределах...6,0

10.Знание обозначения чисел цифрами до 30-31.-.6,0

1.Знакомство с понятием "на сколько больше"...6,1

2.Твердое знание десятков первой сотни и умение выполнить сложение в сотне...6,2

3.Твердое знание действий в пределе двух десятков...6,3

4.Счет круглыми сотнями до тысячи...6,5

К.Ф.Лебеднпцев. Введение в современную методику математики. Гос.издат Украины, 1925 г. с.54-61.

Г.С.Костюк. О ГЕНЕЗИСЕ ПОНЯТИЯ ЧИСЛА У ДЕТЕЙ.

<...> Как же возникает у ребенка первое осознание количественной стороны группы предметов? В ответах на этот вопрос и до сих пор ведется спор между представителями двух противоположных взглядов. Хотя этот спор, как упоминалось, и потерял уже теперь свою остроту, он не получил еще своего окончательного разрешения. Представители одной точки зрения считают, что осознание количества воз ни каст как результат непосредственного восприятия разных групп предметов и называния каждой группы соответствующим словом. Оно как бы является чувственным образом одновременно (симультанно) данного множества объектов, групп вещей, их коллекции.

Представители другой точки зрения полагают, что осознание количества возникает как выраженный в слове результат последовательного (сукцессивного) перебирания элементов конкретной совокупности, выделения единичных предметов из данного их множества.

Некоторые авторы выдвигают компрессорное решение этого вопроса. В советской психологической и методической литературе его инициатором был К.Ф.Лебединцев (1923). Основываясь на наблюдениях над развитием числовых представлений у своих двух детей, он пришел к выводу, будто осознание первых чисел (до 5 включительно) возникает путем созерцания групп предметов, симультанного их схватывания, а понятие о числах, больших чем 5, образуется при помощи последовательного выделения элементов множества, их счета. <...>

Легко проследить связь этих точек зрения с дискуссией о генетическом приоритете количественного или порядкового числа. Не входя в рассмотрение ее результатов, укажем на общий недостаток проявившихся в ней точек зрения: в каждой из них какое-нибудь одно из психологических условий образования понятия числа принимается за существо этого процесса.

В действительности от отдельно взятый процесс непосредственного восприятия симультанно данных групп предметов, ни сукцессивное выделение отдельных их элементов, связанное с определенным словом, сами по себе не могут привести и не приводят к формированию понятия числа.

Осознание количества даже на первых порах, касающихся чисел в пределах 5, оказывается значительно более сложным процессом, чем это считали представители вышеуказанных взглядов. Как и всякий акт осознания, оно представляет собой решение новой для ребенка задачи, требующей абстрагирования количественных отношений от остальных свойств множеств предметов.

Необходимость абстрагировать эти отношения порождается потребностями самой деятельности ребенка и теми условиями, при которых она совершается.

Совместная деятельность ребенка с другими людьми, его взаимоотношения и общение со взрослыми становятся главным источником тех задач, разрешение которых ставит его перед необходимостью отразить в своем сознании количественный состав групп предметов. Однако, как мы видели, даже адекватное оперирование ребенком этими множествами предметов не при всяких условиях приводит к осознанию им их количественных отношений. П оследние станут предметом его сознания там, где выполнение действия с множествами предметов наталкивается на затруднения, обусловленные расхождением между количественным составом и другими свойствами этих множеств. В такой ситуации наличные у ребенка способы оценки количества предметов, опирающиеся на восприятие их пространственных и других признаков, оказываются не только недостаточными, но и ошибочными. Противоречие, возникающее между новыми задачами,в разрешение которых включается ребенок, и наличными у него н аглядными способами, различения конкретных множеств предметов п обуждает его к раскрытию новых сторон в тех объектах, с которыми он имеет дело.

Первые шаги на пути к осознанию количественных отношений этих объектов ребенок делает в процессе общения со взрослыми, преодолевая при выполнении практических действий с группами предметов затруднения, вызванные расхождением между количественными и другими свойствами этих групп. Преодолевая эти затруднения, ребенок приходит к осознанию того факта, что бывают одинаковые количественные группы или множества предметов при различном их внешнем виде и разном качественном составе. Это осознание возникает у ребенка не до разрешения новой для него задачи, а в процессе ее разрешения. Как мы дальше увидим, оно и переживается ребенком как решение подлинно новой для него задачи.

<...> Выполнение задания "Взять столько же и поставить на линейку" у большинства детей происходит в два приема: сначала они, беря по одному кубику, воспроизводят описанными нами выше способами фигуру заданной совокупности, а потом расставляют ее элементы в ряд по линейке.

Некоторые дети прибегают к более совершенному способу они только "применяют" каждый взятый кубик к каждому элементу заданной совокупности, как бы отмечая, что этот элемент уже взят, и сразу ставят его на линейку. При меньших количествах этот способ дает адекватный результат, а при больших - приводит к ошибкам.

Наиболее совершенным способом, к которому прибегали некоторые малыши при выполнении этих заданий, был следующий: они брали сразу два кубика, ставили их на линейку, затем прибавляли к ним остальные кубики, внимательно сравнивая получающееся у них количество с заданной группой объектов. Как мы дальше покажем, такой способ выполнения задания становится возможным там, где у ребенка выработалось уже довольно четкое представление о двойке. Он говорит о более высоком этапе в осознании ребенком количества вещей.

Присматриваясь к этим способам выполнения задания, мы убеждаемся в том, что все они сводятся к сопоставлению один по одному элементов, образуемого множества предметов с каждым элементом данной их совокупности.

Это действие оказывается комплексным и двойственным по своему строению актом. Оно включает противоположные операции, выработанные у ребенка в его предшествующей деятельности, а именно выделение отдельных элементов группы и их объединение, последовательное их рассмотрение и одновременное схватывание, сопоставление каждого элемента одного множества с каждым элементом другого, перебирание по одному, перенесение вместе и т.п.

Операции эти выступают более дифференцирование на первых этапах осознания количеств, выделяясь при определенных условиях даже в отдельные действия. В дальнейшем они объединяются в один целостный акт, становятся более эскизными и экономными, при усложнении задания (например, при увеличении заданной совокупности) они снова дифференцируются, выступают в более развернутом виде. С помощью этого действия ребенок и раскрывает не данные ему непосредственно отношения между двумя сравниваемыми множествами предметов, устанавливает их количественную одинаковость при разном их качественном составе и различной группировке. Это действие и является первичным способом установления взаимно-однозначного соответствия между наглядно данными множествами предметов. Содержа в себе возможность дальнейшего видоизменения и усовершенствования, оно становится со временем той основной операцией, при помощи которой у ребенка образуется понятие о числе. Следовательно, если бы у кого-нибудь возникло сомнение относительно того, стоит ли заниматься таким подробным психологическим анализом способов оперирования множествами предметов у малышей 2-3 летнего возраста, то по поводу этого сомнения можно было бы сказать,что значение этого анализа выходит далеко за пределы психологии раннего возраста: тут мы присутствуем при рождении в онтогенетическом развитии человеческого сознания той основной операции, на которой зиждется вся арифметика, названная когда-то К.Гауссом "ЦАРИЦЕЙ МАТЕМАТИКИ".

<...> Обобщение первых количественных оценок совокупностей возникает у ребенка в результате решения им новых познавательных задач, требующих выработки более совершенных способов абстрагирования количества от других свойств множеств. Существенную роль в этом процессе играет в первую очередь расширение тех конкретных множеств предметов, которые ребенок познает путем своих действенных связей с внешним миром. Сравнение ребенком множеств разных предметов, в различных условиях, в различном их положении и группировке создает опытные предпосылки для обобщения количественной их оценки. Как и первое осознание количественных отношений вещей, так и обобщение их количественной оценки возникает у ребенка в процессе общения со взрослыми. Его оперирование множествами предметов и познание их количественных отношений с самого раннего возраста проникнуто языком. Даже первые его диффузные представления о множестве объектов, как мы видели, оформляются в речи. В речи проявляются и первые суждения о количественной одинаковости сравниваемых групп предметов. Чистым суждением в действии они бывают только у тех детей, которые очень отстают в развитии активной речи от своих сверстников. По этим причинам слово и становится средством обобщения первых количественных суждений ребенка.

Ребенок скоро переходит к обобщенному отражению познанных им конкретным множеств предметов. Употребление слов -числительных, которое часто возникает у ребенка как подражательный акт и рано включается в процесс формирования им этими множествами предметов, становится далее формой осознания им количественного их состава.

Ребенку не приходится самому вырабатывать эту форму, как это пришлось делать человечеству. Он усваивает от взрослых систему слов -числительных. Но это усвоение не сводится к простому запоминанию их ряда, к образованию ассоциации между словом и образом группы предметов, как это часто думают, к воспроизведению запоминаемого ряда слов. Это - обобщение познаваемых ребенком классов множеств предметов, осуществляемого в речевой форме.

Такое обобщение требует перестройки способов, которыми устанавливалось до сих пор взаимно-однозначное соответствие между конкретными множествами предметов.

Как мы видели, акт сопоставления один по одному членов этих множеств, к которому прибегают дети на первых своих шагах на пути к понятию числа, является комплексным двигательно-речевым действием. Сначала это практическое действие, осуществляемое привычными, выработанными в предыдущей деятельности способами (у "правшей" - правой рукой). При дальнейшей перестройке этого действия ведущая роль скоро переходит к речевой его стороне. Употребляемые слова, усвоенные от взрослых, становятся носителем стандартной совокупности, при помощи которой начинает определяться множественность тех или иных групп конкретных предметов. Задача определить их количественный состав решается путем установления взаимно-однозначного соответствия между оцениваемой конкретной группой предметов и зафиксированной в речевых актах стандартной совокупностью. Иначе говоря, первичный способ осознания ребенком количественного состава групп предметов превращается в счет.

Счет возникает у ребенка как качественная модификация его способов познания множеств предметов, осуществляемого в общественных условиях. Его возникновение подготавливается предыдущими действиями ребенка с множествами предметов. Счет включает эти действия как свои операции (выделение элементов множества, перебирание их, установление соответствия и т.д.). Вместе с тем, он и отличается от предыдущих способов определения количества объектов своим большим совершенством. Отличие проявляется и в последствиях этого действия. Его следствием является обобщенный мыслительный результат, приобретающий новую.а именно словесную, форму своего существования, в которой он только и может родиться. Словесная его форма, являясь нейтральной по отношению к определяемым совокупностями предметов, дает возможность легче абстрагировать количественную сторону от других их свойств, обобщать результаты абстракции и применять к оценке новых видов конкретных совокупностей. Тем самым становится возможным постепенный переход ребенка от образных, ситуационных суждений о количественной одинаковости конкретных множеств предметов к первым понятиям об их классах. * * *

Таким образом, генезис понятия числа у ребенка даже на первых этапах является сложным процессом. Осознание ребенком количественной стороны множеств предметов зарождается в процессе его общения со взрослыми. Необходимое абстрагирование количественного состава множеств предметов от других их особенностей осуществляется в процессе оперирования этими предметами. Оно возникает не до действия, а в самом процессе действия и представляет собой решение новой для ребенка задачи, осуществляемое выработанными в его предыдущей деятельности способами.

Осознание ребенком количества предметов возникает не просто как образ непосредственно воспринимаемых множеств, а как суждение о количественной одинаковости сравниваемых множеств при различном их качественном составе и различной форме их пространственного размещения. Ребенок доходит до этого суждения, сопоставляя один по одному элементы оцениваемых множеств предметов. Так зарождается та основная операция, которую в теоретической арифметике называют установлением взаимно­однозначного соответствия между сравниваемыми множествами. В процессе дальнейшего действенного познания ребенком различных групп предметов и обобщения его результатов при помощи усваиваемых от взрослых числительных эта операция превращается в счет. Последний возникает не как какой-то "искусственный" способ определения количеств вещей, якобы вытесняющий "чисто детскую", "натуральную" арифметику, а как закономерная в общественных условиях развития ребенка модификация и усовершенствование его первоначальных

способов распознавания множеств вещей. Она очень рано опосредует этот процесс их распознавания.

Изучение первых шагов детей по пути к формированию понятия числа свидетельствует об ошибочных попытках найти источники становления этого понятия в той или другой отдельно взятой стороне процесса познания: в созерцании групп предметов или в мысли, в одновременности впечатлений или их последовательной смене, в различении предметов или их отождествлении, в их группировании или разложении и т.п. Понятие числа зарождается у ребенка в процессе активного, прямо или опосредованно направляемого взрослыми познания множеств объектов, которое включает эти различные стороны в их противоречивом единстве. В становлении понятия числа у ребенка действуют те же процессы и операции, которые имеют место при образовании и других его понятий о предметах и явлениях внешнего мира. Только тут они приобретают свои отличия в зависимости от тех специфических задач, в решении которых они встречаются.

Вопреки утверждениям некоторых авторов, будто существуют разные пути, которыми ребенок может дойти и доходит до усвоения первых числовых понятий, изучение данного процесса убеждает нас в том, что этот путь один. Он приобретает свои особенности в зависимости от руководства процессом формирования понятия о числе у ребенка. Успешно справляется со своими задачами то руководство, которое на этих подготовительных этапах формирования заботится о развитии у ребенка его познавательной деятельности в целом, воспитании его любознательности, обогащении его жизненного опыта и выработке операций, необходимых для рождения его арифметической мысли. Важную роль играет и усвоение числительных, но оно дает свой эффект только в сочетании с действенным познанием ребенком различных множеств предметов и обобщением его результатов.

Г. С.Костюк. Избранные психологические труды. М.: Педагогика, 1988.с.170-194.

Н.А.Менчииская.

ПУТИ ФОРМИРОВАНИЯ ПЕРВОНАЧАЛЬНОГО ПОНЯТИЯ О ЧИСЛЕ У ДЕТЕЙ ДО ШКОЛЫ

<...> По данным моих наблюдений, ребенок реагирует на количественную сторону действительного мира с самого начала в двух планах: с одной стороны, очень рано наблюдается стремление овладеть множеством предметов, и, с другой стороны, наблюдается стремление с последовательному повторению тех же самых действий, к последовательному увеличению количества предметов. Жизненная практика ребенка дает непосредственно повод для осмысления как пространственной, так “временной стороны числа. Еще до овладения речью можно наблюдать, как ребенок одновременно реагирует на количество в двух этих планах.

У девочки Наташи в возрасте одного года впервые наблюдалось реагирование на количество, хотя выделение, абстрагирование количества, по-видимому, в этом случае еще не могло иметь места. Это происходило следующим образом: Наташа взяла с восторгом, визжа от радости, в каждую руку по яблоку и начала стучать одним яблоком о другое. Я взяла у нее оба яблока, девочка заплакала, я ей вернула одно, она перестала плакать, но продолжала выражать неудовлетворенность, протягивала руку, хныкала и успокоилась только тогда, когда получила второе яблоко. Этот жизненный эпизод является очень характерным. Малютку радовала возможность держать предметы в обеих руках, наличие пары предметов делало для нее осуществимой игру с ними. Поэтому исчезновение одного предмета из пары остро замечалось, служило источником огорчений, последовательное прибавление предметов вызывало удовлетворенность.

С первых же шагов овладения речью, когда ребенок еще не знает числительных, он начинает выражать в слове как воспринятое им множество, так и последовательное во времени увеличение количества (действий или предметов). Эти первые слова "много" и "еще" прочно входят в широкий жизненный обиход ребенка'....

Слово "еще" играет большую роль в жизни ребенка. Если ребенок хочет, чтобы ему дали вторую конфету, он просит "есе"; с этим же словом он обращается к матери, если хочет, чтобы она повторила насмешившее его движение или рассказала ему еще одну сказку. Я проверила - понимает ли правильно ребенок значение этого слова, если оно произносится не им - в непосредственной связи с возникшей у него потребностью, а другим лицом.

Мальчик Саша полутора лет дал мне кружочек, я прошу дать мне "еще" и при этом не протягиваю руки (чтобы исключить внушающее влияние этого момента); мальчик в ответ на это правильно дает мне еще один кружок. Опыт этот проделывается несколько раз и каждый раз приводит к правильному результату.

Таким образом, слова "много"” "еще" выполняют различную функцию, из которых каждая необходима для формирования понятия числа и для овладения процессом счета. Словом "много" обозначается

Помимо их, в активном словаре ребенка содержится еще много слов аналогичного значения. Но в моих записях были выделены только "много" и "еще", так как история их использования является наиболее поучительной с точки зрения интересующего нас вопроса.

Общее впечатление о множестве предметов (пока еще о неопределенном множестве), при помощи слова "еще" производится последовательное выделение единичных предметов как элементов множества.

Эти различные стороны в понимании числа получают пока различное словесное обозначение, но отсюда было бы неправильно делать вывод, что эти две стороны разобщены в сознании ребенка. Достаточно вспомнить описанный выше эпизод (когда годовалый ребенок реагировал на исчезновение одного яблока из пары и радовался при получении второго), чтобы ясно убедиться, что в жизненном опыте ребенка эти две стороны тесно связаны.

Однако подготовка к овладению счетом идет одновременно не только в этих двух направлениях, но также и в третьем направлении:

ребенок начинает усваивать отдельные элементы процесса с о с ч и т ы в а н и я . В его присутствии взрослые часто производят счет предметов, и какие-то стороны этого процесса, пока еще чисто внешние, уже очень скоро усваиваются ребенком. интересно выяснить - какие же это стороны и в каких условиях ребенок первоначально пользуется отдельными элементами числового ряда?

Названия отдельных числительных (пусть часто искаженных по форме) применяются вначале детьми в качестве ритмического голосового сопровождения их собственных движений.

"Ба, семь!' - восклицает девочка 1 года и 5 месяцев и с размаху падает на диван, повторяя одно и то же многократно. Наблюдаются отдельные попытки сопровождать произнесением числительных (точнее слов, их напоминающих) прикосновение к отдельному предмету. Девочка полутора лет прикасается к яблоку и говорит: "ба, семь!"

Эта же сторона процесса, т.е. указание на предмет, была воспроизведена в первую очередь мальчиком 1 года и 2 месяцев, когда я в порядке специального опыта (и на рассчитывая на успех) попробовала показать ему, что значит "считать пальчики". После того, как я выполнила процесс счета в его присутствии, а затем ему предложила "сосчитать пальчики", то он воспроизвел следующее: своим указательным пальцем стал несколько раз прикасаться к одному из пальцев своей ноги. Таким образом, помимо указания пальцем на отдельный предмет, мальчиком был уловлен момент многократной повторяемости этого указания, что является существенной стороной процесса счета. На этом этапе данный процесс совершенно лишен числового значения, он не имеет еще никакого отношения к восприятию и определению количества, однако усвоение отдельных, хотя бы и внешних сторон процессе счета не проходит бесследно для дальнейшего овладения счетом.

Характерное явление можно было наблюдать у девочки в 2 года и 3 месяца, когда перед ней была поставлена задача ответить на вопрос: сколько?'; с зажатым ртом она ритмически "гмыкала" и покачивала в такт головой.

На повторный вопрос она проделала то же самое. В этом случае, таким образом, была воспроизведена также одна из сторон процессе сосчитывания - последовательное выделение "единиц речи", хотя произносимые ритмические звуки были еще лишены значения.

Вслед за тем, как дети научились замечать множество предметов, обозначая его словом "много", и вслед за тем, как они научились выделять отдельные элементы этого множества, осмысленно употребляя слово "еще", наступает новый этап. Для этого нового этапа характерно использование соответствующих числительных, уже обозначающих определенную количественную группу или место предмета во временной последовательности. Развитие осуществляется в двух направлениях. Ребенок начинает правильно называть группу, употребляя количественные числительные "один", "два", и наряду с последними в его активном словаре появляется порядковое числительное "другой ". Употребление числительных в этих двух формах может наблюдаться почти одновременно, или одно несколько предшествует другому.

Особенно благоприятные условия создаются в жизненном опыте ребенка для овладения порядковым числительным "другой ". Ботинок надевается на одну ногу, а затем на другую, перчатка надевается на одну руку, а затем на другую. Поэтому девочка в 1 год 7 месяцев, протянув вторую ногу вслед за первой (для надевания ботинка), сказала "агую" (другую), в это время числительное "два" она еще не употребляла.

Мальчика в 1 год 9 месяцев я специально учила различать на кубиках "два"”, "один", давала ему то один, то два кубика, или его просила делать то же самое. В тот день эти опыты успеха не имели, но уже на другой день, когда к Саше склонились двое (бабушка и мать), он сказал, одновременно прикасаясь руками к одной и другой: "де"(две). В последующие дни Саша очень часто стал реагировать на количественную совокупность в два предмета. Держит в руках две игрушечные собаки и говорит, обращаясь ко мне: "Де, мама, де".

Если около Саши находятся двое людей, то редко он пропустит случай сделать рукой соединяющий жест и сказать: "де".

Я не уделяла специального внимания тому, чтобы научить мальчика правильному употреблению слова "другой", а оно появилось у него в словаре несколько неожиданно для меня и в тот же период, когда началось употребление числительного "два". Саша вынимал из своего кармана платочки, и, когда он вынул второй вслед за первым, он сказал "длюгой". Одел на ногу одну туфлю, другой туфли не было, мальчик попросил: "Длюгой" (поищи другую).

При воспитании девочки я не пыталась форсировать процесс правильного называния групп из одного или двух предметов и впервые услышала от нее осмысленное употребление слова "один" к 1 год 10 месяцев и числительного "два" около двух лет. "Вот один", - говорит она, прикасаясь пальцем к одному кусочку хлеба, лежащему рядом с ней; "вот один", - показывает она и на другой кусок.

Наташа неожиданно нашла два пропадавших где-то одинаковых колечка и радостно воскликнула: "Видись де!" (видишь две!).

Очень часто она правильно называет количественную группу, состоящую из двух предметов: "Два зелуди "(два желудя), "две пуботьки" (две пуговички) и т.п. Отмечая "два" предмета, она нередко противопоставляет их "одному" предмету, воспринимаемому рядом с ними. Увидев в оконном стекле мое удвоенное отражение, Наташа восклицает: "Две мамы, а ты одна". В стекле вдвойне отражается игрушечная собачка Рыжик; по поводу этого девочка восклицает:

"Два Рызики, а это один Рызик!".

В словоупотреблении ребенка не существует резкой грани между количественным и порядковым числительными. В 1 год и 10 месяцев девочка говорит о втором по порядку предмете: "другой"'и в то же самое время она может его обозначить так же как и первый:

"Вот один". Получив в подарок две игрушки от папы и от мамы, Наташа замечает: "Снацала папа, а другую мама", а через некоторое время о том же говорит: "Одну папа и одну мама".

В некоторых случаях она пользуется порядковыми числительными для того, чтобы обозначить большое количество каких-либо предметов. В 1 год 11 месяцев девочка мечтает вслух о своем дне рождения: "Будет розденье марте... сколько весело будет... подароцьки купят... мяцик... другой мяцик... третий... лябоко, печенье".

При наблюдениях за развитием девочки особенно ясно обнаружилось, что переход от употребления порядкового числительного "второй" или "другой" к числительному "третий" совершается значительно легче, чем переход от использования количественного числительного "два" к последующему "три".

Я специально не учила ее осмысленному употреблению числительного "третий", и для меня было неожиданностью, когда я услышала от девочки в 1 год 9 месяцев такой рассказ: "Ляля видела собаку... другую, видела... третью... собака бух... "(Лялей она называет себя). Через некоторое время она употребила это же числительное в следующей ситуации: шли друг за другом трамваи, девочка, показывая на первый, говорит: "Вот трамваи!", смотрит на следующий: "Есе трамвай!... другой тамвай!", следит глазами за третьим и произносит: "Третий тамвай!".

Прошло 6 месяцев, и я убедилась в том, что Наташа еще не умеет правильно определять количество при наличии трех предметов. Тогда я специально в ее присутствии пересчитала три предмета и назвала общий количественный результат. И только после этого девочка начала (правда, еще неустойчиво) использовать числительное "три "при определении соответствующего количества.

У Саши также наблюдался длительный (в 5 месяцев) период между осмысленным употреблением числительного "два" и правильным называнием количества применительно к группе, состоящей из трех предметов.

Каковы причины того, что "третий" усваивается значительно легче, чем "три"! Выявление этих причин представляет большой интерес, поскольку оно проливает некоторый свет на психологическую природу процесса первоначального употребления количественного и порядкового числительных.

Прежде чем ответить на поставленный вопрос, обратим внимание на характерную ошибку, которая наблюдается у детей при употреблении порядковых числительных и которая поможет нам вскрыть природу интересующего нас процесса. Вместо "первый" и "второй" дети нередко говорят: "Другой" (или "второй") и "третий". Наташа берет последовательно в руку один и другой кубик и при этом говорит:

"Другой, третий". Саша, рассматривая на картинке пограничника и шпиона, говорит: "Длюгой дядя - пляхой, тетий - колесий" (другой дядя - плохой, третий - хороший). Наличие такой ошибки ясно говорит о том, что порядковым числительным ребенок первоначально обозначает не данный и определенный порядок во временном ряду, а некоторый общий, недифференцированный факт последовательности событий во времени. Скажет ли ребенок "один" и "другой", или "другой" и "третий" - для него фактически это одно и то же. Вот почему дети так часто употребляют порядковое числительное в широком смысле, аналогичном тому, какое имеет наречие "потом" или "не сейчас". Я прошу Наташу прибрать игрушки, она отвечает мне: "Я третий раз буду прибирать". Или она мечтает о том, что будет кататься на санках: "На третьей... потом... на другой неделе".

Таким образом, использование порядкового числительного "третий" еще не означает, что ребенок приобрел новое по содержанию представление о числительном. Так же как и числительное "второй" или "другой", оно выражает недифференцированный факт последовательности во времени; вот почему оно таклегко усваивается ребенком вслед за предшествующим ему числительным. Надо иметь в виду, однако, что обогащение новым названием порядкового числительного также не проходит бесследно для последующего процесса овладения счетом.

Совершенно иное явление имеет место тогда, когда ребенок усваивает количественное числительное "три "; оно означает для него новую конкретную количественную группу.

Группа в три предмета не так рельефно представлена в жизненном опыте ребенка, как группа, состоящая из двух предметов. Ведь восприятию и правильному наименованию "пары" чрезвычайно способствует то, что ребенок обладает двумя руками, двумя ногами и т.п. Не случаен тот факт, что ребенок часто узнает количество "два" в такой ситуации, когда он берет в обе руки по одному предмету. Вот почему такое длительное время нужно ребенку для того, чтобы перейти к осмыслению количественной группы в три предмета. Это означает существенно новый шаг в осознании количественной стороны явлений.

На этом этапе происходят также существенные изменения и в оперировании числовым рядом. Дети усваивают большое количество названий числительных. Заучивается наизусть традиционный стишок:

"Раз, два, три, четыре, пять, Вышел зайчик погулять",

устанавливается прочная ассоциация между "четыре" и "пять". Достаточно сказать одно слово "четыре", и Саша уже говорит "пять". Ассоциативный ряд числительных запоминается в нескольких пунктах: после сказанного кем-либо "шесть" говорится "семь" и после "восьми" - "девять" и т.п.

Мальчик как-то воспроизвел стишок Маршака про слона:"Взял он туфельку одну", и вдруг поддался течению ассоциаций и непосредственно продолжал: "Тли, цетыле, пять, семь".

Интересно явление, когда смешиваются друг с другом два разнородных по смыслу ассоциативных ряда. Девочке задается вопрос: "Какой завтра день?" "Цетверг" - отвечает она, и когда ее далее спрашивают: "А что же будет после четверга?", она говорит:

"Пятнадцать, шестнадцать".

Укрепление связи между отдельными числительными в числовом ряду - это только одна из сторон в процессе овладения счетом. Наступают заметные изменения и в других отношениях. Дети по собственной инициативе начинают делать попытки "сосчитать" предметы, причем в этом случае процесс уже явно направлен на выявление количественной стороны действительности.

Саша в возрасте 1 года и 10 месяцев, обратив внимание на большое количество шляпок от гвоздей на стуле, начал касаться указательным пальцем различных шляпок, говоря при этом: "ляс... ляс..." и под конец сказал: "него" (много), т.е. слово, которое он уже вполне осмысленно употребил для обозначения множества.

Дети начинают самостоятельно прибегать к перечню числительных в тех случаях, когда они имеют дело с количеством. Мальчик 2 лет и 4 месяцев показывает пальцем на конфеты, лежащие в коробке, и произносит: "4, 7", всходит по ступенькам и говорит: "4, 7". Девочка 2 лет и 1 месяца ест кашу и сопровождает каждое движение ложки называнием числительного: " 1, 2, 4, 5, 6, 7".

Важно отметить, что дети реагируют произнесением числительных как на количество, данное во времени (сукцессивный ряд), так и на количество, данное в пространстве (воспринимаемое симультанно, т.е. одновременно). В этом случае, конечно, еще нет точного соответствия между числительным и объектом счета -предметом или действием; при использовании числового ряда пропускаются числительные и нарушается их порядок; наконец, перечень числительных ничем не завершается, это - "безытоговый пересчет". Но сам по себе факт последовательного называния числительных в тех ситуациях, где ребенок имеет дело с количеством (в пространстве или во времени), имеет капитальное значение для дальнейшего процесса овладения счетом.

Когда теперь ставится перед ребенком задача определить количество, ответить на вопрос "сколько?", то ребенок считает нужным прибегнуть к перечню числительных, хотя способом счета он еще не владеет.

И возникает интереснейшее в психологическом отношении явление: при наличии новой задачи ребенок отбрасывает старый способ определения количества, основанный на непосредственном одновременном восприятии, и переходит к новому способу счета, хотя последним он еще дне владеет.

Приведем иллюстративные дневниковые записи, относящиеся к девочке. Они касаются того периода, когдадевочке было 2 года 3 месяца. На вопрос "Сколько у тебя ножек?" Наташа отвечает: "Раз, два, три, четыре, пять, сесть, семь, восемь, десять, одиннадцать, двенадцать". На вопрос: "Сколько у тебя носов?" она повторяеттотже "безитоговый" перечень числительных. Но наступает нечто очень любопытное, когда я далее спрашиваю ее о том, сколько у тебя ручек:

наблюдается пауза, затем девочка говорит: "Не знаю..." опять пауза, девочка хочет уйти от ответа, заявляя:

"Нисколько", и, наконец, после паузы дает правильный ответ: "Две". Что произошло в этом случае? Произошел переход к старому способу определения количества без счета. И произошло это потому, что речь зашла о такой паре предметов, которая уже неоднократно осмысливалась в жизненном опыте ребенка, как "два".

Аналогичное явление повторяется через несколько дней. Кладу на блюдце две косточки и задают вопрос:

"Сколько?" Наташа отвечает: "1, 2, 3, 4" и при этом не смотрит на косточки; я сближаю теснее эти два предмета и говорю девочке: "Посмотри", она отвечает правильно:

"Два".

Через 12 дней это явление наблюдается в еще более яркой форме. Держу две палочки и спрашиваю Наташу:

"Сколько у меня палочек?" "1, 2, 3,4, 5" - следует ответ. Я повторяю вопрос. "1,2,3"- отвечает опять по тому же типу девочка.

И вдруг, тут же вслед за этим, по-видимому, уже отрешившись от моего вопроса, она говорит: "Дай мне две палочки, две", и забирает их у меня.

Через 20 дней (когда девочке было уже 2 года 4 месяца) это явление сохраняло еще свою полную силу. Наташа видит две летящие рядом бабочки и восклицает:

"Две бабоцьки!" Но стоило мне через несколько минут об этой же паре летящих бабочек спросить - сколько их, как последовало беспорядочное и безрезультативное называние числительных.

Таким образом, в сознании ребенка произошло временное разъединение двух задач: "задачи восприятия" и "задачи-счета". Образовались, по-видимому, две разобщенные системы связей:

I - восприятие количественной группы - называние определенного числительного, обозначающего результат.

II - вопрос - "сколько?" последовательное называние любых числительных без обозначения результата.

Характерно, что когда ребенок пытается "считать", он нацело отрешается от восприятия, и это делает пока невозможным правильное

сосчитывание.

Чрезвычайно большой интерес представляет вопрос, какими путями приходят дети к объединению двух разобщенных ранее задач ("задачи-восприятия" и "задачи-счета")? Какими путями они приходят к овладению второй функцией числового ряда, т.е. нахождения с его помощью общего количественного результата? (как показано было выше, ребенок вначале овладевает только одной функцией числового ряда, а именно расчленением количественной групп ы на единицы).

Большую роль в этом отношении играет прежде всего то, что ребенок уже не просто воспроизводит ассоциативный ряд числительных, а обращается в процессе счета к предметам, устанавливая точное соответствие между предметом и числительным.

Наступает решающий момент в истории формирования понятия о числе - начинают образовываться связи между системой первосигнальных и системой второсигнальных раздражителей. Для этих связей характерна достаточно высокая степень обобщенности. В этом отношении они заметно отличаются от связей, лежащих в основе усвоения числового ряда. Усвоение последовательного ряда числительных (1-2-3 и т.д.) опирается на частные, конкретные связи, т.е. связи между определенными, частными фактами или обозначающими их словами (в данном случае определенными числительными); в то время как умение применить числовой ряд для счета предметов предполагает образование обобщенных связей между двумя рядами сигналов (непосредственно воспринимаемых и словесных). Ребенок соотносит друг с другом предмет и числительное.

Соотношение предмета с числительным -существенное условие правильного счета, но одно оно не гарантирует получение правильного результата.

Наташа 2 лет 9 месяцев правильно последовательно считает лежащие перед ней конфеты: "Раз, два, три", но на вопрос: "сколько всего конфет?" отвечает: "Цетыре". Наблюдается немало различных тонких вариаций в ответах ребенка, относящихся к результату счета. В приведенном выше примере в качестве результата было названо новое числительное, не входящее в состав тех, которые были перечислены в процессе счета...

Для раскрытия психологической природы процессе называния количественной группы с помощью последнего числительного важно

отметить следующий факт: практическое знание этого существенного принципа счета приобретается детьми на численно небольших группах (в два-три предмета), причем вначале оно вырабатывается каждый раз заново применительно только к данной количественной группе.

Итак, постановка вопроса о том, что лежит в основе возникновения понятия числа - восприятие множества или счет, является в корне ложной. Та точка зрения, согласно которой и восприятие множества, и счет лежат в основе понятия числа, также не решает проблемы. Теоретически правильное и содержательное решение этого вопроса сводится к тому, чтобы показать, как реально соотносятся друг с другом восприятие множества и счет на различных этапах овладения понятия числа.

Н.А.Меишнская. Психология обучения арифметике. - АПН РСФСР, 1955. М. с. 164-182.

А.В.Брушлинский(исправ)

НЕКОТОРЫЕ ВОПРОСЫ ДЕТСКОГО МЫШЛЕНИЯ В УСЛОВИЯХ УСВОЕНИЯ СЧЕТА.

<...> Первоначально у детей нет понятия числа и нет анализа его состава, но они уже владеют простейшими счетными операциями (например, элементарный счет, т.е. умение образовать предметную совокупность заданного количества, пересчитывание от единицы и по единице как способ сложения и др.). Дошкольник вначале считает лишь однородные предметы, причем он анализирует только элементарные количественные отношения внутри конкретной совокупности объектов, как она выступает в его восприятии.

Например, если дети видят группу в 5 пуговиц, из которых 2 красные и 3 зеленые, то они постепенно начинают понимать простейшие количественные взаимосвязи внутри пятерки: 5 предметов - это 2 и 3 предмета вместе. Рассматривая и пересчитывая предметную группу, они вычленяют в ней элементарные количественные отношения. Их анализ, необходимый согласно нашей гипотезе, начинается анализом совокупности. Варьируя различными способами ее содержания (цвет, пространственное расположение и количество), можно изучить процесс анализа: количественные отношения как бы снимаются с наглядных отношений между предметами. Наша экспериментальная методика сочетала систематическое изменение наглядных 27 признаков исчисляемой совокупности с элементами беседы

{"Сколько здесь?", "Где столько-то?" и т.д.).

В первой предварительной серии экспериментов специальж' проверялось, как дети понимают обращенные к ним вопросы. Во второй предварительной серии у испытуемых проверялось умение считать.

В первой основной серии экспериментов изучался переход “.результативному счету.

Во второй серии изучался переход от пересчитывания к присчитыванию после анализа состава числа.

Втретьей серии - переходил рисчитыванию до анализа состава числа (контрольная серия).

Было проведено около 250 экспериментов, в которых участвовало 60 испытуемых в возрасте 5-8 лет (дошкольники и первоклассники).

Все опыты убедительно показали, что главным содержанием мыслительной деятельности ребенка в условиях усвоения счета является анализ состава совокупности, множества ичисла. Овладение различными арифметическими действиями (результативным счетом и присчитыванием) выступает не как "итог без движения" (Ленин), а в качестве закономерного результата анализа количественных и числовых отношений. Попытка перейти к присчитыванию до анализа не удается.

Резюмируем основные моменты в развитии этого важнейшего интеллектуального процесса.

Генетически исходный и теоретически простейший экспериментальный факт состоит в том, что ребенок считает (вначале без осознания итога сосчитывания) только однородную по своим наглядным признакам предметную совокупность. Следовательно, перцептивное единство и однородность совокупности есть главная предпосылка элементарнейшей счетной операции. Психологически это означает:

1) слабость чувственной абстракции;

2) синтезирование, объединение счетных объектов только на основе их наглядных тождественных признаков;

3) полную недифференцированность совокупности;

4) необобщенность составляющих ее предметов. В ходе анализа простейших количественных отношений (в конфликтной ситуации: "Это одна! А где 5?^) наблюдается переход от элементарного счета к результативному. Теперь ребенок осознает итог сосчитывания группы элементов.

Таким образом, на первом этапе развития мыслительной деятельности детей процесс анализа едва лишь начал проникать в структуру количественных отношений совокупности, выступающей в сознании ребенка в виде недифференцированного единства.

На втором этапе происходит расчленение группы счетных объектов в восприятии испытуемого, потому что она составляется из разноцветных и пространственно-дискретных частей. Анализ состава будущего числа протекает в форме чувственного анализа совокупности.

Постепенно дети убеждаются на собственном опыте в инвариантности количества по отношению к отдельным наглядным свойствам предмета и начинают абстрагироваться от них, переходя тем самым к третьему этапу развития мыслительной деятельности.

Взаимосвязи между разными частями совокупности теперь все в большей степени детерминируются их собственно количественны ми отношениями (например, испытуемый говорит, образуя и тройку и двойку из разноцветных пуговиц: "здесь 5, так как 3 и 2"). Иными словами, впервые можно наблюдать, как расходятся план восприятия и план мышления, до сих пор связанные очень тесно, что свидетельствует о высоком уровне чувственной абстракции. Совокупность, получив более специальную (математическую) характеристику, преобразуется во множество.

На четвертом этапе ребенок отвлекается уже не от отдельных наглядных признаков счетных объектов, а от всего предмета в целом, т.е. чувственная абстракция постепенно переходит в понятийную. Впервые начинается непосредственный анализ состава самого числа (а не анализирование совокупности и множества).

Пятый этап - заключительный. Множество полностью превращается в число, многозначные отношения внутри которого (например, 3 = 1 + 1 + 1 = 2 + 1) все в большей степени осознаются ребенком. В результате процесса анализа состава чисел появляется первоначальное понятие числа. Лучшим индикатором этого служит переход от пересчи т.ы в а н и я к присчитыванию как способу сложения.

Таковы основные ступени эволюции интеллектуальной деятельности детей в условиях усвоения счета. Через все эти этапы проходит мыслительный процесс анализа количественных и числовых отношений, процесс в целом единый, но протекающий на разных уровнях; каждый из них (например, чувственная абстракция, понятийная) соответствует определенному этапу. Следовательно; единство намеченных выше основных этапов обеспечивается единством познавательной деятельности. Иначе между ними не было бы преемственности, необходимой для всякого развития. Такое единство возможно, в частности, благодаря тому, что анализ состава совокупности множества и, наконец, числа всегда осуществлялся в арифметических терминах: слова-числительные постепенно, по ходу этого анализа наполнялись собственно математическим содержанием;

Дело в том, что сначала многие дети в ответ на вопрос: "Где 5 пуговиц?" показывают только на последнюю (пятую) пуговицу.

мышление и речь функционировали в органической связи друг с другом. Внутреннее единство между всеми этапами интеллектуальной деятельности выступило также и в том, что каждый раз при переходе на новую ступень эволюции ребенок обязательно проверял на предметах (пересчитыванием, повторным анализом рассматриваемого счетного материала и т.д.) высказанные им суждения относительно количества пуговиц или других предметов.

По мере развития мышления изменяется и само восприятие детьми исчисляемых объектов. Не имея понятия числа, ребенок видит перед собой первоначально только перцептивно данные предметы во всем их чувственном разнообразии. Постепенно при выполнении инструкции он вынужден все большее внимание обращать на их собственно количественные отношения, отвлекаясь от наглядных признаков. Следовательно, одни и те же пуговицы воспринимаются испытуемым различно, поскольку интеллектуализируется его чувственное познание. Наконец, он начинает непосредственно анализировать состав числа, повторно не рассматривая счетный материал.

Анализ нельзя понимать интроспективно, ибо он всегда обозначает анализ чего-то, т.е. какого-то объекта. Последний, как мы видели, меняется на каждом этапе мыслительной деятельности:

в итоге соответственно изменяется и сам анализ.

Итак, весь процесс развивается в следующем направлении: совокупность - множество - число.

Число - продукт мышления, отражения вещей: включенное в систему идей, оно преобразуется, становясь вторично объектом;

это уже новая для субъекта реальность - элементарная система научных знаний.

Таким образом, анализ количественных и числовых отношений проходит ряд органически взаимосвязанных этапов. В результате дети овладевают арифметическим и операциями различной сложности.

Выводы:

1. Пересчитывание, как способ арифметического сложения несовместимо с понятием числа, ибо оно всегда означает пересчитывание чего-либо (каких-либо предметов); при этом числовые отношения еще "сращены" со своей чувственно-наглядной формой, поэтому обобщение предметов и их количественных отношений возможно только в рамках чувственной абстракции;

2. Присчитывание второго слагаемого к первому означает наличие понятия числа, полученного в ходе мыслительной деятельности через обобщение количественных отношений предметов и абстрагирование от их остальных свойств;

эти процессы, в свою очередь, возможны лишь на основе предметного анализа состава множества и числа и его синтезирования посредством раскрытия в заимоотношений между числами внутри их натурального ряда.

А-В.Брушлинский. Некоторые вопросы детского мышления в условиях усвоения счета. Доклады АПН РСФСР, 1957, ” 2, с.63-66.

A.M.JIeушинa.(исправ)

РАЗВИТИЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ О МНОЖЕСТВЕ В РАННЕМ ДЕТСТВЕ

К полутора годам представление ребенка о множестве как целостном единстве, состоящем из однородных элементов, еще весьма нечетко и расплывчато. Для такого ребенка границы зрительно воспринимаемого множества еще весьма неопределенны. Его привлекает множественность однородных предметов, она вызывает у него двигательную реакцию, желание перебирать однородные предметы, раскладывать их по горизонтали, по кривой линии и т.п. Он любит производить множество однородных движений (бросает на пол одну и ту же игрушку или стучит много раз по столу и др.). Но множественность не воспринимается им еще в каких-либо точных границах. Для него это множественность, но еще не множество как целостное единство.

Однако уже на данном этапе у ребенка намечается интерес к обособлению одного вида совокупностей от другого. Он раскладывает в один ряд все куклы, а затем, и тарелки. В особый ряд раскладывает ложки. Это постепенно становится предметом его особого внимания и действия, хотя восприятие множества как структурно-целостного образования еще крайне несовершенно. Подобные факты были отмечены и в исследовании Г.С.Костюка, который указывал, что исчезновение части игрушек не замечается детьми. Мы наблюдали то же явление: полуторагодовалый ребенок легко мирится с тем, что если из 5 пуговиц у него остается всего 3, и кричит, когда остается лишь 1-2. Он замечает исчезновение предметов лишь тогда, когда исчезла большая их часть.

То, что ребенок очень рано воспринимает неопределенную множественность в отличие от единичного предмета, позволяет при овладении им речью усвоить единственное и множественное число:

"Кука" - "куки"; "дядя" - "дяди" и др.

В дальнейшем от диффузного восприятия множественности ребенок переходит к восприятию множества как структурно-замкнутого единого целого.

Исследование показало, что такое представление о множестве развивается у маленького ребенка постепенно. Он начинает видеть

границы множества; начало и конец множества становятся для него точками отсчета. Возникает более совершенная форма чувственного анализа множества, в процессе которого особая роль принадлежит движению руки, а вслед за нею и глаз.

<...> Мы поставили перед собой задачу проследить особенности движений глаз и рук детей при восприятии и воспроизведении ими множества. Наблюдения показали, что в период с 1 года 6 мес. до 3 лет существенно изменяется характер движений рук и глаз при восприятии и воспроизведении множеств предметов.

На первом этапе дети (в возрасте от 1 года б мес. до 2 лет) обычно ставили кукол в ряд и раскладывали тарелки и ложки от середины направо - правой рукой и от середины налево - левой рукой. При накладывании пуговиц на их изображения на карточке также фиксировалась какая-либо одна точка в середине, после чего движение глаз и руки следовало от этой точки то в одну, то в другую сторону. Раскладывая пуговицы на их рисунки на карточке, ребенок игнорировал границы множества, заполняя площадь карточки и вне рисунков. Но под руководством взрослого, поясняющего и показывающего, что пуговицы надо накладыватьлишь на ихрисунки, а тарелки надо ставить лишь перед каждой куклой, ребенок начинал воспринимать границы множества и руководствоваться лишь ими.

Некоторые дети в возрасте от 1 года 11 месяцев до 2 лет 3 мес. довольствовались тем, что сразу накладывали пуговицы лишь на крайние рисунки, считая задачу выполненной. Они кормили лишь крайних кукол (первую и пятую из пяти, им данных), утверждая, что накормили всех. Под воздействием воспитателя, показывающего, что тарелки имеются не у всех кукол или что не все рисунки закрыты пуговицами, эти ребята начинали заполнять пуговицами всю площадь карточки, не относя их точно к рисункам. Следует отметить, что на этом этапе раскладывание производилось обеими руками;

однако направление движения обеих рук шло уже от концов к середине. Главным для ребенка было фиксирование конечных точек линейно расположенного множества как его границ.

В дальнейшем эти же задания дети начинали выполнять с какого-либо одного конца, слева или справа, в зависимости от того, какой рукой они начинали действовать; но примерно посередине множества они меняли руку, продолжая раскладывать пуговицы по ряду в том же направлении. При смене рук один из элементов в середине множества часто оказывался пропущенным, не закрытым: сам ребенок, даже выполнив задание, этого не замечал. Прежний стереотип двуручной операции, как видим, еще сохранился в данном случае, но отсчет уже проводился только от одной из конечных точек.

Дети в возрасте от 3 лет до 3 лет 6 мес., раскладывая пуговицы, ставили куклам тарелки обычно уже одной рукой, непрерывно сохраняя направление движения по ряду справа налево (действуя правой рукой) и слева направо (действуя левой рукой). Подобное направление в движениях рук наблюдалось у детей до 1 класса включительно. Изменение стереотипа этого движения, например переход к действию правой рукой слева направо, происходило лишь при условии обучения и контроля со стороны взрослого.

В нашем исследовании обнаружились также интересные факты относительно различия между наложением предметов и их приложением друг к другу. Так, если при способе наложения предметов на их рисунки (например, пуговиц на их изображения на карточке, ложек при раскладывании их на тарелки) ребенок точно устанавливает равенство в их количестве, то при способе приложения (когда, например, пуговицы подкладываются к их изображениям на карточке или ложки раскладываются к куклам) равенство нарушается. В последнем случае ребенок ориентируется лишь на общую площадь, занимаемую множеством, и так как он еще не научился следить за интервалом между отдельными элементами множества, то обычно кладет больше предметов, чем их было на образце, заполняя все промежутки между рисунками.

Дальнейшие упражнения формируют у детей умение точно соотносить элементы одного множества с элементами другого; усвоение способа установления взаимно-однозначного соответствия между множествами создает у ребенка наглядно-чувственную основу для последующего развития счетного действия.

ФОРМИРОВАНИЕ СЧЕТНОГО ДЕЙСТВИЯ

Исследование показало, что представление о множестве, а затем понятие числа складывается у детей в процессе постепенного формирования у них первого навыка счетного действия, состоящего из ряда этапов.

На первом этапе у детей формируется умение перемещать однородные предметы один за другим, т.е. умение дробить неопределенную множественность на элементы. Это перемещение и дробление сопровождается повторяющимися словами:

"еще... еще...", или "вот... вот" и др.

На втором этапе ребенок овладевает способами установления взаимно-однозначного соответствия между элементами множеств. Как указывалось выше, этому содействуют приемы наложения и приложения элементов одного множества к элементам другого. Этот этап также предшествует числовому обозначению множеств.

Третий этап характеризуется тем, что дети сосчитывают элементы сравниваемых множеств при помощи числительных, т.е. устанавливают взаимно-однозначное соответствие между элементами множеств и числами натурального ряда. Это постепенно подводит ребенка к пониманию значения результативного числа как показателя равномощности множеств.

На четвертом этапе дети усваивают при счете отношения между смежными числами как в прямом, так и в обратном порядке. С одной стороны, это углубляет у них само понятие числа, а с другой стороны - формирует представление о натуральном ряде чисел как об определенной системе. Имея особо важное значение, этот этап является необходимым условием для перехода к вычислительным действиям, имеющим дело уже не с множествами, а с числами.

Обучение счету по указанным этапам опирается вначале на восприятие множеств и на практическую деятельность детей с ними. В этом случае ребенок овладевает прочным навыком счета, и у него формируются правильные представления о множестве и понятие о числе.

При нарушении же последовательности этих этапов (например, когда взрослые обучают детей называнию числительных в отрыве от счета конкретных множеств) слова-числительные не становятся обозначением мощности множеств; их называние по порядку образует чисто слухо-двигательный стереотип. Называя числительные всегда от единицы, дети усваивают лишь чисто внешнюю их последовательность, не понимая отношений между смежными числами.

Так, оказалось, что многие дети к моменту перехода в школу еще не усвоили отношений между смежными числами, и это явилось для них серьезным затруднением при усвоении вычислительных навыков.

Чтобы выяснить, как дети понимают отношения между смежными числами, мы давали им такие задания устного характера:

а) называть числа от любого указанного числа в прямом и обратном порядке;

б) найти пропущенное число среди названных двух чисел;

в) найти пропущенное число среди названных четырех чисел;

г) назвать два числа, пропустив между ними смежное число.

Известно, что речевой стереотип, возникающий у ребенка очень рано, часто воспринимается взрослыми уже как его умение считать. Взрослые, обучающие дошкольников лишь называнию числительных в отрыве от счета конкретных множеств, несомненно наносят им вред, отвлекая их внимание от более сложной задачи пересчитывать разные множества. В таких случаях дети, называющие числительные в пределах даже нескольких десятков, делают множество ошибок при счете предметов, звуков, движений. Они неправильно соотносят числительные с предметами, пропускают предметы или числительные, не осмысливают итогового значения числа и т.д. Поэтому важно, чтобы обучение счету с помощью числительных опиралось на практическое умение детей устанавливать взаимно-однозначное соответствие между элементами. Раскладывая, например, синие и красные кружки один к одному, ребенок учится выделять пространственные и количественные отношения между отдельными элементами множеств. Он сравнительно быстро приходит к заключению, что 5 кружков больше 4 на один кружок, а 4 меньше 5 тоже на один кружок. Такие определения в пределе первого пятка становятся вполне доступными уже пятилетним малышам, если они опираются на сравнение двух множеств путем сопоставления элементов. Они отчетливо усваивают сущность счетного действия, основой которого является установление взаимно-однозначного соответствия. Эту соотнесенность слов с количеством предметом дети начинают познавать уже тогда, когда сопровождают перемещение предметов однородно повторяющимися словами: "еще... еще... еще". Этой же соотнесенностью они пользуются и тогда, когда начинают считать при помощи разных числительных. Так, натуральный ряд чисел становится для детей тем стандартным рядом, который начинает постепенно заменять конкретные множества.

ФОРМИРОВАНИЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ О НАТУРАЛЬНОМ РЯДЕ КАК СИСТЕМЕ ЧИСЕЛ

В ходе исследования перед нами встал вопрос о том, как преобразуется число словесный стереотип называния числительных в представление о натуральном ряде как определенной системе чисел.

По мере овладения счетным действием появляется понимание того, что каждое последующее число больше предыдущего. Если не углублять этих знаний, то дети начинают определять отношения между большим и меньшим числом лишь по признаку его удаленности от начала ряда числительных. "6 больше потому, что оно дальше, а 5 ближе", -говорят обычно дети. В таких случаях они усваивают лишь чисто внешние связи числительных - по смежности и только в прямом порядке. Это формирует у них своеобразное представление о ряде чисел в виде некоего "пространственного образа", где каждое последующее число оказывается стоящим впереди предыдущего.

Однако по мере того, как он усваивает отношения между смежными числами, особенно в обратном порядке, в его сознании происходит интересная перестройка. Главным для него становится последовательность чисел, т.е. время, хотя он по-прежнему еще пользуется пространственными терминами "впереди-сзади". Но теперь впереди стоящим числом оказывается уже предыдущее число, а сзади стоящим -последующее число. "Впереди 3, а сзади 4", -говорят дети.

Их представления о натуральном ряде чисел, когда последующее число воспринимается ими как впереди стоящее, а предыдущее находящееся сзади, мы условно назвали "пространственным образом натурального ряда". Тот же случай, когда в представлении детей начинает доминировать признак времени, т.е. последовательности при назывании чисел, и "впереди" стоящим числом оказывается уже предыдущее (меньшее число), а "сзади" - последующее (большее) число, мы называем "временным образом натурального ряда".

Данные нашего исследования показали картину постепенной перестройки образа натурального ряда по мере все более глубокого осознания ребенком отношений между смежными числами не только в прямом, но и в обратном порядке. образа", где каждое последующее число оказывается стоящим впереди предыдущего.

Однако по мере того, как он усваивает отношения между смежными числами, особенно в обратном порядке, в его сознании происходит интересная перестройка. Главным для него становится последовательность чисел, т.е. время, хотя он по-прежнему еще пользуется пространственными терминами "впереди-сзади". Но теперь впереди стоящим числом оказывается уже предыдущее число, а сзади стоящим -последующее число. "Впереди 3, а сзади 4", - говорят дети.

Их представления о натуральном ряде чисел, когда последующее число воспринимается ими как впереди стоящее, а предыдущее находящееся сзади, мы условно назвали "пространственным образом натурального ряда". Тот же случай, когда в представлении детей начинает доминировать признак времени, т.е. последовательности при назывании чисел, и "впереди" стоящим числом оказывается уже предыдущее (меньшее число), а "сзади" - последующее (большее) число, мы называем "временным образом натурального ряда".

Данные нашего исследования показали картину постепенной перестройки образа натурального ряда по мере все более глубокого осознания ребенком отношений между смежными числами не только в прямом, но и в обратном порядке.

Среди детей пяти лет 80% не могли назвать числа, следующие после заданного. Однако у 20% это знание уже было, что свидетельствовало о начале формирования у них "пространственного образа ряда". Среди шестилеток резко увеличивается количество детей, имеющих "пространственный образ". Но уже в этом возрасте у небольшой их части начинает доминировать последовательность чисел, т.е. временной признак: у ряда детей наблюдается еще смешанный характер представлений; в пределах первого пятка предыдущее число определяется ими как "впереди" стоящее, а последующее - как находящееся "сзади"; во втором же пятке мы видим обратную картину: впереди стоящим числом оказывается последующее, а сзади - предыдущее, т.е. здесь продолжает доминировать признак пространственного определения чисел натурального ряда. Это значит, что обобщение совершается не сразу по отношению ко всем числам: ребенок уже понимает отношения в обратном порядке между числами первого пятка, но не знает еще этих отношений применительно к числам второго пятка.

"Пространственный образ "определения чисел сохраняется и среди первоклассников, хотя у них уже в значительной мере начинает доминировать признак последовательности чисел натурального ряда.

От чего же зависиттакая перестройка в представлениях детей? Педагогический эксперимент показал, что по мере того как они усваивают отношения между смежными числами не только в прямом, но главное - в обратном порядке, признаком определения порядка чисел становилось время. "Пространственный образ" натурального ряда перестраивался во "временной образ ". Опыт работы с пятилетними ребятами показал, что когда перед ними раскрывались отношения между смежными числами только в прямом порядке, то у 84% сформировался образ "пространственного "ряда. У шестилеток, которых мы знакомили с отношениями между смежными числами не только в прямом, но и в обратном порядке, начал формироваться "временной образ" натурального ряда.

Таким образом, при обучении необходимо одновременно раскрыть перед детьми отношения между смежными числами как в прямом, так и в обратном порядке (3 больше 2 на один, а 2 меньше 3 на один). Это полностью оправдалось в нашей опытной работе уже в средне группе и является условием правильного формирования представлений о натуральном ряде как о системе чисел.

Приведенные в статье данные позволяют сформулировать следующие основные выводы.

1. Представление о неопределенной множественности формируется у детей очень рано. Его основой служит повторяемость однородных предметов и однородность движений, производимых самим ребенком.

2. В дальнейшем происходит развитие представления о множестве как целостном единстве, состоящем из отдельных однородных элементов. В этом процессе значительную роль играют различные анализаторы: зрительный, слуховой, осязательный и особенно двигательный. Взаимодействие руки и глаз во время восприятия множества является необходимым условием развития способов его зрительного анализа.

3. Способность различения множеств, а на их основе и формирование понятия числа развиваются в действиях детей с разнообразными множествами. Процесс формирования счета проходит ряд последовательных этапов. Его основой является сравнение множеств путем установления между ними взаимно­однозначного соответствия. Такое сравнение следует производить между разными множествами, в том числе и воспринимаемыми различными анализаторами. Важно научить ребенка не просто произносить числительные, а, считая элементы множеств, устанавливать их количество. Так, постепенно количественное число становится понятием о некотором классе равномощных между собой множеств. Обучение же называнию числительных в отрыве отпрактического счета формирует лишьцепь чисто словесных ассоциаций, не отражающих ни количественных, ни порядковых отношений между числами.

4. В педагогической практике уже на ранних этапах следует создавать основы для развития более высокого уровня счетного действия, обучая детей приемам наложения и приложения элементов множеств. При этом ребенок учится видеть равенство и неравенство совокупностей. Еще не обозначая их числительными, он практически различает, какое из множеств больше или меньше другого. При накоплении достаточно большого чувственного опыта становится возможным переход к счету элементов множества при помощи слов числительных.

5. Особое значение при обучении счету приобретает сравнение множеств, выраженных смежными числами. Они наглядно раскрывают отношения между смежными числами в прямом и обратной порядке, учат определять разностные отношения между ними и способствуют формированию представления о натуральном ряде как определенной системе чисел.

А.М. Леушина. Формирование у детей начальных представлений о количестве. Советская педагогика, 1959, № 8, с. 116-126.

П.Я.Гальперии и Л.С.Георгиев. НЕДОСТАТКИ ОБУЧЕНИЯ СЧЕТУ(исправ)

<...> Каким содержанием современная методика начальной арифметики наполняет понятие о единице? Понятие это не определяется и не разъясняется, а просто сначала показывают группу предметов и называют ее: "это много", потом берут отдельный предмет или отделяют его от группы предметов и говорят: а это -"один". Операция повторяется с разными предметами и в результате слово "один" начинает обозначать вообще "нечто отдельное". Соответственно и другие числа понимаются как совок упности отдельностей.

Признак отдельности вообще не составляет характеристики числа, в частности и числа "один"; он является признаком любого множества как отдельного от другого. Если бы число один получало характеристику только по признаку отдельности, это была бы просто математическая ошибка. Но имеет ли "нечто отдельное", называемое словом один, какие-нибудь другие признаки и притом именно количественные признаки? числовые? Какие это признаки и открываются ли они ребенку при обучении его по современной методике начальной арифметики?

Чтобы экспериментально решить этот вопрос, мы построили ряд задач (с вариантами -более 20), в которых единицы не совпадали с отдельными предметами. Эти задачи мы предложили 60 детям, успешно закончившим обучение в детских садах, где занятия по арифметике были поставлены очень хорошо.

Предварительно мы проверили знания и умения детей по программе. Знания и умения 30 детей намного превосходили требования программы. У 21 ребенка знания большей частью несколько превосходили программные, но "насколько больше, насколько меньше" одно из смежных чисел они не знали. У 9 детей знания оказались посредственными. Кроме "насколько больше, меньше", некоторые из них могли указать состав числа только на предметах, а 4 совсем не могли его указать.

Эксперименты велись строго индивидуально. Приведем не все задачи, но достаточное количество, чтобы желающие могли их повторить и убедиться в результатах.

Задача 7.' Из миски, наполненной рисом, предлагается отложить на стол в одну кучу 5 чайных ложек, а затем отсыпать из этой кучи обратно в миску 4 ложки. Брать рис из миски было легко, а набрать полную ложку из кучки на столе - это требовало специальных предосторожностей. Результаты получились такие:

лишь 28 (из 60) следили, чтобы ложка была полная, и правильно

решали задачу.

32 не следили за полнотой мерки, отсыпали в миску неполные 4 ложки, и остаток у них получился-значительно больше, чем полагалось. На вопрос, сколько ложек риса осталось на столе, 18 из этих 32 примеривая остаток "на глаз", говорили, что осталось 3 или 4 ложки, - они вообще не соотносили фактический остаток с тем, который должен был получиться; 10 детей подняв голову вверх, вычисляли (иногда помогая себе пальцами) и говорили: "Осталась одналожка"; на вопрос: "Разве здесь осталась одналожка?" - четверо повторяли: "Из 5 отнять 4, будет 1, значит, осталась 1 ложка";

остальные соглашались, что осталось больше, но в недоумении пожимали плечами; только четверо из этих 32 после вопроса спохватывались: "Ух, я брал неполные ложки! Здесь осталось больше, адолжна остаться одна". Итак, 32отсчитывали 4отдельности,

а не 4 единицы.

Задача 2. * Ребенок переливал воду из двух кружечек в чашку и устанавливал, что из двух кружек получается одна полная чашка. Мы просили ребенка повторить, из скольких кружечек получается одна полная чашка, и потом, показывая три чашки и четыре кружки, доверху налитые водой, говорили: "Сосчитай, сколько всего чашек воды на столе".

40 детей считали все подряд чашки и кружки. Тогда мы еще раз просили их посчитать чашки. После этого 11 детей дали правильный ответ: объединяя кружки по парам или описывая пальцем полукруг вокруг пары кружек, они засчитывали каждую пару кружек за одну чашку.

Из остальных 49 детей 20 считали подряд, называя все кружки чашками; 17 считали подряд, называя все своими именами; 12 детей, сосчитав чашки, останавливались и говорили, что чашек больше нет; мы просили их считать чашки дальше, и тогда они все начинали считать подряд, причем 10 называли кружки чашками, а трое называли предметы своими именами. Итак, 49 из 60 считали только отдельности и не смогли составить из них единицы.

Задача 3. * На столе лежали две палочки - маленькая в 5 см и большая в 25 см. Ребенка просили определить, сколько маленьких палочек уложится в большой; где нужно было, помогали правильно

' Задачи даны выборочно без сохранения нумерации автора (примеч. автора).

откладывать мерки. После того как ребенок устанавливал, что в длинной палочке помещается пять коротких, мы выкладывали на стол еще четыре такие же маленькие палочки в одну большую и клали ее рядом с цельной, так что равенство обеих было очевидно. Палочки были одинаковыми по форме и цвету, и единственное их различие состояло втом, что одна былацельной, адругая разделенной на части.

Ребенка просили сосчитать, сколько маленьких палочек на столе; это все выполняли правильно. Тогда, показывая еще одну такую же маленькую палочку - образец, мы просили ребенка "узнать, где больше таких палочек - здесь (большая цельная) или здесь (составленная из частей)".

28 (из 60) дали правильный ответ.

32 говорили, что маленьких палочек больше в составной. Цельная палочка выступала как "одна", а составленная из частей -как "много".

Задача 4. * На столе две веревки, одна - больше 80 см, другая 10 см. Показывая ребенку длинную веревку, мы говорили: нам надо взять от этой веревки такой кусок (показываем неопределенно), чтобы в нем было 4 такие веревочки (показываем веревочку-мерку). Ребенок повторял условие задачи, и тогда мы давали ему веревки и предоставляли действовать.

20 детей (из 60) решили задачу правильно.

9 вообще не знали, что делать.

31 дал неправильный ответ: 10 произвольно указывал и размер требуемой веревки, 10 "отмеривали" без помощи мерки, 11 правильно откладывали мерку, но просили отрезать отложенную часть и, когда это запрещалось, отказывались решать задачу.

Задача 5. * Ребенку предлагают отсыпать из миски на стол в одну кучку две столовые ложки риса. Обводя вокруг кучки пальцем, мы говорили ребенку, что эта кучка - его, и просили дать такие же кучки риса воспитательнице (присутствует), маме, папе и бабушке (отсутствуют). Это задание правильно выполнили все дети без видимых затруднений. Но достаточно было изменить инструкцию и вместо имен указать общее число кучек, которое нужно отсыпать (задача 10: "Отсыпь пять таких же кучек", причем на этот раз кучка-образец давалась и одной кучкой, и в виде двух рядом отложенных ложек риса), и теперь только 19 детей решали задачу правильно, а 41 человек упорно откладывали пять раз по одной ложке. Для них число (5) состояло из отдельностей, которыми единственно характеризовались единицы.

Задача 6. * На столе две одинаковые чашки, одинаково доверху наполненные рисом. Ребенка просят сказать, в какой чашке риса больше и, если он указывал на какое-нибудь различие, уравнять чашки (конечно, эти исправления были совершенно незначительны). После этого ребенка просили отсыпать рис на стол отдельными кучками, из одной чашки столовой ложкой, из другой - чайной ложкой; эти кучки откладывались около своей чашки. Между обеими группами кучек клали разделявшую ихлинейку. Обе группы кучек резко отличались по количеству кучек (в столовой ложке помещалось три чайные) и значительно меньше - по размеру кучек - так как рис несколько рассыпался по столу.

Показывая на ту или другую группу кучек, мы просили ребенка сказать, где большие кучки риса, а где маленькие;^ где больше кучек, а где их меньше; и, наконец, задавали вопрос: "Где больше риса?"

10 человек дали правильный ответ.

50 детей утверждали, что риса больше там, где больше кучек, т.е. больше отдельностей. Когда мы спрашивали этих детей: "А если эти кучки сложить обратно в свои чашки?" - 31 продолжали утверждать, что риса будет больше там, где больше кучек. Но 19 сказали, что "тогда будет поровну". "А теперь где больше риса?" -спрашивали мы, и дети снова указывали, что больше риса там, где больше кучек.

Задача 7. Ребенок столовой ложкой отсыпал из миски на стол 3 кучки риса: 1 из 4 ложек, II и III из 2 ложек. Мы просили повторить, сколько ложек риса в каждой кучке, на что все отвечали правильно. Тогда на глазах у ребенка мы рассыпали по столу среднюю кучку (из 2 ложек риса) и спрашивали: "А теперь где больше риса - здесь или здесь (I-II), здесь или здесь (II-III)?"

Только 15 детей дали вполне правильный ответ. 28 решительно указывали на среднюю кучку, как большую из всех - они ориентировались только на резко доминирующий размер; 17 правильно указывали соотношение I и II кучки, но очень колебались в отношении II и III, часто отдавая предпочтение II, эти учитывали не только ширину, но и высоту кучки. В общем, у 45 наглядное преобладание одного размера (или отсутствие такого преобладания) было единственным основанием количественной оценки.

Задача 8. На столе кучка риса (отложена чайной ложкой), рядом две ложки - столовая и чайная. Мы говорим, что в кучке отложено 10 ложек риса и спрашиваем, какой ложкой она отложена.

22 ребенка без колебаний указывали на столовую ложку:

"Большее число - большая ложка".

5 детей все время колебались и смотрели не столько на кучки, сколько на нас, ловя малейший намек с нашей стороны; 33 правильно указывали на чайную ложку и не сбивались, когда мы спрашивали: "А может быть, большой?" Таким образом, около половины детей обнаружили понимание числа как конкретной, абсолютной величины.

В следующей задаче (8а) кучка была составлена из трех столовых ложек; резко отличаясь от предыдущей по числу, она почти не отличалась от нее по внешнему виду (так как 3 столовые ложки почти равны по объему 10 чайным). Рядом с кучкой лежат те же ложки. Мы говорим, что в кучке отложено 3 ложки и задаем тот же вопрос: "Какой ложкой отложена эта кучка?" Но и теперь 22 ребенка без колебаний и устойчиво указывают на маленькую ложку:

Маленькое число - маленькая ложка"...

Эти количественные показатели, а также способ выполнения правильных и неправильных решений показывают, что большое количество детей:

1. Ориентируются не на единицы, а на фактические отдельности, т.е. имеют математически ошибочное представление о единице.

2. Рассматривают число не как отношение к "единице измерения", а как абсолютную величину, наравне с другими конкретными величинами, т.е. имеют неправильное представление и о прочих числах.

3. Производят количественную оценку величин не на основе измерения и числа, а на основе непосредственного сравнения по "сильному признаку" восприятия, т.е. обнаруживают нематематический, доматематический подход к такой оценке.

Дети, правильно решившие контрольные задачи, всегда отличались одним: они уверенно и правильно пользовалисьуказанной мерой. Но общепринятая методика начальной арифметики этому не учит, этому дети учатся главным образом в жизненной практике. Поэтому умение пользоваться "единицей измерения" оказывается разным в отношении разных величин и разных параметров (длины - лучше всего, объемы - хуже, вес - еще хуже и т.д.). Поэтому разные задачи, смотря по близости к житейской практике, решаются с разным успехом, который мало связан с успеваемостью в обучении по арифметике (слабые ученики в этом лишь немного уступали хорошим).

Таким образом, если из общих итогов исключить то, что идет за счет применения меры и чему "по арифметике не учат", то окажется, что арифметические знания не применяются к решению конкретных задач и не затрагивают непосредственный, доматематический подход к количественной оценке величин. Современное обучение начальной арифметике не воспитывает математического подхода к этой задаче и не только не дает разъяснения чисел, но фактически формирует неправильные представления о них. Знания и умения, которые при этом образуются, остаются формальными, и это тем более опасно, что в известных границах (например, втом частном случае, когда единица измерения совпадает с отдельностями) они дают правильный результат, "подкрепляются" и закрепляются. Но за таким внешне правильным результатом нет правильного понимания, и не удивительно, что в литературе встречаются постоянные указания на непонимание детьми того, что они говорят и делают, когда считают. Естественно, что при таком положении не может быть и речи о развитии математического мышления детей, по крайней мере, за счет самой методики преподавания.

П.Я.Гальперин, Л.С.Георгиев. Недостатки обучения счету . Дошкольное воспитание, # 4, 1961, с.61-65.

П.Я.Гальперин, Л.С.Георгиев.

ФОРМИРОВАНИЕ НАЧАЛЬНЫХ МАТЕМАТИЧЕСКИХ ПОНЯТИЙ(исправ)

Методика наша состояла из трех частей. Целью первой было формирование математического подхода к оценке количеств.

Сначала, чтобы оживить знания о применении меры и о важности этого, проводилась экскурсия в магазины. Дети следили за примериванием, отмериванием, отвешиванием, причем их внимание обращали на то, как важно делать это тщательно, точно примерить или отмерить. Затем в детском саду дети "мерились" друг с другом, примеряли вещи и т.д. При этом мы каждый раз спрашивали: "Что нужно сделать, чтобы узнать, кто выше? Подходит ли? Какой больше?" и т.д. Если дети не знали, как ответить, мы отвечали сами, а в следующий раз дети уже называли действие.

Далее следовало выделение разных импровизированных мерок для разных величин: это у нас будет мерка (показывали кубик, спичку, куклу, ложку). Ею мы будем мерит эти вещи. После каждого измерения (результатом которого было только указание, что больше или меньше) мы спрашивали: как называется то, чем мы меряем? Что у нас было меркой? Что мы делаем меркой? В качестве мерки большей частью берем не целые величины, а несколько предметов (два кубика, две ложки риса) или части их (половину спички, половину кружки, половину нарисованного грибка). Так производится количественная дифференциация меры от "отдельности" (отдельных предметов). В следующий раз мы приступаем к ее качественной дифференцировке. Мы спрашиваем, можно ли это (рис, воду) мерить этим (палочкой или картонным кружочком), а это (ленту) этим (кружкой)? А чем их можно мерить? И т.д. В заключение задается общий вопрос: "Можно ли всякую вещь мерить любой меркой?" На что следует общий вывод: нельзя, каждую вещь надо мерить своей меркой -меркой того же рода.

Следующий шаг - процесс откладывания мерки, "процесс измерения". Берем материалы, требующие неоднократного приложения мерки, и показываем необходимость правильного, т.е. точного, откладывания мерки. "Измерение" производится сначала физически, потом на глаз, но в присутствии мерки и, наконец, по одному словесному ее называнию (например, меркой будет зеленый кубик, спичка и т.п.).

В результате отмеривания одной и той же меркой впервые получаются собственно математические множества: совокупности элементов, одинаковых, равных в определенном отношении. Теперь мы приступаем к их сравнению, соизмерению. Но сначала показываем, что для этого нужен специальный прием: показываем две беспорядочные группы из 10-11 элементов и спрашиваем, какая больше. В таком виде это нельзя сразу определить. Дав почувствовать затруднение, мы объясняем, что для правильного решения нужно расположить группы в два ряда, один под другим, элемент одного к элементу другого. Таким образом, мы специально выделяем одно из основных математическихдействий - однозначное соотношение - и учим ему детей. По общепринятой методике это действие тоже используется, но останется глубоко скрытым.

На основе такого сравнения множеств формируются понятия "столько же, равно", "больше", "Меньше" и "больше (меньше) на столько" с показом вещественного избытка (или недостатка).

Следующая задача - обобщение множеств. Желая сделать это наглядно, мы вводим заместительфактическиотмеренныхколичеств, их эквиваленты. Чтобы показать необходимость такой замены, мы переходим к отмериванию величин, в которых отложенные меркой количества снова теряются: длина стола, на котором нельзя делать заметки, крупа или вода, отдельные мерки которой сливаются в общую миску и т.п. "Сколько получилось?" - спрашиваем мы. Показать нечего, ребенок в затруднении. Тогда мы говорим: "Вот видишь, мы отмерили, да не отметили и теперь не знаем, сколько получилось". Дальше на каждую отложенную мерку будет откладывать для памяти какой-нибудь предмет. После каждого откладывания эквивалентов спрашиваем: 'Что было меркой?" Теперь величины (например, длина стола и подоконника) сравниваются не по выделенным меркой количествам, а по их эквивалентам. Однако каждый раз они сохраняют прямое отношение к своей конкретной величине. Чтобы еще больше освободить от связи с ней, мы прибегаем к такому приему: берем (без предварительного отмеривания) группу эквивалентов и говорим: "Вот что-то мерили какой-то меркой и получили столько отложенных мерок" (показываем). Тут же объект - "некий", мера - "некая", но количество отложенных мерок по-прежнему представлена вещественно. С этими материально данными абстракциями проводятся те же операции соизмерения и определения понятий "больше", "меньше" и т.д. Причем каждый раз мы спрашивали: "Что означают эти предметы?" И таким образом они все время выступают лишь в функции представителей отложенных количеств, теперь уже совершенно абстрактных.

Все это подготавливает второй раздел программы -формирование понятий о числах первого десятка и арифметических действияхсиими.

Первая задача - создать положение, где числа становятся необходимостью. Это бывает, когда нужно сказать, а не показать вещественные количества, как на предыдущей ступени обучения, а сказать сколько. Например, говорим ребенку: "Пойди и попроси воспитателя дать тебе столько карандашей, сколько здесь кубиков. Нет, кубики брать нельзя, они нужны нам здесь. Как это сделать? Для этого нужно знать числа и уметь считать. Вот теперь мы будем учить числа и учиться считать".

Первое число - единица. Ей сразу дается определение: это то, что равно данной мерке. Тут же показывается цифра: это написано число один, единица. Писать цифры мы не учим и пользуемся цифрами, написанными на карточках. Тотчас единица применяется в измерении и счете: отмерь столько... (показываем цифру) принеси один... (или столько - цифра); это сколько (показываем цифру или объекты, равные мерке)? И т.д.

Проводятся специальные дифференцировки, чтобы показать, что и мера, и отмеренное ею сами по себе не единицы, единица то, что отмерено, когда оно равно мерке и только по отношению к своей мерке.

Число "два" разъясняется на первом его составе: 1 +1. Дается название и цифра. Тотчас вводится различение количественного и порядкового счета: "сколько всего" и "какой по порядку, по очереди". Счет прямой и обратный. Затем опять разнообразное применение в измерении и счете объектов. Так как два получалось через 1+1, то следующее число 1-1, т.е. 0. Мы разъясняем его как "ничего не осталось" (не умея сделать лучше) и дальше "отрабатываем" как и предыдущие числа. Число "три" образуем как 2+1, отрабатываем так же, но с него начинаем изучение "состава числа" путем всевозможных прибавлений и отниманий: 2+1,2-1, 1+1+1, 1+2,3-1,3-2,3-1-1-1.

На материале четырех чисел: 0, 1, 2, 3 - мы даем правило образования чисел (натурального ряда). Для этого вертикально выкладываем цифры, а около каждой по горизонтали -эквиваленты (в соответствующем количестве). Получается лесенка, на которой легко показать, что "каждое следующее число больше предыдущего на один", а "каждое предыдущее меньше следующего тоже на один";

для облегчения мы делим правило на эти две части. Тут же проводится обобщение правила: берем группу из 12-15 предметов, она вещественно представляет и говорим: 'Воту нас какое-то число предметов; какое будет следующее число? А еще следующее? А какое было предыдущее?" И т.д.

После "трех" каждое новое число дети образуют сами (предыдущее + 1), и затем оно отрабатывается по следующей схеме:

1. Образование нового числа, его название и цифра.

2. Количественный и порядковый счет.

3. Обратный счет и счет от средних членов ряда (тоже прямой и обратный).

4. Отношения между смежными числами (на сколько больше, на сколько меньше).

5. Дифференцировка количественных отношений величин от их пространственных размеров и положения в пространстве.

6. Сложение и вычитание (всевозможные) в пределах нового числа простыми мерками (совпадающими с фактическими отдельностями).

7. То же "составными мерками" (равными нескольким фактически имеющимся конкретным величинам) с указанием как полученных единиц, так и числа полученных в результате отдельных предметов.

8. Изучение состава нового числа на основе сложения и вычитания (это подготавливается в двух предыдущих параграфах, а теперь проводится систематически).

С каждым новым числом знания по указанным 8 пунктам усваиваются все легче (вероятно, потому, что опираются на одну и ту же схему и на все возрастающий объем уже известных знаний).

В третье части изучались зависимости между величиной, мерой и числом. Мы ограничились изучением того, что если мерку увеличить, то число станетменьше, а если взять меньшую мерку, то число будет больше (конечно, при неизменной величине) словом, что число показывает размер величины не прямо, а через мерку и чем больше число, тем меньше мерка. Все это показываем на конкретных величинах, причем дети еще раз убеждаются: нельзя сравнивать числа, полученные от измерения разными мерками, даже если они одного рода, а тем более если они разного рода (спичка и карандаш, длина и вес).

Описанная методика систематически затормаживает донаучную оценку величин по непосредственному сравнению и господствующему наглядному признаку. Кроме того, она воспитывает неуклонное применение мерки и последовательно формирует ряд понятий: мерка, отмеривание, соотношение отмеренных и одинаковых количеств одно к одному, больше, меньше, равно, настолько (больше, меньше), единица и т.д. .Для каждого из них указывается действие, с помощью которого оно выделяется, каждому дается словесное выражение, и все они дифференцируются от сходных представлений донаучного опыта. При этом самые абстрактные понятия и правила опираются на материальные и наглядные модели. <...>

П.Я. Гальперин, Л.С.Георгиев. Формирование начальных математических понятий. Дошкольное воспитание, 1961, # 6, с.65-67.

В.В.Данилова.

ОСОБЕННОСТИ ПОНИМАНИЯ КОЛИЧЕСТВЕННЫХ ОТНОШЕНИЙ СОВОКУПНОСТИ ДЕТЬМИ 2-Х - 3-Х ЛЕТ(есть)

На основе данных констатирующего эксперимента установлены ступени развития действия с элементами множеств и формирование элементарных количественных представлений: происходит восприятие неопределенной множественности (до 2 лет); появляется различительная способность "одного и много", в это же время идет активное овладение грамматическими формами единственного и множественного числа разных частей речи; зарождается тенденция к различению и обособлению малого и большого множества (конец 2-го и начало 3-го года жизни); дети на 3-ем году начинают самостоятельно составлять "много" из отдельных предметов, сопровождая действия словами "еще, еще..." или "вот, вот...", показывающими нарастание, увеличение, а также разделять множество на отдельные элементы; происходит овладение способом сопоставления элементов одного и другого множества приемов наложения элементов одной совокупности на элементы другой.

Наши наблюдения в процессе опытных занятий позволили сделать вывод, что в зависимости от содержания знаний, следует организовывать различные действия и усложнять их.

Мы исходили из следующих положений: 1) маленьких детей можно обучать способам выделения отдельностей в совокупностях и умению объединять их; 2) детям необходимо обеспечить длительное упражнение в выполнении одних и тех же заданий, чтобы они приобрели достаточно устойчивые умения и знания.

На занятиях мы стремились, чтобы дети рассматривали всю совокупность в целом (3-4 игрушки, поставленные рядом), последовательно зрительно воспринимали игрушки одной группы, потом другой. Затем предлагали ПЕРЕДВИГАТЬ элементы одной совокупности, потом другой и только после этого сказать о большой или меньшей совокупности ("где мало, а где много", или "чего мало, чего много").

В обучающем эксперименте мы имели цель сформировать некоторую систему умений, знаний, являющихся компонентами будущей счетной деятельности (выделять отдельности, соотносить элементы один к одному, называть их количество).

Перед опытными занятиями мы стремились создать определенную настроенность, вызвать желание заниматься, создали "установку" (Д.Н.Узнадзе) на выполнение заданий.

Остановимся на одной из задач формирующего эксперимента:

научить создавать совокупности изотдельных предметов, понимать нечисловую характеристику их и самим называть совокупности словами "много", "мало", "один", видеть в совокупностях равное (одинаковое) количество и находить, и называть "лишний", "лишние" предметы.

Следовательно, мы стремились показать детям, что разноколичественные совокупности они могут воспринимать готовыми, или создавать их сами, могут совокупности предметов называть словом наименованием предметов во множественном числе или, подчеркивая количественную сторону совокупности, определять ее словом "много", "мало".

На занятиях мы пытались последовательно вести детей от "простого к сложному": уточняли название предметов множества (что это?), признаки (какого цвета? величины?", и наконец, количество предметов: (сколько?).

Таким образом мы показывали детям, что одни и те же предметы можно рассмотреть с разных сторон.

Дальнейший анализ совокупности проводился путем группировки предметов совокупности по цвету, размеру, после чего подчеркивалось количество элементов в каждой созданной группе. Например: "красных много... и зеленых много". Таким путем мы обеспечивали формирование у детей первоначальных знаний о том, что одним и тем же предметам можно давать различную характеристику, в том числе и количественную.

В результате констатирующего эксперимента мы выявили, что дети третьего года жизни сравнительно легко овладевают приемом наложения элементов одного множества на элементы другого и в нашу задачу входило помочь детям понять результаты производимых ими действий.

Здесь мы имели в виду:

1. Сформировать навык действовать правой рукой, слева-направо.

2. Научить, выделяя каждый отдельный элемент в обоих совокупностях, четко соотносить их элементы 1:1 (в приеме наложения), и воспринимать обе совокупности как равные (одинаковые) по количеству. (Задание сформулировать так: поставь на кружочки столько же уточек).

3. Учиться различать совокупности по количеству и называть их неопределенными числительными "много", "мало", числительным "один" (в соответствии с наличием предметов в них).

4. Оставшиеся при наложении элементы множества соотносить с уже расставленными, воспринимая их в едином целом множестве, и воспринимать их как "лишние", называя соответствующим словом.

В группе детей 1 г.бмес. -2летмы учили их различать"много" - "мало". В группе 2-3 лет мы уже на основе уравнивания предметов двух совокупностей приемом наложения учили видеть, что в одной группе больше, в другой - меньше предметов, и уметь отразить это в словах "лишний", "не хватает, мало здесь".

Дети третьего года жизни различали количество в предметных совокупностях и называли словом "много" 3-4 кружка, 3-4-5 уток, машин, елочек, матрешек. Именно этим неопределенно-количественным числительным, после обучения, пользовалисьдети при отвеге на вопрос "сколько?". Дети уже знали некоторые слова-числительные. Однако они употребляли их неадекватно.

В результате проведенных занятий мы получили данные, показывающие, что дети третьего года жизни могут уже выделить признак количества (т.е. появляется первая примета абстракции количественной стороны от предметного содержания), и это отражается в речи.

Все дети (100%) в возрасте 2 лет 1 мес. - 3 лет на вопрос "Что это?" при предъявлении совокупностей называли их, употребляя существительные множественного числа "уточки" (2 г. 1 мес.), "матеки" (матрешки)'"?. г. 2 мес.) "малеськи (матрешки) маленьки", (2 г. 5 мес.), "уточки, много" (2 г. 8 мес.) "утки, кружочки" (2 г. 91 мес.), "машины, колесики" (2 г. 11 мес.). На вопрос "сколько?" дети отвечали неопределенно-количественным числительным "много", или "мало" (давались совокупности с выраженным большим и меньшим количеством элементов). Понимая важность гармонического сочетания восприятия и слова, соотношения чувственного опыта ребенка с развитием его речи, мы старались наряду с обучением действиям, приему наложения, обогащать и словарь ребенка в соответствии с уровнем понимания...

Мы можем говорить и о развитии понимания детьми третьего года жизни значение вопроса "сколько", при условии обучения дифференцированному восприятию количества.

При обучении способу наложения в формирующем эксперименте мы раскрывали единство, взаимосвязь элементов одного множества независимо от их пространственного положения:

стоящие на кирпичиках, кубиках, кружочках игрушки соотносились с оставшимися на столе, в коробочке и наоборот. Мы привлекали внимание детей прежде всего к количеству в тех и других совокупностях, спрашивая "сколько?" в каждой из них.

Дети как младшей подгруппы, так и старшей всегда правильно характеризовали количественную сторону совокупностей, употребляя слово "много". Наши опыты показали, что у б детей младшей подгруппы) в возрасте 2 лет 1 мес. - 2 лет б мес.) дифференцировка множеств с различием в 2 предмета была крайне редкой и не опосредовалась словом "мало". Только двое детей из 6 детей, правильно показав "где мало?", сделали попытку подробно повторить эту словесную характеристику и произнесли "мая" (мало). Как показали наши опыты с детьми слово "мало" в активном словаре детей появляется позже слова "много", хотя практическое различение множеств при контрастных количествах появляется относительно рано...

Нашей задачей в формирующем эксперименте, как мы указывали, было: научить воспринимать элементы множества как единое целое, при условии разделения в совокупности групп по пространственному положению их: например, игрушки, стоящие на кубиках и оставшиеся на столе; устанавливать взаимосвязь между этими группами, проведя анализ и синтез их, называть оставшиеся- лишними.

Мы давали объяснение детям, что "лишние" ("лишняя", "лишний") - те, которые остались: для них нет, не хватило кружочков, кирпичиков, уточек и т.д.

Говоря о лишних элементах, мы привлекали внимание детей к количественным отношениям предметов совокупностей: "Посмотри, уток сколько?... много! Вот как много! а кружочков, меньше. Видишь утка на столе стоит. Ей нет кружка. Посмотри, а эти все стоят на кружках?" Ребенок приподнимает утку, а экспериментатор, сопровождая действие его, говорил: "Эта на кружке, эта на кружке, эта на кружке. Этой утке нет кружка. Где утка без кружочка?" - ждали показа. "Эта утка?... лишняя, ее некуда поставить. Где лишняя утка?-.. правильно". Одобряли ребенка, если он повторял за экспериментатором "лишняя".

Таким образом, высказывая суждение на основе действий ребенка, мы помогали установить связь слова - "лишний" с предметом, помогали зарождению новой ассоциации. А как указывал И.П.Павлов: "Каждая маленькая первая ассоциация это есть момент

рождения мысли".

На занятиях, где дети знакомились со словом "лишний", мы

имели возможность наблюдать типичные проявления при освоении нового понятия. Первоначально дети младшей подгруппы прислушивались (чаще не глядя на элементы множества), делали попытку повторить за экспериментатором слово "лишний' ("исси", лиси"), но и повторение этого слова еще не говорит о понимании его значения. У детей этого возраста оно приобретает смысл

качества, наряду с цветом, величиной...

То, что дети умели различать и правильно называть: "много... мало" мы склонны думать, что здесь имеют место первые элементы абстрагирующей мысли - количество начало обособляться от предметности. Конечно, здесь еще не утрачена связь с сенсорно познавательным обликом совокупности, но уже возникает обобщенное представление о количественной стороне, что связано с конкретным представлением об элементах внутри данной

совокупности.

По мере овладения понимания количественной стороны предметных совокупностей детьми 3-го года жизни мы изменили несколько цель задания. От количественной характеристики каждой предметной совокупности ("это много" ... - "это мало"), мы попытались перевести детей к восприятию и пониманию количественных отношений между элементами двух совокупностей, которые характеризовались словами "больше-меньше". Такая словесная формулировка теперь отражала сущность результата действия наложения и предполагала развитие мыслительной

операции - сравнения.

В задании, например, - "поставить столько матрешек, сколько

кубиков стоит", после того как 4 матрешки поставлены на 4 кубика, а две оставались без кубиков, экспериментатор спрашивает: "А эти матрешки?".... - "Лиси"...., - "лисние" (лишние) - отвечали дети. Экспериментатор продолжал: "Эти матрешки не на кубиках, им нет кубиков. - Чего же больше, матрешек или кубиков? А чего меньше?" - ставил риторический вопрос и сам отвечал на него: - "Матрешек больше, а кубиков... меньше", при этом показывал, где, сколько.

На первом занятии дети прислушивались к речи взрослого, некоторые из детей старшей подгруппы повторяли вслед за экспериментатором, как нами отмечено, только последние слова "босе..." "месе..." (больше-меньше). (Таня Н. 3 г. Дима Г. 3 г., Аня

Г. 3 г. и др).

Дети младшей подгруппы в редких случаях повторяли, в

основном молча слушали, смотрели на игрушки.

В этих заданиях мы ставили разные задачи обучения:

1. научить понимать отношения сравниваемых совокупностей. 2. проследить, в какой возрастной период дети смогут сами в слове выразить количественные отношения "больше-меньше".

Показателем понимания отношения сравниваемых совокупностей избрали правильность ответов (жестом, словом) детей на вопрос, "чего больше, скажи... (если молчит), покажи? а чего меньше?..."; в другом случае мы задавали вопрос, меняя зависимость отношений сначала "чего - меньше"..., а затем "чего больше?"...

Мы провели два варианта занятия с использованием способа приложения, где дети должны были подставить а) к трем большим матрешкам, пять маленьких; б) к пяти большим - три маленьких. В каждом из вариантов ставился одинаковый вопрос "скажи (покажи) каких матрешек больше? Каких матрешек меньше?"

Занятие проводилось с подгруппами в 4-5 человек. В коробке были помещены большие матрешки. Экспериментатор ставил (слева) перед каждым ребенком по одной матрешке, предлагая расставить всех матрешек перед собой, чтобы было "много матрешек". Каждый ставил матрешек и смотрел, что и как делают другие. Затем экспериментатор ставил каждому ребенку коробочку с 5-ю маленькими матрешками и предлагал поставить каждой большой матрешке - одну маленькую "каких матрешек больше, каких меньше?"

Характерно четкое отношение к оставшимся предметам, не имеющим пары: дети младшей подгруппы, и особенно старшей, сразу сообщали: "остались; вот лишние". Мы подтверждали, что "правильно, это лишние". И здесь же спрашивали: "посмотри, каких матрешек больше, а каких меньше?" , просили показать, а каких меньше.... больше?" •

Приведем примеры из протоколов занятий с детьми.

Лена К. (2 г. 6 мес.) - задание 1 -го варианта, - "Каких матрешек меньше? покажи" - смотрит, показывает на больших (их 3), говорит "месе". Экспериментатор - "а маленьких? (их 5) - "а маленьких больсе" - правильно ответила.

Катя Г. - (2 г. 8 мес. ) - на вопрос экспериментатора молчит и не показывает, смотрит на матрешек; экспериментатор спрашивает об оставшихся. "Это какие?" Катя - "лишние". - Правильно, значит маленьких матрешек больше. - Катя - "больсе"; экспериментатор -"Каких больше?" - "Вот этих" - показывает на больших (неправильно);

"а каких меньше?" - смотрит. "Этих" - ничего не показывая. Экспериментатор - "Покажи, Катя, много матрешек". - "Вот много", - "а мало матрешек", "а мало вот" и показывает правильно.

Как видим, девочка воспринимает каждую совокупность, характеризуя ее словами "много-мало". Сравнения не производит.

Ответы детей старшей подгруппы, которым к этому времени всем исполнилось три года.

Аня Г. (3 г.)" этих больше, маленьких" - "а каких меньше? -"больших" - и сейчас же поясняет: - "сяс они придут!" (сейчас они придут).

Света К. (3 г. 1 мес.): переспрашивает: "меньсе?" (меньше?) -"Этих" - (правильно показывает на 3 больших), " а вот больше" (показывает на 5 маленьких правильно).

Саша Т. (3 г. 4 мес.) "маленьких больше, а матрешек меньше". Экспериментатор - "каких матрешек меньше?" - Саша - "этих" -показывает на больших, "им не хватило".

Мы добавили еще 2-х больших матрешек (сделав по 5) спросили Сашу, что можно теперь сказать о матрешках? Саша: "и больших больше и маленьких больше" - сказал с удовольствием, улыбаясь. Такие ответы мы получили у ряда детей.

Особенности их восприятия свидетельствовали об отождествлении неопределенной множественности, что выражалось раньше в словах "много тоже много". Эти дети не воспринимали еще отношений между двумя множествами, каждое из них воспринимается изолированно от другого.

Даже, если дети повторяли слова, "больше-меньше", они не могли соотнести их с соответствующими совокупностями. Судя по ответам детей младшей подгруппы, мы сделали вывод, что ими не усвоена характеристика сравнения словами "больше-меньше". Они остаются на общей характеристике каждого множества отдельно.

Однако дети младшей подгруппы молча прислушивались, когда взрослый сравнивал, они очень внимательно слушали речь взрослого. Часть детей на предложение повторить, в основном не сравнивали, а просто весьма обобщенно характеризовали группу как "много - мало".

В старшей подгруппе в первом варианте (3 крупных матрешки и 5 мелких) 15 детей правильно различали большее и меньшее множество из них 13 детей говорили "этих, больших меньше", "вот больше, маленьких" 2 детей показывали наоборот, ориентируясь на величину.

Во втором варианте те же 15 детей правильно показали, а двое - отказались отвечать.

Таким образом, исходя из приведенных примеров ответов детей и данных по подгруппам, мы видим, что форма выражения сравнения словом сложна потому, что для детей младшей подгруппы третьего года жизни (2 г. б мес.) количество еще не вычленялось как особый существенный признак при сравнении групп реальных предметов. Ребенок воспринимает уже количество в группе предметов, но оно еще не отделимо для него от самих предметов, поэтому он каждую совокупность воспринимает изолированно от другой, в каждой из них видит "много" предметов, не сравнивая группы между собою.

Естественно, что эти дети не усваивают грамматической формы - сравнительной степени прилагательных, поскольку "освоение различных грамматических форм требует от ребенка прежде всего отвлечения отношений".

К трем годам мыслительная деятельность углубляется, что и отражается в речи детей. Дети уже проявляют способность воспринимать различный характер вопросов, давая адекватный ответ, 88% детей 2 лет 7 мес. - 3 года правильно показывали отвечая на вопрос: "чего больше? чего меньше?", 73% из них, повторяя за экспериментатором слова "Больше... меньше", здесь же отвечали на дополнительно поставленный вопрос: "больше чего? а меньше чего?", требующий понимания отношений. Некоторая часть детей с помощью экспериментатора пытались сами характеризовать эти отношения. Экспериментатор просил закончить фразу: "значит, уток... что?" - больше" - отвечали дети, - "а кружков?" - меньше" -заканчивали они.

Как видим, вопрос уже характеризовал количественные отношения элементов совокупностей, основывался на непосредственной практической деятельности детей и зрительном восприятии: дети по слову должны были произвести сравнение и дифференцировку количества, указав где и чего поставлено больше-меньше и в соответствии с установленным отношением. - назвать каждую совокупность.

Из вышеуказанного, вышеизложенного можно сделать некоторые выводы:

1. Понимание детьми отношений развивалось от возраста к возрасту: сначала дети на 3-ем году жизни начали понимать отношения между элементами внутри множества, как целого. На этом этапе сравнение количеств проходило на основе восприятия совокупности при наличии резких контрастов (2 и 4; 2 и 5) и именовалось как "много" - "мало".

Позднее же, в результате обучения дети начали понимать и отношения между двумя множествами, овладевая при этом способом поэлементного сравнения, что и позволило им овладеть грамматической формой слов и сравнительной степени "больше-меньше" в сочетании с существительными, что говорит о некоторой более глубокой осознанности отношений между двумя множествами.

2. Наличие понимания отношений между элементами множеств позволяет обучать детей 3-го года жизни умениям создавать и дифференцировать разновеликие множества, обучать приемам их сравнения. Учитывая, что первоначальные грамматические формы осваиваются по общим законам вырабоки динамического стереотипа, мы полагали, что следует употреблять не только слова для дочисловой характеристики каждого множества (много-мало), а на основе сравнения множеств называть установленные их отношения словами сравнительной степени: "больше-меньше".

3. Исходя из вышесказанного, считаем, что необходимо поощрять желание ребенка действовать с множествами, сравнивая их и повторяя за взрослым слова, характеризующие количественные отношения при сравнении совокупностей.

Способствуя развитию правильного восприятия этих количественных отношений, привлекать внимание детей к сравнению, ставя соответствующие вопросы: "чего больше? чего меньше? Этих меньше, а этих?..." Допустимо предлагать детям повторять за взрослым слова.

В.В.Данилова. Особенности понимания количественных отношений совокупностей детьми 2-х - 3-хлет. (В сб. Вопросы дошкольной педагогики. М.,1975, с. 145-155

Г.А. Корнеева.

РОЛЬ ПРЕДМЕТНЫХ ДЕЙСТВИЙ В ФОРМИРОВАНИИ ПОНЯТИЯ ЧИСЛА У ДОШКОЛЬНИКОВ(исправ)

<...> Гипотеза нашего исследования состояла в том, что синтез класса и порядка, целого и части, которые, согласно Ж.Пиаже, лежат в основе понятия числа, возникают у детей в особой ситуации, требующей опосредованного уравнивания величин и благодаря специфическому действию, посредством которого ребенок выявляет кратное отношение величины к какой-либо ее части <-..>3адачи исследования были следующими:

1. Необходимо было выделить группу детей дошкольного возраста, обладающих высоким уровнем сформированности логических операций классификации и сериации, и выявить у них особенности ориентации в числовых характеристиках объектов.

2. В случае, если окажется, что эта группа детей не имеет подлинного понятия о числе, надо было сформировать у них это понятие на основе действия по определению кратного отношения величин в условиях их опосредованного уравнивания.

3. Требовалось установить, влияет ли уровень сформированности операций классификации и сериации на процесс формирования у детей понятия числа; для этого нужно было выделить группу детей, обладающих низким уровнем сформированности классификации и сериации, и провести с ними работу, аналогичную той, которую предполагалось осуществить с "сильными" детьми, чтобы определить:

а) есть ли различие в обучении детей, обладающих высоким и низким уровнем сформированности классификации и сериации;

б)имеются ли у "слабых" детей познавательные возможности для усвоения подлинного понятия числа.

4. Важно было создать практические рекомендации к методике формирования у детей - дошкольников понятия числа на основе определения кратного отношения величин (такая методика обучения первоклассников ранее была разработана Г.И.Минской). В соответствии с задачами исследования была разработана методика проведения констатирующих и обучающих экспериментов.

Задача констатирующего эксперимента состояла в выяснении правомерности положения Ж.Пиаже о том, что понятие числа возникает у ребенка при синтезе классификации и сериации. На первом этапе эксперимента мы выявили состояние этих операций у сравнительно большой группы детей (418 человек от четырех до семи лет), посещавших московские детские сады. На основе полученных данных из всей группы были выделены дети, имеющие полноценную классификацию и сериацию. На втором этапе этим детям предлагались задания, по характеру выполнения которых можно было судить об уровне сформированности понятия числа. Нам важно было установить наличие или отсутствие прямой связи между соответствующими логическими операциями и понятием числа. Уровень сформированности у детей классификации и сериации мы проверяли точно по тем заданиям и в той же последовательности, которые были использованы Ж.Пиаже и Б.Инелъдер.

Всего детям предлагалось 71 задание разного типа. Первые два типа заданий -"квантор все" и "квантор некоторые" выявляли наличие у детей связи, которая объединяет подкласс, характеризующийся объемом "некоторые", с классом, характеризующимся объемом "все". В третьем типе заданий (на относительность слова "некоторые") выяснялось понимание детьми квантора "некоторые", взятого в относительном смысле, когда элементы одной и той же совокупности А, включенной в В, являются одновременно "всеми А" и "некоторыми В".

Задания типа "включение классов в иерархические классификации" предполагали следующий ряд включений - А (красные тюльпаны) В (все тюльпаны) С (цветы) D (предметы и цветы). Они состояли из трех серий (первая - спонтанная классификация, вторая проверяла прочность логических группировок и третья выясняла понимание квантификации включения). В пятом типе заданий дети должны были разложить на логические группы все предметы, предъявленные одновременно. После того как они заканчивали классификацию, им предлагалось сделать другую, меняя исходные критерии (так повторялось несколько раз). Шестой тип заданий проверял состояние операции сериации, т.е. умение детей устанавливать асимметричные отношения, упорядочивать предметы в ряд по интенсивности их величины и оттенка цвета. Наиболее трудным для детей было задание на мультипликацию, где требовалось, с одной стороны, упорядочить предметы в ряд по величине и цвету, а с другой -классифицировать их по общему признаку (по величине или цвету).

Анализ количественных данных, которые мы получили при выполнении детьми описанных типов заданий, позволил нам выделить группу, состоящую из 136 детей. Эти дети выполнили все или почти все предлагаемые задания (от 71 до 65). Это позволило считать высоким уровень сформированности у них операций классификации и сериации.

Наши данные мы сравнили сданными, полученными Ж.Пиаже и Б.Инельдер в экспериментах, проведенных с детьми, не пос тающими дошкольные учреждения г.Женевы. Наши испытуемые посещали детский сад и так или иначе усваивали содержание той программы воспитательной работы, которая там проводится. Важно было сопоставить общее состояние этих операций у московских детей и у детей Женевы, поскольку при этом можно было выявить возможное влияние специального обучения дошкольников) в частности, обучение элементам математики) на уровень развития этих логических операций. Как известно, сам Ж.Пиаже полагает, что такое обучение сколько-нибудь существенного влияния на умственное развитие детей не оказывает.

Приведем некоторые итоги такого сопоставления (отметим, что наши опыты ставились в аналогичных условиях, при тех же формулировках заданий и с детьми тех же возрастов, что и у Ж.Пиаже, а в одном случае даже с более младшими детьми).

В заданиях, связанных с квантором "все", перед детьми лежали 5 красных кругов, 2 красных и 2 зеленых квадрата. Дети должны были ответить на четыре вопроса: "Все ли квадраты зеленые?", "Все ли то, что здесь зеленого цвета, - квадраты?", 'Все ли то, что здесь красного цвета, - круги?", "Всели круги красные?". Соответственно на эти вопросы правильно ответили, по данным Ж.Пиаже и Б.Инельдер, 70, 57,69 и 82% пятилетних детей; 79, 58, 60 и 63% шестилетних детей; 88, 68, 73 и 64% семилетних детей. Наши данные по первой группе детей - 70,73,60,66% по второй - 83,75,

81, 73%, по третьей - 92, 82, 88 и 83%.

В опытах по выяснению понимания относительности слова "некоторые" перед детьми лежали шесть красных и пять желтых тюльпанов и ромашек. Детям задавали четыре вопроса: "Все тюльпаны и несколько цветков - это одно и то же?", "Если Сережа сказал, что все тюльпаны -цветки, а ты сказал, что некоторые тюльпаны цветки, - кто прав?" "Если ты сказал, что несколько цветков - тюльпаны, а Сережа сказал, что все цветки - тюльпаны, - кто прав?" "В этом букете больше ромашек или цветков?" Эти задания правильно выполнили 50,47, 83 и 33% женевских детей 6-9 лет. Мы эти вопросы предлагали только дошкольникам 5-7 лет. Правильных ответов было 40, 71, 67 и 61%. В ряде заданий предполагалось включение классов. При наличии указанного выше материала ребенок должен был ответить на четыре вопроса: "Больше красных тюльпанов или всех тюльпанов?", "Большетюльпанов или всех цветков?", "Если ты возьмешь все тюльпаны, останутся какие-нибудь цветки?", Если ты возьмешь все цветки, то останутся какие-нибудь тюльпаны?" На эти вопросы ответили 30, 47, 83 и 71% женевских детей 5-6 лет и 38,47, 75 и 66% женевских детей 7-8 лет. Наши данные следующие: по первой группе детей - 76,76,83,80%,

по второй - 84, 83, 93 и 73%.

Были задания, требовавшие переделки уже законченных

классификаций, изменения их критерия. Изменение классификации по трем критериям смогли сделать 29% шестилетних детей из Женевы и 28% - семилетних; пятилетние дети эти задания не смогли выполнить. У нас эти задания соответственно выполнили 31% пятилетних детей, 52% шестилетних и 56% семилетних детей.

В заданиях на сериацию детям предлагалось разложить линейки в ряд, начиная с самой маленькой (это можно сделать методом подбора, проб), а также предварительно нарисовав способ раскладывания (собственно операторный метод). Методом проб правильно решили задание в Женеве 40% пятилетних детей, 36% шестилетних детей и 20% семилетних детей; операторным методом эти задания соответственно по возрастам выполнили 6,22 и 80% женевских детей. Наши данные: по методу проб - 46, 37 и 37% по операторному методу - 29, 55 и 63% детей.

Анализ количественных данных показал, что основные задания, по которым можно было судить о действительном уровне сформированное™ классификации и сериации, наши дошкольники выполняли правильно гораздо чаще и более гибко, чем женевские дети того же возраста. Причина такого расхождения результатов может состоять, на наш взгляд в том, что женевские дети не имели сколько-нибудь целенаправленного и систематического обучения, в то время как наши испытуемые в течение более или менее длительного времени усваивали содержание специальной программы воспитательной работы, принятой в советских дошкольных учреждениях. Это обстоятельство позволяет выдвинуть правомерное предположение о том, что дошкольное обучение оказывает определенное влияние на развитие тех сторон интеллектуальной деятельности ребенка, уровень которых проверяется системой заданий Ж.Пиаже. Согласно же общей теории интеллекта ребенка, созданной Ж.Пиаже, такое развитие в принципе не зависит от специального обучения и подчиняется будто бы некоторым имманентным законам смены интеллектуальных структур. Вместе с тем наше предположение согласуется с данными ряда исследователей (П.Я.Гальперин, Дж.Брунер, Д.Б.Эльконин, В.В.Давыдов), показавших неправомерность "разведения" умственного развития и обучающих факторов. Результаты, которые мы получили, соответствуют заключениям исследователей этого направления и позволяют поставить вопрос о характере связи

умственного развития и обучения.

<...> Задача второго этапа наших констатирующих экспериментов, как уже было сказано, состояла в том, чтобы проверить пол ноценность понятия числа у детей, имеющих хорошо развитые классификацию и сериацию. Каждому такому ребенку индивидуально предъявлялись задания, выполнение которых характеризует уровень усвоения понятия числа. Предъявлялось семь типов заданий, заимствованных из работы Ж.Пиаже, - их правильное выполнение возможно было при хорошо сформированном понятии числа (с учетом вариантов всего было

дано 26 заданий).

Выполнение заданий первого и второго типов предполагало понимание сохранения непрерывных величин (согласно Ж.Пиаже, это является важным моментом понятия числа). Третий тип заданий предполагал понимание взаимного соответствия и эквивалентности соответствующих совокупностей, четвертый - определение количественного значения множеств, пятый - понимание отношения класса и числа, шестой - определение ранга и количественного числа и, наконец, седьмой - уравнивание различных величин.

Анализ ошибок, допущенных детьми при выполнении этих заданий показал, что наиболее трудными оказались задания, связанные с включением классов и сохранением дискретных и непрерывных величин, а также задания, которые требовали от детей умения устанавливать поэлементное соответствие групп. Иными словами, наибольшее количество ошибок дети допустили в тех заданиях, правильное выполнение которых, сточки зрения Ж-Пиаже, позволило бы судить о наличии у детей полноценного понятия

числа.

Еще ряд заданий был отобран с учетом позиции ряда советских психологов при истолковывании природы числа. При подборе этих заданий мы руководствовались следующими принципами: во-первых, необходимо было проверить знание детьми самой последовательности числительных, знание смежных числительных, во-вторых, важно было установить умение детей создавать предметные группы по указанной мере и названному числу, в-третьих, нужно было специально выявить наличие у детей умения выполнять опосредованное уравнивание величин с помощью числа, а также умения находить числовую характеристику объектов через определение их кратного отношения любой наперед заданной мере. Задания, реализующие последний принцип, были основными, так как, по нашему мнению, нельзя говорить о наличии у ребенка подлинного понятия числа, если он не владеет указанными умениями. С учетом всех вариантов дети выполняли 29 заданий.

Анализ показал, что наиболее трудными для детей были те задания, которые требовали от них, с одной стороны, умения оперировать любой наперед заданной мерой (в особенности такой, внешние признаки которой не совпадали с внешними признаками отдельных элементов объекта), с другой - умения опираться на самостоятельно определяемое число при опосредованном сравнении величин. Наряду с этим обнаружилось также, что многие дети не могли сравнить величины, имеющие разные числовые характеристики, учитывая те меры, с помощью которых они были получены. Иными словами, наибольшее количество ошибок дети допустили в тех заданиях, успешное выполнение которых предполагает хорошую сформированность основных компонентов понятия числа.

Работая с детьми сильной группы, мы установили, что у многих детей, имеющих хорошо сформированные логические операции, отсутствовало полноценное понятие числа. Естественно возникал вопрос о том, влияет ли вообще уровень сформированности классификации и сериации на характер выполнения заданий, требующих хорошего усвоения понятия числа? Мы предложили указанную выше серию заданий по выявлению сформированности понятия числа детям средней и слабой групп, т.е. детям, со значительно более низким уровнем сформированности логических

операций.

Сравнивая результаты выполнения этих заданий детьми сильной средней и слабой групп, можно было констатировать, что наиболее успешно эти задания выполнили дети сильной группы; к их результатам были близки показатели детей средней группы, в слабой же группе были очень низкие результаты. Следовательно, чем полноценнее были у детей логические операции, тем успешнее решались и те задания, которые предполагали понятие числа.

Материалы, полученные в констатирующем эксперименте, позволяют сделать следующие выводы: 1) у ребенка-дошкольника хорошо сформированные логические операции классификации и сериации могут сочетаться с несовершенным понятием числа. Иными словами, будучи даже хорошо развитыми, эти операции сами по себе (имманентно) не синтезируются в полноценное понятие числа; 2) однако уровень сформированности указанных операций у детей имеет существенное значение в образовании понятия числа;

3) согласно Ж. Пиаже, при образовании понятия числа происходит, в сущности, формальный синтез классификации и сериации; по нашему мнению, этот синтез образуется под влиянием вполне определенного, реального действия самого ребенка.

Методику формирования у детей дошкольного возраста полноценного понятия числа мы построили на основе работ В.В.Давыдова, в которых раскрыта роль особого действия, позволяющего человеку решать задачу опосредованного уравнивания дискретных и непрерывных величин, а именно с помощью определения кратного отношения величин. Результат действия фиксируется совокупностью предметных или словесных единиц, которая изображает характеристику найденного отношения.

Задача обучения состояла, следовательно в том, чтобы сформировать у детей действие, связанное с поиском кратного отношения величин в условиях опосредованного уравнивания, с этой целью по особой программе были составлены планы-конспекты занятий, которые проводились в нескольких детских садах Москвы на протяжении 1970 - 1973 г.г. один раз в неделю в утренние часы со всей группой детей, длительность одного занятия 25-30 мин. Все занятия тщательно протоколировались, а затем их содержание анализировалось для выявления динамики работы детей и воспитателя, особенностей и уровня усвоения материала отдельными детьми.

Экспериментальная программа содержала следующие темы.

Тема первая. Непосредственное уравнивание величин (непрерывных и дискретных). Задача заключалась в том, чтобы познакомить детей с приемами непосредственного уравнивания величин по разным параметрам (ширине, высоте, длине и др.) и словесным обозначением этих признаков. Эта задача решалась в процессе работы с дидактическим материалом - полосками, лентами, елками и т.д. Дети сравнивали эти предметы по величине путем непосредственного накладывания или прикладывания их друг к другу.

Тема вторая. Опосредственное уравнивание и сравнение величин. Задача темы состояла в том, чтобы постепенно подвести детей к уравниванию величин не только путем непосредственного накладывания (прикладывания) предметов друг к другу, но и косвенным, опосредованным путем. Детей учили выбирать мерку и находить отношение исходной величины к этой мерке, фиксируя это отношение в предметной, а затем словесной форме (с помощью слов-названий числительных). Эта задача решалась в процессе постройки дома такой же высоту (по образцу), выбора линейки такой же длины, определения такого же объема воды, песка и т.д.

Дети ставились в такие условия, когда исключалась возможность непосредственного уравнивания объектов.

Тема третья. Составные мерки, составная величина. Задача этой темы были следующие: научить детей понимать, что мерку можно менять, брать другую) в пределах практического удобства) Однако, выбрав определенную мерку, последующую работу можно выполнять только с ней. Дети учились четко различать измеряемый объект, мерки и средство фиксации их отношений (числа). Детей знакомили с составной меркой (два кубика, две полоски, два предмета) т.е. измеряли величину (ряд кубиков, длину ленты,

совокупность предметов) этими мерками.

Тема четвертая. Зависимость между величиной, меркой и числом. Определение детьми зависимости конкретной числовой характерисгики объекта от изменения его размеров или размеров мерки (при работе с величинами разных размеров, но с одной и той же меркой получаются разные числа; один и тот же размер при разных мерках также оценивается разными числами). Выполнение детьми заданий, требующих применения разных мерок (т.е. разных оснований счета и измерения). Так, равное количество крупы в двух одинаковых стаканах требовалось измерить разными мерками (чайной и столовой ложками(; ряд кубиков - разными мерками (один и два кубика), книги разной ширины - одной и той же меркой

(полоска картона).

Особое место занимало индивидуальное обследование

состояния знаний и особенностей умственной деятельности детей. С этой целью по каждой теме проводилось особое контрольное занятие индивидуально с каждым ребенком. Контрольные занятия предусматривали выполнение ребенком трудных заданий, основное содержание которых совпадало с пройденным на занятиях материалом, но некоторые контрольные задания не были прямо связаны с материалом, усвоенным детьми на предыдущих занятиях. Контрольные занятия позволяли нам следить за усвоением экспериментальной программы каждым ребенком; отмечать особенности ориентировки детей в тех знаниях, которые они получали, фиксировать особенности действий каждого ребенка,

его высказываний.

Экспериментальным обучением было охвачено 96 детей:

сильная группа - 66 детей, средняя - 22 детей и слабая - 19 детей. Занятия проводились раздельно по группам.

Занятия с средней группой мало чем отличались от занятий с сильной группой. Дети средней группы работали четко, быстро, хорошо ориентировались в заданиях экспериментатора, осмысленно отвечали на вопросы. Контрольные задания выполнялись правильно. Иначе обстояло дело в слабой группе. Многие дети предложенную программу усвоили, но со значительными трудностями, не так быстро и основательно, как дети двух других групп.

Через месяц после окончания обучения по экспериментальной программе всем детям вновь были предложены те же задания, что и до обучения. По характеру их выполнения можно было судить о качестве понятия числа, сформированного у детей в процессе обучения. Состав этих заданий был тот же (описан выше), однако методика проверки была несколько изменена. Если при начальном обследовании дети выполняли сначалатолько все задания Ж. Пиаже, а затем задания П.Я.Гальперина и В. В.Давыдова, то теперь задания обоих типов чередовались.

После обучения дети сильной группы все задания выполнили значительно лучше, чем до обучения. Так, из решавшихся 3630 заданий, до обучения ошибочно было выполнено 30% заданий, после обучения - лишь 5%. Из 1914 особенно трудных заданий до обучения ошибочно было решено 37%, после обучения - 3%. Статистическая значимость разности данных, полученных до и после обучения, устанавливалась с помощью формулы Фишера (разность оказалась значимой при вероятности Р, равной 95 и 99%. в четырнадцати заданиях Ж.Пиаже разность показателей статистически значима на уровне 99 %. В семи заданиях показатели оказались одинаковыми, а в пяти - после обучения хотя и выше, но статистически незначимы В двадцати двух заданиях советских психологов разность показателей значима на уровне 99%, в одном

- на уровне 95%, в пяти заданиях показатели одинаковы и в одном

- после обучения выше, но статистически незначимы.

Приведенные данные показывают, что у детей сильной группы, прошедших экспериментальное обучение, было сформировано достаточно полноценное понятие числа.

Обследование детей средней группы выявило результаты, несколько уступающие полученным в сильной группе. Но тем не менее и они свидетельствовали о том, что и у большинства детей этой группы было сформировано полноценное понятие числа.

Дети слабой группы соответствующие задания выполнили после обучения несколько лучше, чем до него, но это еще не позволяло делать вывод о сформированности у них понятия числа, так как многие основные задания оставались нерешенными.

Правомерен вопрос: не происходит ли формирование полноценного понятия числа у детей-дошкольников в процессе их обычного обучения по программе, предусмотренной для дошкольных учреждений, за то время, которое было необходимо для работы по экспериментальной программе?

Для проверки этого предположения в одном из московских детских садов мы выделили группу, состоящую из 23 детей в возрасте 6,5 - 7 лет (подготовительная к школе группа), которые прошли соответствующий курс обучения. Этим детям дважды была предложена система заданий по выявлению уровня сформированности понятия числа. Разрыв во времени между первой и второй проверкой равнялся пяти месяцам, как и у детей, обучающихся по нашей специальной программе. Все дети контрольной группы выполнили 1265 заданий; 30% заданий. Из 598 заданий Ж.Пиаже ошибочно решено в первый раз 34%, во второй раз 27%. Из 667 заданий советских психологов первый раз неправильно было решено 40%, во второй раз - 32%. Эти материалы свидетельствуют о том, что различие результатов первой и второй проверок было незначительным, т.е. понятие числа у детей контрольной группы через пять месяцев оставалось почти натом же уровне, что и при первой проверке. Пятимесячное обучение по общепринятой программе не оказало действенного влияния на формирование полноценного понятия числа. Сдвиги в уровнях сформированности этого понятия, наблюдаемые нами у детей, работающих по экспериментальной программе, существенно связаны с ее внутренним содержанием и с соответствующими способами обучения, в основу которых была положена определенная теория генезиса понятия числа.

Материалы проведенного исследования дают основания для следующих общих выводов.

1. Согласно Ж. Пиаже, число - это результат формального синтеза и координация логических операций классификации и сериации. Уровень сформированности этих логических операций безусловно играет существенную роль в формировании понятия числа, но их синтез не происходит сам собой, имманентно. В его основе лежит специфическое действие ребенка, связанное с поиском кратного отношения величин в условиях их опосредствованного уравнивания и сравнивания. Лишь в ситуации, требующей этого действия, и в процессе его осуществления возникает необходимость и возможность синтеза классификации и сериации в подлинное понятие числа.

2. Ж.Пиаже при анализе психологического генезиса понятия числа пропускает звено, связанное с поиском детьми кратного отношения величин. Для него этот момент выступает уже как следствие владения ребенком логически отработанным понятием числа. С нашей точки зрения, выполнение ребенком действия по определению кратного отношения величин -это не следствие, а исходное условие и важнейший элемент генезиса подлинного понятия числа.

3. Наше исследование еще раз подтвердило гипотезу П.Я.Гальперина, Д.Б.Эльконина, В.В.Давыдова и др., согласно которой не метод срезов, а метод активного формирования понятий, т.е. генетико-моделирующий метод, позволяет наиболее полно раскрывать психологические условия возникновения различных психологических образований (в частности, понятий).

4. У детей старшего дошкольного возраста при наличии соответствующего уровня классификации и сериации можно сформировать полноценное понятие числа на основе адекватного предметного действия. При усовершенствовании программы детского сада необходимо предусмотреть специальные упражнения по введению понятия числа на основе действия, связанного с поиском кратного отношения величин в условиях их опосредствованного уравнения.

Г.Л.Корнее”а. Роль предметных действий в формировании понятия числа у дошкольников. Вопросы психологии, 1978, № 2, с. 92-100.

Г.Д.Беришвили, И.В.Котетишвили.

С ЧЕГО НАЧИНАТЬ ОБУЧЕНИЕ МАТЕМАТИКЕ В ШКОЛЕ?(исправ)

В последнее время в педагогической психологии распространилось мнение, что начинать обучение математике следует с операции измерения неразделенного объекта. Измерение считается той исходной операцией, опираясь на которую можно вводить понятие числа и даже натурального. По нашему мнению, это начинание наталкивается на трудности логического, психологического и педагогического характера. Измерение -сложная составная операция, подразумевающая знание целого ряда более простых операций. Измерить - значит установить отношение данного объекта с условно взятым объектом, выступающим в качестве единицы измерения. Это отношение характеризуется кратностью (сколько раз выбранная единица помещается в данном объекте), которая выражается числом, или, что то же самое, каким-нибудь набором фишек. Следовательно, измерение означает сведение непрерывного объекта к дискретному объекту (набору фишек).

Для осуществления этой сложной процедуры от ребенка, кроме знания операции сравнения дискретных наборов, требуется умение и понимание перехода от непрерывного объекта к дискретному, понимание эквивалентности замены сравнения объектов сравнением соответствующих наборов, и, в добавление ко всему, ребенок не должен терять из виду первоначальную проблему, что само уже требует довольно высокого умственного развития.

Если предположить, что ребенок действительно хорошо ориентируется в свойствах дискретного мира, то тогда сведение непрерывного объекта как неизвестного к дискретному как к известному дидактически оправдано. Но, к сожалению, это не так, и поэтому первоочередной задачей является обучение ребенка измерению дискретных объектов, и только после сформирования элементарного понятия натурального числа можно переходить к измерению непрерывного объекта.

Ребенок 6-7-летнего возраста, даже умеющий считать, складывать и вычитать числа, имеет очень смутное представление о количестве. Он не знает, какие действия над множествами меняют количество и какие не изменяют его, инвариантом каких трансформаций множества является количество. Как известно, если разбросать множества, оно кажется ребенку большим, т.е. количество меняется (феномен Пиаже). Даже приписывая двум множествам одинаковые числа, ребенок может сказать, что одно из них больше по количеству. Количество у него не отделено от других параметров множества. Следовательно, прежде чем вводить операцию измерения связного (неразделенного) объекта, надо ознакомить ребенка с количеством.

По-видимому, обучение надо начинать с того, что наиболее естественно для ребенка, и опираться при этом на те свойства окружающего мира, которые он уже начинает различать. Обучение надо начинать там, где ребенок наглядно видит элемент. С определенного возраста ребенок видит отдельные вещи, различает отдельные предметы во множестве предметов. Это и есть та естественная основа, опираясь на которую мы начинаем обучение дискретной математике.

Процедура, эквивалентная измерению может осуществляться на наборах предметов. Мы достигаем этого, предлагая детям считать множества наборами (по три, по пять). Наборы содержат одно и то же количество одинаковых количеств предметов и выделяются во множестве конфигурацией и расположением. Обучение "наборному" множеству имеет дополнительную познавательную ценность, так как ребенок естественно приходит к различению целого и части. Сам набор есть один объект, единое целое и при этом в нем четко видны его части, что весьма трудно увидеть в других ситуациях.

При измерении множества наборами отпадает необходимость использования специальных фишек, так как сам по себе набор - это новая единица счета, единица измерения. Ребенок быстро и безболезненно усваивает процедуру измерения, оставаясь все время на наглядном уровне. Умея считать только до пяти, он может выразить количество до двадцати пяти: на вопрос "сколько?" он отвечает "пять пятерок". Одно и то же множество можно считать разными наборами, измерять разными единицами. Это приучает к условности выбора единицы для выражения одной и той же вещи (количества), и таким образом количество выделяется как свойство данного множества. При этом особенно важно, что количество не отождествляется с записью количества, число не отождествляется с его выражением (десятичная система вводится как один из способов выражения числа).

Когда ребенок хорошо освоится со счетом разными наборами, можно перейти к различным измерениям. Тут возникает трудность, состоящая в том, что ребенок не видит возможности разбиения связного объекта на отдельные части. Преодолевать эту трудность не следует сразу на всех возможных измерениях (это даже будет мешать ему), а надо выбирать один тип измерения, на котором наиболее наглядна видна эта возможность и который не требует дополнительных, сложных для ребенка приборов (как, например, веры). Таким является, например, измерение длины. Научить измерять длину фактически значит научить видеть возможность представления данного отрезка как системы маленьких отрезков. Важно то, что ребенок поймет возможность дробления целого на части.

Таким образом, освоение измерения непрерывных объектов на первоначальном этапе обучения математике не дает никаких дополнительных познавательных преимуществ по сравнению с изучением дискретных объектов, множеств. Зато оно сопровождается дополнительными трудностями, преодоление которых лучше отложить до приобретения определенных умственных навыков. Вместе в тем эти умственные навыки можно беспрепятственно развить, изучая понятие "количество" как наиболее естественное основополагающее, но вместе с тем достаточно элементарное свойство окружающего мира.

Г.Д.Беритвили, И.В.Котетишвши. С чего начинать обучения математике в школе? Вопросы психологии, № 3, 1978. с.116-117.

Н.И.Непомнящая.

УСВОЕНИЕ МАТЕМАТИЧЕСКИХ ДЕЙСТВИЙ В ДОШКОЛЬНОМ ВОЗРАСТЕ

Счет как способ опосредованного сопоставления совокупностей.

Исследование проводилось с детьми в возрасте от 2 лет 6 мес. до 3 лет 6 мес. В отдельных сериях привлекались дети и старших возрастов - до 6 лет б мес.

Напомним, что счет вводился в следующей игровой ситуации:

детей просили привезти крыши для домиков. При непосредственном сопоставлении дети на каждый домик клали по крыше. В ситуации "разрыва", когда домики и крыши находились в разных местах и непосредственное сопоставление оказывалось невозможным, средством его выполнения являлся счет (пересчет и отсчет). Все участвовавшие в эксперименте испытуемые умели осуществлять непосредственное сопоставление совокупностей предметов.

Обучение в первой серии экспериментов проводилось следующим образом. Экспериментатор показывает способ решения задачи, он говорит: "Нужно привезти крыши для домиков. Посмотри:

сколько нужно крыш? Для этого посчитаем: сколько у нас домиков? Домиков - один, два, три. Значит, нужно привезти одну, две, три крыши". Идет к месту, где лежат крыши, и считает: "Одна, две, три". Отобранные крыши приносити кладет надомики. После нескольких показов экспериментатор просит испытуемого проделать эти действия.

После обучения по этому способу действия детей характеризуются следующими особенностями:

1) дети пытаются выполнить непосредственное сопоставление, не прибегая к счету;

2) выполняя отдельные операции счета, они не связывают их друге другом, не соотносятс задачей опосредованного сопоставления.

Эти результаты позволяют предположить, что при данном способе обучения у детей не выделяется специфика осваиваемой ими задачи, хотя ее выполнение и задавалось экспериментатором при показе. Специфика решаемой детьми задачи в том, что сопоставляемые совокупности предметов разобщены в пространстве и усвоенная испытуемыми операция непосредственного сопоставления не могла быть осуществлена.

При обучении во второй серии экспериментов фиксировался момент разделения совокупностей предметов. Дети сначала строят домики, когда крыши лежат рядом с ними, затем крыши уносят в другое место, скажем на окно. Дети в этом случае выполняют задание, как и в первой серии экспериментов. Экспериментатор обращаетвнимание испытуемыхнато, что они правильно выполняют задание, когда крыши находятся рядом с ними, а когда крыши кладутся на окно, то они с заданием не справляются. Затем экспериментатор снова демонстрирует способ решения задачи, а испытуемые выполняют ее под непосредственным руководством экспериментатора. Но когда их просят выполнить задание самостоятельно, они действуют следующим образом.

Оля Ф. (3 г. 6 мес.). "Сначала принесу все крыши сюда", - и переносит все крыши на стол.

Регина С. (3 года). На столе стоят 4 домика. Подходит к окну, начинает отбирать крыши, кладет их обратно, возвращается к столу, смотрит, бежит к окну, берет крыши, снова подходит к столу, ставит 2 крыши, бежит к окну, приносит на стол еще одну, ставит, снова бежит и приносит еще одну.

Коля Б. (3 года 4 мес.). На столе стоят 3 домика. Переходя от стола к столу, он выполняет непосредственное сопоставление. На стол ставится 2 домика, и экспериментатор спрашивает: "Сколько нужно привезти крыш?" Коля смотрит на кубики, показывает 2 пальца, везет машину к окну, отбирает 2 крыши и привозит их к домикам. Но когда на стол ставится 3 домика, крыши снова отбираются либо методом непосредственного сопоставления, либо наугад.

Иными словами, данные этой серии экспериментов показали, что дети начали учитывать невозможность осуществления в этой ситуации непосредственного сопоставления. Они пытаются как-то обойти эту ситуацию, но не прибегают для этого к счету, поскольку счет не выступил для них как средство решения данной задачи.

При обучении в третьей серии экспериментов был специально выделен счет как необходимое средство решения данной задачи, фиксировалась зависимость выполнения задачи от осуществления счета.

Обучение проходило следующим образом. Экспериментатор говорит: "Чтобы привезти крыш столько, сколько здесь домиков, нужно сначала посчитать домики, а потом отсчитать столько же крыш. Я не знаю, сколько взять крыш, потому что домики лежат здесь, а крыши - в другом месте. Но вот я посчитаю домики - один, два, три. Теперь я знаю, сколько нужно крыш". Спрашивает у ребенка: "Сколько?" Испытуемый: "Один, два, три". Экспериментатор: "Пойдем теперь к окну и возьмем крыши, мы знаем, что домиков у нас - один, два, три, значит и крыш нужно -одну, две, три". Испытуемый отсчитывает, несет и ставит крыши на домики. Экспериментатор говорит: 'Теперь сделали правильно", После совместного выполнения нескольких заданий экспериментатор просит ребенка выполнить очередное задание самостоятельно, помогая ему замечаниями типа: "Что нужно сделать, чтобы получилось правильно?"

После обучения в третьей серии экспериментов дети при выполнении данной задачи начали прибегать к счету. Однако они еще не осознают связи пересчитанного числа предметов (домиков) с числом отсчитываемых предметов (крыш), а потому, осуществляя правильно пересчет, не используют полученное в результате число при отсчете предметов, т.е. отсчет выполняют неправильно. Анализ особенностей действий детей указывает нато, что они не понимают связи счета и считаемых совокупностей предметов.

Эти особенности действий детей были учтены при проведении четвертой серии экспериментов. В этой серии для фиксации связи числа и обозначаемого им предмета число вводилось как имя этого предмета.

Обучение проводилось следующим образом. Экспериментатор:

"Нужно привезти крыши для этих домиков. Давай назовем их. Вот это будет называться домик один, это - домик два, это - домик три. Вот это домики, а один, два, три - это имена домиков. Как зовут каждый домик? Какие у нас есть домики?" Испытуемый: "Домик один, домик два, домик три". Экспериментатор: "А теперь давай отберем крыши. Вот крыша для домика один, вот -для домика два, вот - для домика три".

После первого занятия дети при подсказке со стороны экспериментатора правильно выполняли данное задание, а при самостоятельном выполнении задания действовали по-разному:

одни дети стали выполнять задание правильно, дру[ ие сами к счету не прибегали, но при напоминании экспериментатора: "Посчитай, какие у тебя домики", - пересчет осуществляют правильно, но ошибаются при отсчитывании.

С этой группой детей проведена дополнительная серия экспериментов, задачей которых было выдел итьспецифику числового ряда в отличие от предметного в ситуации разобщения сопоставленных совокупностей предметов.

Экспериментатор выделял "ситуацию разрыва" так, как это делалось в экспериментах второй серии, затем говорил: "Домики уже построены, и их нельзя взять с собой, когда едешь за крышами. А какие у нас домики?" Испытуемый: "Домики один, два, три". Экспериментатор просит испытуемого подойти к окну. И спрашивает:

"Ты видишьтеперь домики?" Испытуемый: "Нет". Экспериментатор:

"А знаешь, сколько осталось на столе домиков?" Испытуемый:

"Один, два, три". Экспериментатор: "Вот видишь, ты знаешь, что на столе осталось один, два, три домика. А откуда ты знаешь?" Испытуемый: "Я посчитал". Экспериментатор: "Правильно, ты посчитал, когда стоял рядом со столом, и узнал, что там есть домики один, два, три. Подошел к окну, а домики остались на столе, но ты все равно знаешь, какие это домики?" Испытуемый: "Один, два, три". Экспериментатор: "Ты знаешь, для каких домиков отбирать крыши?" Испытуемый: "Для одного, двух, трех". Экспериментатор:

"Отбери эти крыши".

Подобное объяснение и показ давались разным испытуемым с большими или меньшими подробностями и повторениями. Но все испытуемые в течение одного занятия перешли к самостоятельному выполнению задания. Таким образом, в этой серии обучения испытуемые усвоили поставленную учебную задачу. Мы сознаем, однако, что использованные педагогические приемы далеки от совершенства, они, например, слишком словесны.

Оказалось, все стадии обучения, характеризующие разные серии экспериментов, начиная со второй, необходимы для усвоения данной учебной задачи. При обучении новых групп испытуемых (15 человек от 2 лет 8 мес. до 3 лет 6 мес.) сразу по типу экспериментов третьей и четвертой серии усвоение данной учебной задачи не произошло. Материал экспериментов позволяет зафиксировать следующие особенности ситуации усвоения, необходимой для использования детьми счета как способа опосредованного сопоставления совокупностей предметов. Она должна обеспечить выделение и осознание детьми:

а) специфики данной задачи, невозможности решить ее усвоенным способом непосредственного сопоставления;

б) связи успешности решения данной задачи с осуществлением пересчета сопоставляемых совокупностей;

в) специфики операции счета как средства сопоставления совокупностей предметов. Это требует, во-первых, выделения тождества числового ряда и пересчитываемой совокупности предметов, во-вторых, различия числовых и предметных операций в решении данной задачи.

Счет как обобщенный способ опосредованного сопоставлении. При анализе содержания обучения счету как средству сопоставления совокупностей предметов (например, в задании "Принеси для домиков крыши", см. разд. 1, гл.2), говорилось, что такое обучение не приводит к усвоению счета как обобщенного способа сопоставления. Для этого счет должен быть включен в действие сопоставления совокупностей абстрактных объектов. Проведенные нами эксперименты показали, что переход к счету как средству сопоставления абстрактных совокупностей у детей 3 -4 лет возможен в следующем случае:

1. Предъявляются две совокупности кубиков: одни кубики большего размера, называются домиками, другие - меньшего размера -крышами. Испытуемые после выполнения 2 задания усваивают задачу: "Принеси столько крыш, сколько домиков".

2. Предъявляются две совокупности одинаковых по размеру кубиков. Одни кубики окрашены в один цвет (скажем, красный), другие -в другой (скажем, зеленый). Испытуемые решают задачу:

"Принеси столько зеленых кубиков, сколько красных".

3. Предъявляются две совокупности ничем не отличающихся друг от друга кубиков. Испытуемые решают задачу: "Принеси с окна столько кубиков, сколько их лежит на столе".

4. Предъявляются две совокупности одинаковых палочек. Испытуемые решают задачу: "Принеси с окна столько палочек, сколько их на столе".

В результате обучения все испытуемые, решив то или иное количество задач, стали использовать счет для осуществления опосредованного сопоставления совокупностей любых объектов. Проведенное исследование показало, что пропуск того или иного этапа обучения вызывает у детей определенные трудности в выполнении действия счета. Этот вывод подтвердился и при более массовом обследовании детей четвертого года жизни, проведенном в четырех детских садах Москвы.

Н.И.Непоммщая. Усвоение математических действий в дошкольном возрасте. Психологический анализ обучения детей 3-7 лет (на материале математики). Изд. "Педагогика", М., 1983, с.48-52.

М.Фидлер. МАТЕМАТИКА УЖЕ В ДЕТСКОМ САДУ

<...> Понятие равночисленности множества и тесно связанное с ним понятие взаимно-однозначного соответствия углубляются путем осуществления отображения множеств. Это находит свое выражение в составлении ребенком равночисленных множеств путем установления соответствия между отдельными элементами множества, которое при соотнесении один к одному служит для него образцом, и имеющимися предметами (изображениями предметов, специальными счетными бляшками и т.п.).

Установление соответствия между предметами и элементами множества, предназначаемого для отображения, может осуществляться различным образом: играя, ребенок ставит в соответствие определенному количеству кошек карточки с нарисованными на них мисочками; подбирает блюдечки к имеющимся чашкам. Дети младшего возраста устанавливают такого рода соответствие путем приложения, образования пар, тогда как более старшие способны уже зрительно оценить, что если чашек четыре, то надо снять с полки сразу четыре блюдца.

Воссоздание численности множеств возможно только тогда, когда ребенок умеет правильно пересчитывать предметы и выражать число элементов с помощью числительного. Операция воссоздания численности множества состоит в образовании множества, равночисленного данному, в той ситуации, когда предназначаемое для отображения множество удалено из поля зрения ребенка после того, как были пересчитаны его элементы. Запомнив число элементов убранного множества, ребенок должен составить множество, имеющее такое же число элементов.

Путем установления соответствия между элементами двух множеств можно сравнивать не только равночисленные множества. Такой метод сравнения способствует формированию не только понятия равночисленных множеств, но и понятия неравночисленных множеств, которые словесно характеризуются параметрами: меньше, чем; больше, чем. Ребенок постепенно начинает замечать, что "если здесь больше, чем там", то, значит, "там меньше, чем здесь". Если число элементов одного множества отличается от числа элементов другого множества не более чем натри элемента, то ребенок может заметить, что, например, в одном множестве на один элемент (или на два, три) больше, чем в другом, либо на один (или на два, на три) меньше, чем в другом. И снова вывод: если здесь на один (на два, на три) больше, чем там, то, значит, там на один (на два, на три) меньше, чем здесь. Речь идет не о том, чтобы ребенок каждый раз повторял и то и другое предложение. Важно, чтобы он полностью отдавал себе отчет в существовании этой зависимости.

Без осознания этого соотношения невозможно осуществление упорядочения множеств по числу их элементов. Множества, упорядоченные по их возрастающей численности (от 1 до 10) образуют упорядоченную систему множеств, для которой характерно наличие двух количественных соотношений: множество содержит на один элемент больше, чем предшествующее, и на один элемент меньше, чем последующее. Так, например, пятиэлементное множество содержит на один элемент больше, чем четырехэлементное, и на один элемент меньше, чем шестиэлементное множество.

В связи с понятием системы множеств необходимо еще осветить вопрос о месте данного множества в упорядоченной системе множеств. Это место определяется порядковым числительным. Предположим, что дети рассортировали кукол по цвету их бантиков и выделили, например, пять множеств кукол. После этого они упорядочили полученные множества кукол по числу их элементов. Оказалось, что у них имеется одна кукла с красным бантиком, две с голубыми, три с зелеными и т.п. В этом случае множество, содержащее пять кукол - на пятом месте. Третья группа кукол следует за второй, но предшествует четвертой и т.п.

Шестилетний ребенок, имеющий опыта установлении такого рода соотношений (путем упорядочения предметов по возрастанию их величины, по увеличению их массы), уже психологически подготовлен к пониманию того, что место каждого данного числа в натуральном ряду чисел определяется порядковым числительным и двумя соотношениями: данное число на единицу больше, чем предыдущее, и на единицу меньше, чем последующее. Таким образом формируется понятие натурального числа как кардинального числа, характеризующего мощность множества, и как порядкового числа.

Операции над множествами с логической точки зрения. Прежде чем перейти к рассмотрению операций- над множествами, целесообразно проанализировать возможности формирования понятия множества в условиях детского сада. Оно начинается тогда, когда ребенок знакомится с окружающей обстановкой, с помещением, в котором играет, учится и трудится. Во многих ситуациях ребенок сталкивается в необходимостью классифицировать окружающие предметы, например, во время уборки игрушек, когда кладет их в указанное воспитательницей место: одних кукол сажает в креслица у столика, других укладывает в кроватки; маленькие машинки ставит на полку, большие под полку или около нее;

кубики убирает в ящик, стоящий у окна; фигурки геометрической мозаики складывает в коробку и т.д.

Дети еще не отдают себе отчета в том, что они классифицируют предметы по определенному качественному признаку (по внешнему виду, по названию и т.п.), однако их действия отвечают условию образования множеств, элементы которых характеризуются общим качественным признаком и образуют единое целое (собраны в определенном месте). И в то же время на этом этапе обучения еще ни разу не были произнесены какие-либо термины из области теории множеств. Правильно ли это? Безусловно. Не следует излишне рано начинать перегружать память ребенка такими терминами, как "элемент", "Множество", "подмножество", содержание которых может быть полностью осознано только в школе. <...>

Сравнение численности множеств. Изучение количественных и порядковых числительных в пределах 10

При работе с детьми младшей группы формирование математических представлений о понятиях равночисленности и неравночисленности множеств тех или иных предметов осуществляется путем сопоставления элементов сравниваемых множеств один к одному (путем попарного их объединения). Метод поэлементного сопоставления помогает младшим дошкольникам преодолеть трудности, связанные с осознанием того, что ни качество элементов (например, их размер), ни изменение их пространственного положения не влияют на их количество.

Более старшие дети также прибегают к попарному объединению элементов сравниваемых множеств, но для них это прежде всего средство проверки правильности результатов, полученных в процессе счета, доказательство правильности выражения с помощью итоговых числительных количества элементов в каждом из сравниваемых множеств, подтверждение установленного факта их равночисленности или неравночисленности. Это можно проиллюстрировать с помощью следующего примера.

В комнату, в которой проводятся занятия с детьми старшей группы, принесли новые столики, отличающиеся от прежних как по внешнему виду, так и по размеру. Рассадив детей и выбрав за каждым столиком по одному ответственному, воспитательница поручила им сосчитать, сколько ребят сидят за их столиками. Дети начали считать.

- Готово, шесть! Шесть!

Но тут за пятым столиком произошло замешательство. Показывая пальцем на каждого из сидящих за столом, мальчик сосчитал количество детей и готов уже был громко произнести:

"Пять!", но ребята со смехом перебили его, напомнив, что он забыл сосчитать себя. Воспитательница посоветовала начать счет именно с себя, и тогда мальчик получил правильный ответ: "Шесть!"

Девочка, которой было поручено сосчитать число сидящих за последним столом, заявила, что их только четыре (четверо).

Для того, чтобы проверить, не ошибся ли кто-нибудь в счете, воспитательница посоветовала детям, сидящим за первым и вторым столами, подняться, выстроиться в два ряда друг против друга и подать руки стоящим напротив, образуя пары. Это позволило всем наглядно убедиться в том, что за первым столиком сидело столько же ребят, сколько за вторым. То же проделали и дети, сидящие за другими столиками. При этом оказалось, что в первых пяти рядах было по одинаковому числу ребят и только в последнем, шестом их было четверо. Кто-то из детей добавил:

- Четыре на два меньше, чем шесть!

Часто приходится наблюдать, даже в группе пятилетних детей, что под влиянием взрослых дошкольники довольно широко пользуются количественными числительными и, казалось бы, знают их не только в пределах десятка, но и за пределами сотни. Однако если приглядеться к такого рода счету внимательнее, то оказывается, что имея хорошую память, дети действительно легко усваивают на слух и запоминают названия числительных, причем часто в совершенно правильной последовательности, однако значения отдельных числительных, как правило, не понимают. Эти дети не могут ответить на вопрос "сколько?"

Поэтому необходимо обращать особое внимание на детей, которым кажется, что они умеют считать. Простейшим средством, позволяющим понять, насколько осознанно дошкольники употребляют числительные, является проверка их умения пересчитывать предметы.

Умение правильно пересчитывать предметы основано на умении выделять из множества отдельные предметы: практически это находит свое выражение в том, что, перечисляя числительные в правильной последовательности, ребенок при этом либо берет каждый из прочитываемых предметов в руки, переставляя его в другое место, либо указывает на каждый из пересчитываемых предметов пальцем.

М.Фидлер. Математика уже в детском саду. "Просвещение", М., 1981, с.23-25,94-95.

Л.С.Метлина.

МЕТОДИКА ФОРМИРОВАНИЯ У ДЕТЕЙ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ МАТЕМАТИЧЕСКИХ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ

Количество

Подбор и группировка предметов по заданному признаку.

Работу с детьми второй младшей группы целесообразно начать с упражнений в выделении качественных свойств предметов. Особенно полезно давать задания на подбор и группировку предметов по заданным признакам.

Педагог создает или использует ситуации повседневной жизни, в которых один ребенок или несколько детей должны подбирать или группировать предметы. Например, весь материал, из которого можно строить, сложить в ящик, а кукол расставить на полочке, собрать все кисточки для рисования в стаканчики, а тряпочки в коробки, в одну сетку поместить все большие мячи, а в другую -маленькие. Сначаладети подбирают предметы по одному признаку, а позднее и по двум. ("Отбери все красные кирпичики") <...>

Выделение отдельных предметов из группы и объединение предметов в группы. Дальнейшему развитию представлений о количество служат коллективные игровые упражнения в составлении групп из однородных предметов и дробление групп на отдельные предметы. В ходе этих упражнений дети должны понять, что каждая группа (множество) состоит из отдельных предметов, научиться выделять отдельные предметы из группы, устанавливать отношение между множеством в целом и его элементов.

<... > На первом занятии составляются совокупности абсолютно тождественных (одинаковых) игрушек одного цвета, размера и пр. Игрушек берут столько, сколько детей в группе. Неожиданное появление сразу большого количество одинаковых игрушек радует малышей. Обратив внимание на то, как много игрушек (зайчиков и др.), педагог сначала раздает детям по одной игрушке, а потом вновь собирает вместе все игрушки. Внимание детей акцентируется на том, как дробится группа на отдельные предметы и как она составляется из отдельных предметов. При раздаче и сборе игрушек дети действуют поочередно. <...>В ходе упражнений воспитатель побуждает их употреблять слова много, один, по одному, ни одного, совсем нет. Ставит вопросы: сколько? по скольку? Следит за тем, чтобы дети называли как предметы, так и их количество (один, много). Важно, чтобы они характеризовали признаки, общие для всех предметов, совокупности. ("С зайчиками можно поиграть, все зайчики белые, елочки зеленые" и т.п.). Повторив упражнение еще раз, педагог заменяет игрушки. Смена материала повышает интерес детей и служит обобщению знаний.

Второе занятие проводится аналогичным образом. <...> Затем берут новый вид игрушек или вещей. Они могут быть уже не абсолютно-тождественными, а иметь и признаки различия (например, желтые и синие кубики, желтые и синие флажки или фонарики, большие и маленькие матрешки). Игрушки теперь распределяют на подгруппы. Желтые флажки помещают в одну вазочку, а синие - в другую; больших матрешек ставят на одну полочку, а маленьких -на другую <...>

Найти, каких предметов в комнате много, а какие встречаются по одному, - задача для них не простая. Чтобы ее решить, им надо проделать довольно сложный пространственно-количественный анализ окружающей обстановки: выделить какой-то один предмет, зафиксировать на нем внимание, посмотреть, есть ли еще однородные предметы, и мысленно объединить их в единое целое, несмотря на то, что они могут быть разбросаны по всей площади комнаты, участка и др., т.е. детям нужно научиться абстрагировать количественную сторону от пространственно-качественных свойств предмета и пространственных отношений. Работу начинают с упражнения в раскладывании указанного количества предметов (1, много) на 2 полосках разного цвета. Полоски размещаются слева и справа или вверху и внизу. Даются задания, например: "Слева, на красную полоску положить 1 грибок, а справа, на синюю -много грибков". Меняя местами полоски или меняя указания о количестве предметов, которые надо поместить на каждую из них, педагог учит детей связывать количество предметов сначала с цветом полосок, а позднее - с их пространственным расположением.

<...> Далее проводятся занятия, накоторых дети по поручению воспитателя находят на столе и приносят 1 или много каких-либо игрушек. Одни и те же игрушки необходимо представить и в единственном числе, и группой.

<...> В группы включают разное число предметов (от 3 до 5). Это позволяет накопить опыт восприятия групп предметов (множеств), разных по количественному составу. Сначала в формулировке задания раскрывается все, что должен сделать малыш ( принеси много игрушек-петушков"), апозднее ребенку предлагают принести одну или много игрушек, какие ему понравятся. В первом случае детям приходится только различать множества, а во втором - делать еще и самостоятельный выбор. <...>

Дальнейшее усложнение условий выполнения заданий состоит в том, что на один и тот же стол ставят 1 какую-либо игрушку и много других игрушек, например 1 елочку и много грибков. Детям одновременно надо найти один и много. Они теперь не приносят игрушки, а подходят к столу и рассказывают, что на нем нашли. Позднее дети находят игрушки по указанию педагога. ("Найди, где много мишек и одна матрешка"). На этих занятиях ведется тщательная работа над речью детей. Они учатся пользоваться словами много и один. Согласовывать числительное один (одна, одно) в роде, числе и падеже с существительным. Сначала малыши пользуются простыми предложениями: "Мишек много", "Матрешка одна". Педагог продолжает их учить соединять 2 простых предложения в одно сложное: "Одна матрешка и много мишек", "Мишек много, а матрешка одна". В такой формулировке числительное выступает в роли сказуемого. Сказуемое является активным членом предложения. Такое построение фразы вполне закономерно. Оно свидетельствует о том, что мысль ребенка направлена на поиски и выделение количественной стороны.

<...> Расширяется площадь поисков. Группы игрушек и отдельные игрушки располагаются наразных предметах (на полках, столах, стеллаже, ковре и т.д.). Воспитатель указывает на предметы, на которых расположены игрушки: "Посмотрите, каких игрушек много и какая только одна на ковре (на полочке, на буфете)". В группы могут включаться предметы, которые наряду с общими для всех их признаками имеют и признак различия. Когда дети найдут группу и назовут признак, общий для всех ее предметов, педагог ставит вопросы об их цвете (размере).

Вначале внимание малышей направлено на определенные участки комнаты. ("Посмотрите, каких предметов много и какой предмет один на полу (на стене, на окнах...)". Постепенно дети приобретают способность самостоятельно находить, каких предметов много и какие встречаются по одному. Воспитатель объясняет, что предметы могут располагаться не только рядом друг с другом. Они могут находится далеко друг от друга.

Сопоставление двух совокупностей предметов. Первоначально на основе сопоставления 2 групп предметов детей знакомят с количественными отношениями: равенство - неравенство. Малышей учат с каждым предметом одном группы соотносить только 1 предмет другой группы и таким путем выяснять, в какой из сравниваемых групп предметов больше, в какой - меньше или их поровну в обеих группах. Сопоставление 2 совокупностей предметов помогает детям осознать смысл выражений "столько же, сколько", "поровну", "больше", "меньше". Сначала их обучают самому простому приему практического сопоставления - наложению предметов на рисунки карточки-образца. Это помогает научить детей выделять каждый элемент множества и видеть его границы.

Для упражнений используют карточки, на которых рисунки предметов (листочков, грибочков и т.п.) расположены в ряд с равными интервалами. Важно накапливать у детей опыт восприятия разных по численности множеств, поэтому на карточках должно быть изображено от 3 до 5 предметов. На этих занятиях каждый ребенок работает с 2 карточками, поочередно накладывая на каждую из них 1-2 вида игрушек. Игрушки дают малышу в индивидуальной коробочке (или натарелочке). Количество игрушек должно быть большим, чем потребуется ребенку. Например, если на карточке изображено 4 грибочка, то в коробочку их кладут не менее 6-7 штук.

Дети должны научиться накладывать на карточку столько же предметов, сколько нарисовано.

<... > На первых занятиях приходится неоднократно напоминать детям, что брать игрушки надо правой рукой и раскладывать их в направлении слева направо. В процессе работы воспитатель спрашивает то одного, то другого ребенка о том, что он делает, как берет игрушки. Дети постепенно усваивают смысл выражения "столько, сколько" и начинают сами его употреблять.

<... > Обучение приему наложения занимает 2-3 занятия, после чего детей начинают учить соотносить элементы одного множества с элементами другого путем приложения.

Дидактическим материалом служат карточки с 2 полосками, на одной из которых изображены предметы или геометрические фигуры (3-5 шт.) на одинаковом расстоянии друг от друга. Другая полоска свободная. Ширина полосок не должна превышать 3-4 см (ширина всей карточки 6-8 см).

В качестве раздаточного материала используют плоскостные цветные изображения предметов (елочек, грибов, мячей и т.п.), объемные мелкие игрушки и модели геометрических фигур (круги, квадраты, треугольники). Некоторых малышей затрудняет ориентировка в пространственном расположении рисунков на карточке. Они как бы не видят интервалов между ними. Для таких детей целесообразно карточку разбить на клетки. Каждый рисунок предмета окажется в отдельной клетке, а под ним будет клетка без рисунка. Можно давать также карточки, на которых от каждого рисунка верхней полоски проведена стрелочка к нижней полоске. Стрелочки помогут малышу соотнести предметы с рисунками карточки. <...>Перед тем как познакомить детей со способом приложения, им предлагают наложить игрушки (картинки) на рисунки карточек. Это позволяет связать новый способ действия с ранее усвоенным. <...>

Выяснив, что дети наложили столько предметов, сколько нарисовано, педагог демонстрирует новый способ. Он снимает предметные картинки одну за другой и помещает их на нижнюю полоску, подчеркивая при этом, что каждый предмет прикладывается точно к его изображению на верхней полоске. ("Положу желты'"-грибочек точно под красным и еще грибочек под грибочком, один под другим... Между ними остаются одинаковые расстояния -окошечки"). В заключение выясняется, что на нижней полоске предметов столько же, сколько на верхней. Педагог проводит рукой вдоль рядов предметов, поочередно указывая на предметы верхней и нижней полосок, как бы наглядно представляя процесс соотнесения их один к одному. <...>

Как и при обучении приему наложения, в ходе работы детям предлагают пояснять свои действия .<...> Сопровождение действия пояснением и описание его результата -непременное условие осознания детьми как самого способадействия, так и количественных отношений, которые устанавливаются с помощью этого действия. Для обозначения равенства количества предметов они учатся пользоваться выражением "столько, сколько". Примерно после второго занятия педагог начинает употреблять слово "поровну". Малыши постепенно усваивают оба этих выражения.

Установление отношений "больше", "меньше", "поровну".

Овладев способами наложения и приложения, дети получают возможность устанавливать равенство и неравенство численностей множеств. Раскрыть смысл отношений "поровну" ("Столько, сколько"), "больше", "меньше", позволяют разнообразные задания на сопоставление 2 совокупностей предметов. Соотнося предметы один к одному путем наложения, приложения или составления пар, дети выясняют, поровну ли их, каких предметов больше (меньше). Например: "Поровну ли у нас ведерок и совочков? Меньше (больше?) синих или красных кружков? Хватит ли куклам стульев? Белочкам орехов?" Сопоставляются совокупности, состоящие из 2-5 предметов, так как важно накапливать у детей опыт восприятия групп, разных по количественному составу. Чередуются упражнения в сравнении групп, содержащих равное и неравное количество предметов, причем сопоставляются группы, в одной из которых только на один предмет больше (меньше), чем в другой (2 и 3; 3 и 3; 3 и 4; 4 и 4; 4 и 5; и т.д.). Это способствует развитию умения тонко различать количественные соотношения. Воспитатель постоянно подчеркивает: чтобы узнать, поровну ли предметов, каких предметов больше (меньше), надо наложить одни предметы на другие или приложить предметы один к другому, составить пары.

С самого начала отношения "больше", "меньше", "поровну" раскрываются в связи друг с другом. Проводя опрос, педагог побуждает малышей указывать, каких предметов больше и каких меньше, называть предметы обеих групп, отвечать примерно так:

"Красных кружков больше, чем синих", "Синих кружков меньше, чем красных", "Красных кружков столько, сколько синих".

Детей учат не только следить за изменением количественных соотношений между предметами, но и производить такие изменения^ ("Хватит ли всем флажков? Сколько надо принести еще флажков?" - "I". - "Сделай так, чтобы совочков оказалось больше (меньше, столько, сколько), чем ведерок". И т.п.).

Важно научить детей применять усвоенные способы действий. Этому способствуют игровые упражнения: "Приготовим куклам одежду для прогулки", "Угостим мишек чаем" и т.п.

<...> Полезно вне занятий давать малышам поручения типа:

"Принеси столько ложек, сколько детей за столом", "Принеси карандаши для всех детей и дай каждому по 1 карандашу", "Хватило ли детям карандашей?", "Сколько ты принес карандашей?" ("Столько, сколько за столом детей"). Если ребенок ошибся, то ему предлагают добавить недостающий предмет или убрать лишний.

Сопоставление числеиностей множеств, воспринимаемых разными анализаторами. <...>Детям предлагают, например, хлопнуть владоши столько раз, сколько матрешек, притопнуть ногой столько раз, сколько собачек. Не умея считать, малыши воспроизводят множество звуков на основе только чувственного восприятия: они хлопают в ладоши, или поднимают руку, или стучат молоточком столько же раз, сколько постучал воспитатель.

Вначале воспитатель извлекает только один звук, а когда дети поймут смысл задания, им предлагают воспроизвести от 1 до 3 звуков. Педагог стучит ритмично, четко отделяя один звук от другого. Если дети затрудняются выделить отдельные звуки, то, извлекая их, педагог произносит: "1, еще 1, еще )". Более трудными являются задания: отложить на каждый звук 1 игрушку или показать карточку, на которой нарисовано столько же игрушек (кружков), сколько раз ударил молоточек и т.п. Педагог показывает, как надо при каждом звуке откладывать игрушку или указывать на очередной предмет в ряду.

Обучение счету в пределах 5. Обучение счету должно помочь детям понять цель данной деятельности (только сосчитав предметы, можно точно ответить на вопрос сколько?) и овладеть ее средствами:

называнием числительных по порядку и соотнесением их к каждому элементу группы. Четырехлетним детям трудно одновременно усвоить обе стороны этой деятельности. Поэтому в средней группе обучение счету рекомендуется осуществлять в два этапа.

На первом этапена. основе сравнения численностей двух групп предметов детям раскрывают цель данной деятельности (найти итоговое число). Их учат различать группы предметов в 1 и 2, 2 и 3 элементах и называть итоговое число на основе счета воспитателя. Такое "сотрудничество" осуществляется на первых двух занятиях.

Сравнивая 2 группы предметов, расположенные в 2 параллельных ряда, одна под другой, дети видят, в какой группе больше (меньше) предметов или их в обеих поровну. Они обозначают эти различия словами-числительными и убеждаются: в группах поровну предметов, их количество обозначается одним и тем же словом (2 красных кружка и 2 синих кружка), добавили (убрали) 1 предмет, их стало больше (меньше), и группа стала обозначаться новым словом. Дети начинают понимать, что каждое число обозначает определенное количество предметов, постепенно усваивают связи между числами (2>1, 1<2 и т.д.).

Организуя сравнение 2 совокупностей предметов, в одной из которых на 1 предмет больше, чем в другой, педагог считает предметы и акцентирует внимание детей на итоговом числе. Он сначала выясняет, каких предметов больше (меньше), а затем -какое число больше, какое меньше. Основой для сравнения чисел служит различение детьми численности множеств (групп) предметов и наименование их словами-числительными.

Важно, чтобы дети увидели не только то, как можно получить последующее число (п+1), ноито, как можно получить предыдущее число: 1 из 2, 2 из 3 и т.п. (п-1). Воспитатель то увеличивает группу, добавляя 1 предмет, то уменьшает, удаляя из нее предмет. Каждый раз выясняя, каких предметов больше, каких - меньше, переходит к сравнению чисел. Он учит детей указывать не только, какое число больше, но и какое меньше (2 ? 3,1 ? 2,3> 2,2 < 3 и т.д.). Отношения " больше", "меньше" всегда рассматриваются в связи друг с другом.

В ходе работы педагог постоянно подчеркивает: чтобы узнать, сколько всего предметов, надо их сосчитать. Акцентируя внимание детей на итоговом числе, педагог сопровождает называние его обобщающим жестом (обведение группы предметов рукой) и именует (т.е. произносит название самого предмета). В процессе счета числа не именует (т.е. произносит название самого предмета). В процессе счета числа не именуются (1, 2, 3 - всего 3 грибочка).

Детей побуждают называть и показывать, где 1, где 2 , где 3 предмета, что служит установлению ассоциативных связей между группами, содержащими 1,2,3 предмета, и соответствующими словами-числительными.

Большое внимание уделяют отражению в речи детей результатов сравнения совокупностей предметов и чисел. ("Матрешек больше, чем петушков. Петушков меньше, чем матрешек. 2 больше, а 1 меньше, 2 больше, чем 1, 1 меньше, чем 2).

На втором этапе дети овладевают счетными операциями. После того, как дети научатся различать множества (группы), содержащие 1 и 2, 2 и 3 предмета, и поймут, что точно ответить на вопрос сколько? можно, лишь сосчитав предметы, их учат вести счет предметов в пределах 3, затем 4 и 5.

С первых занятий обучение счету должно строиться так, чтобы дети поняли, как образуется каждое последующее (предыдущее) число, т.е. общий принцип построения натурального ряда. Поэтому показу образования каждого следующего числа предпосылается повторение того, как было получено предыдущее число.

Последовательное сравнение 2-3 чисел позволяет показать детям, что любое натуральное число больше одного и меньше другого, "соседнего (3 < 4 < 5). Разумеется, кроме единицы, меньше которой нет ни одного натурального числа. В дальнейшем на этой основе дети поймут относительность понятий "больше", "меньше".

Они должны научиться самостоятельно преобразовывать множества предметов. Например, решать, как сделать, чтобы предметов стало поровну, что надо сделать, чтобы стало (осталось) 3 предмета вместо 2 (вместо 4) и т.п.

Дети обычно затрудняются в согласовании числительных с существительными ) числительное один заменяют словом раз). Воспитатель подбирает для счета предметы мужского, женского и среднего рода (например, цветные изображения яблок, слив, груш), и показывает, как в зависимости от того, какие предметы пересчитываются, изменяются слова один, два <...>

Для закрепления навыков счета используется большое количество упражнений. Чтобы создать предпосылки для самостоятельного счета, меняют счетный материал, обстановку занятий, чередуют коллективную работу с самостоятельной работой детей с пособиями, разнообразят приемы <...>

Обучение приемам отсчета предметов. После того, как дети научатся вести счет предметов, их учат отсчитывать предметы,

самостоятельно создавать группы, содержащие определенное число предметов <...>

Обучение отсчету предметов начинают с показа его приемов. Обычно новый способ действия поглощает внимание ребенка, и он забывает, сколько предметов надо отсчитать. Многие дети, отсчитывая, соотносят числительные не с предметами, а со своими движениями, например, берут в руку предмет и произносят один, ставят его и говорят два. Объясняя способ действия, воспитатель подчеркивает необходимость запомнить число, показывает и разъясняет, что предмет надо брать молча и только тогда, когда он поставлен, называть число. При проведении первых упражнений детям дается образец (карточка с кружками или рисунками предметов). Ребенок отсчитывает по образцу столько игрушек (или вещей), сколько кружков на карточке. Карточка служит средством контроля за результатами действия.

<...> Ребенку трудно отвлечься от многообразных свойств и признаков предметов, составляющих множества. Пересчитав предметы, он может тут же забыть результат счета и оценивает количество, ориентируясь на пространственные признаки, выраженные более ярко. Внимание детей обращают на то, что число предметов не зависит от пространственных признаков:

размера предметов, формы расположения их, площади, которую они занимают. Этому посвящаются 2-3 специальных занятия, а в дальнейшем до конца учебного года к ним периодически возвращаются не менее 3-4 раз (например, когда дети учатся воспроизводить множества предметов).

Параллельно детей упражняют в сравнении предметов разных размеров (по длине, ширине, высоте и др.), уточняют некоторые пространственные представления, учат понимать и пользоваться словами слева и справа, вверху и внизу, верхняя и нижняя, близко и далеко; располагать предметы в один ряд слева и справа, по кругу, парами и т.д.

Независимость числа предметов от их пространственных признаков выясняют на основе сравнения совокупностей предметов, отличающихся либо размерами, либо формой расположения, либо расстояния между предметами (площадью, которую они занимают). Постоянно изменяют количественные отношения между совокупностями (например, крупных и мелких предметов оказывается то поровну, то больше мелких,ч ем крупных, то больше крупных, чем мелких и т.п.). Количественные различия между совокупностями допустимы в пределах + - 1 предмет. <...>Работу необходимо организовывать таким образом, чтобы подчеркивать значение счета и приемов сопоставления множеств для выявления отношений "больше", "меньше", "равно".

Детей приучают пользоваться разными приемами практического сопоставления множеств: наложением, приложением, составлением пар, применением эквивалентов (заместителей предметов). Эквиваленты применяются тогда, когда невозможно приложить предметы одной совокупности к предметам другой.

Счет в пределах 10. Для получения чисел второго пятка и обучения счету до 10 используют приемы, аналогичные тем, которые применялись в средней группе для получения чисел первого пятка.

Образование чисел демонстрируется на основе сопоставления двух совокупностей предметов. Дети должны понять принцип получения каждого последующего числа из предыдущего и предыдущего из последующего (п + - 1). В связи с этим на одном занятии целесообразно последовательно получить 2 новых: числа, например 6 и 7. Как и в средней группе, показу образования каждого следующего числа предпосылается повторение того, как было получено предыдущее число. Таким образом, всегда сравнивается не менее чем 3 последовательных числа. Дети иногда путают числа 7 и 8. Поэтому целесообразно провести большее количество упражнений в сопоставлении множеств, состоящих из 7 и 8 элементов.

Полезно сопоставлять не только совокупности предметов разного вида (например, елочки, грибочки и др.), но и группы предметов одного вида разбивать на части и сопоставлять их друг с другом (яблоки большие и маленькие), наконец, совокупность предметов может сопоставляться с ее частью. ("Кого больше: серых зайчиков или серых и белых зайчиков вместе?"). Такие упражнения обогащают опыт действий детей с множествами предметов.

При оценке численностей множеств предметов пятилетних детей еще дезориентируют ярко выраженные пространственные свойства предметов. Однако теперь необязательно посвящать специальные занятия показу независимости числа предметов от их размеров, формы, расположения, площади, которую они занимают. Возможно одновременно учить детей видеть независимость числа предметов от их пространственных свойств и получать новые числа.

Умение сопоставлять совокупности предметов разных размеров или занимающих разную площадь создает предпосылки для понимания значения счета и приемов поштучного соотнесения элементов двух сравниваемых множеств (одинкодному)ввыявлении отношений "равно", "больше", "меньше". Например, чтобы выяснить, каких яблок больше - маленьких или больших, каких цветков больше - ноготков или ромашек, если последние расположены с большими интервалами, чем первые, необходимо либо сосчитать предметы и сравнить их число, либо сопоставить предметы 2 групп (подгрупп) один к одному. Используются разные способы сопоставления: наложение, приложение, применение эквивалентов. Дети видят: в одной из групп оказался лишний предмет, значит, их больше, а в другой -одного предмета не хватило, значит, их меньше. Опираясь на наглядную основу, они сравнивают числа (значит, 8 > 7, а 7 < 8).

Уравнивая группы добавлением одного предмета к меньшему их числу или удалением одного предмета из большего их числа, дети усваивают способы получения каждого из сравниваемых чисел^ Рассматривание взаимосвязи отношений "больше", "меньше"

поможет им в дальнейшем понять взаимно-обратный характер отношений между числами (7 > 6, 6 < 7).

Дети должны рассказывать, как было получено каждое число, т.е. к какому числу предметов и сколько добавили или от какого числа предметов и сколько отняли (убрали). Например, к 8 яблокам добавили 1, стало 9 яблок. Из 5 яблок взяли 1, осталось 8 яблок и т.п. Если ребята затрудняются дать четкий ответ, можно задать наводящие вопросы: "Сколько было? Сколько добавили (убрали)? Сколько стало? '...

Показ независимости числа предметов от их размера, площади и формы расположения

<...> Детям показывают разные способы счета одних и тех же предметов и учат находить более удобные (рациональные), позволяющие быстро и правильно сосчитать предметы. Пересчет одних и тех же предметов разными способами (3-4 способа) убеждает детей в том, что начинать счет можно с любого предмета и вести его в любом направлении, но при этом надо не пропустить ни один предмет и ни один не сосчитать дважды.

Специально усложняют форму расположения предметов. Если ребенок ошибается, то выясняют, какая ошибка допущена (пропустил предмет, один предмет сосчитал дважды). Воспитатель, пересчитывая предметы, может намеренно допустить ошибку. Дети следят за действиями педагога и указывают, в чем заключалась его ошибка. Делают вывод о необходимости хорошо запомнить предмет, с какого был начат счет, чтобы не пропустить ни один из них и тот же предмет не сосчитать дважды.

Варьируя задания, усложняя форму расположения предметов, педагог закрепляет соответствующие представления и способы действия.

Установление равенства численностей множеств

В старшей группе большое место отводят упражнениям в составлении и подборе разночисленных множеств. Они позволяют дать детям представление о том, что множествам, содержащим одинаковое количество элементов, соответствует одно-единственное натуральное число, а одному и тому же натуральному числу соответствуют численности множеств самых разнообразных предметов. Используют разные варианты заданий. Например, детям предлагают отсчитать 3 разновидности игрушек (моделей геометрических фигур и др.) по названному числу и разложить на 3 полосках или в 3 рядах так, чтобы было видно, что игрушек поровну, т.е. положить одну игрушку под другой.

На первом занятии всем детям называют одно число, а в дальнейшем сидящим за разными столами или в разных рядах могут называть разные числа. Наконец, каждому ребенку можно давать индивидуальные задания. Раскладывание 3 видов предметов занимает

много времени, поэтому, предлагая такие задания, целесообразно называть числа в пределах 8.

Дети должны научиться рассказывать, по скольку у них игрушек каждой разновидности и делать обобщение <...> "на верхней полоске 7 квадратов, на средней - 7 прямоугольников, на нижней - 7 кругов, всех фигур поровну - по 7'; или : "Всех фигур по 7:7 квадратов, 7 прямоугольников и 7 кругов". Мысль ребенка должна следовать как от частного к общему, так и от общего к частному. Полезно варьировать вопросы, требующие как конкретизации, так и обобщения: "Сколько у вас групп (рядов) предметов? По скольку предметов в каждом ряду? По скольку разных предметов? Что можно сказать о количестве предметов всех групп?"

Состав числа из единиц

В старшей группе начинают углублять представление о числе. Детей знакомят с составом из единиц чисел первого пятка (5 - это 1,1,1,1 и еще 1). Для того чтобы подчеркнул, состав множества (из элементов) и на этой основе дать детям представление о составе числа (из единиц), подбирают такие совокупности, в которых каждый предмет отличается от других. Сначалаиспользуютпредметы одного вида, отличающиеся друг от друга либо окраской, либо размером, либо формой (наборы разноцветных флажков, матрешек, палочек разной длины или толщины, елочек, пирамидок разной высоты и т.п.), позднее - предметы, объединенные одним родовым понятием (например, комплекты игрушек: посуда, мебель, одежда и др.), атакже плоскостные изображения предметов или предметные картинки. Наряду с сюжетным используют и бессюжетный материал:

модели геометрических фигур, полоски бумаги разной длины или ширины и т.п.

Дети быстрее поймут количественное значение числа, если параллельно будет рассматриваться состав 2 чисел. Вначале все дети одновременно работают с одним и тем же раздаточным материалом, а позднее - с разным (например, одни составляют группу из 4 предметов мебели, другие из одежды, третьи - посуды). Состав каждого числа иллюстрируют не менее чем на 2-3 видах предметов. Выполняя задание, дети непременно должны рассказывать, как составлена группа, по скольку в ней разных предметов и сколько их всего, называть и предметы, и их количество (" 1 тарелка, 1 блюдце, 1 чашка - всего 3 предмета посуды"). Конкретные вопросы) "Сколько взяли красных карандашей? Сколько синих? Сколько всего у вас карандашей?") постепенно подменяют более общими, например: "По скольку ты взял разных игрушек? Сколько их всего? Как получилось у тебя 4 игрушки?"

Чтобы дети использовали разные формулировки ответов, варьируются не только вопросы, но и порядок их постановки. Дети могут сказать, по скольку разных предметов, а потом назвать общее их число или сначала сказать, сколько всего, а затем - по скольку разных предметов.

Для обобщения знаний предлагают вопросы: "Сколько разных игрушек ты возьмешь, если я назову число 4? Сколько раз ты подпрыгнешь, если я назову число З? " Воспитатель дает задание подобрать указанное число игрушек (выполнить указанное число движений). Важно, чтобы общее и конкретное постоянно выступали в единстве друг с другом.

Порядковое и количественное значение числа

В старшей группе детей начинают впервые учить пользоваться порядковыми числительными. В обиходе пятилетние дети хотя и пользуются порядковыми числительными, но употребляют их часто неверно, подменяя ими количественные числительные. Поэтому необходимо раскрыть значение порядковых числительных. Раскрыть порядковое значение числа позволяет сопоставление его с количественным значением. Когда хотят узнать, сколько предметов, их считают: один, два, три, четыре и т.д., т.е. считая так, находят ответ на вопрос сколько? Но когда нужно найти очередность, место предмета среди других, считают по-иному. Отвечая на вопросы который? какой по счету? считают: первый, второй, третий и т.д.

Дети часто путают вопросы который? и какой? Последний требует выделения качественных свойств предметов: цвета, размера и др. Чередование вопросов сколько? который? какой по счету? какой? позволяет раскрыть их значение.

Детям уже не раз показывали, что для ответа на вопрос сколько? не имеет значения, в каком порядке считать предметы. Теперь они узнают, что для определения порядкового места предмета среди других направление счета имеет существенное значение. Педагог демонстрирует это, пересчитывая одни и те же предметы в разных направлениях. Он выясняет, например, что среди 7 флажков синий - на 5 месте, если вести счет слева направо, а если считать справа налево, то он на 3 месте. Дети пробуют определить место предмета среди других, ведя счет в разных направлениях. Делают вывод, что, определяя, на каком по счету месте предмет, надо указывать направление счета (третий слева, пятый справа и т.д.).

В качестве счетного материала сначала используют однородные предметы, отличающиеся цветом или размерами, например разноцветные флажки или кружки, елочки разной высоты и пр., а позднее - совокупности предметов разного вида, например игрушки) персонажи сказки "Теремок" и т.п.). В порядковом счете детей упражняют и на бессюжетном материале, например на моделях геометрических фигур, полосках разных размеров и т.п. Тренируясь в порядковом счете, они определяют место предмета среди других, находят предмет, занимающий определенное порядковое место ("Какой предмет на третьем месте?"), располагают предметы в указанном порядке.

Сравнение смежных чисел

Сравнивать смежные числа - значит определять, какое из них больше, а какое меньше. С опорой на наглядный материал дети уже сравнивали смежные числа. На основе сопоставления 2 совокупностей, вводной из которых на 1 предмет больше (меньше), чем в другой, их знакомили с приемами получения всех чисел до 10. Поэтому они имеют представление о связях между числами, т.е. какое из смежных чисел больше (меньше) какого. Необходимо углубить эти представления. На конкретных примерах детям раскрывают постоянство связей между смежными числами (3 всегда больше 2, а 2 меньше 3, и т.д.). С самого начала подчеркивают, что понятия "больше", "меньше" относительные, каждое число (кроме единицы) больше или меньше другого в зависимости от того, с каким числом его сравнивают (3 2, но 3 4). Начинают формировать представление об определенной последовательности чисел.

Практическое установление разностных отношений между смежными числами позволяет подвести детей к пониманию взаимно-обратных отношений между ними (4 больше 3: если к 3 добавить 1, будет 4; 3 меньше 4: если от 4 отнять 1, будет 3). Отношения между смежными числами будут изучаться уже в подготовительной к школе группе.

Детей учат сравнивать все числа в пределах 10. Начинать работу целесообразно со сравнения чисел 2 и 3, а не 1 и 2.

Деление целого на части

Детям шестого года жизни показывают возможность дробления предмета на равные доли, их учат устанавливать отношения между целым и частью. Разделив предмет, они получают 2-4 равные части, а соединив их вместе, -1 целый предмет. В качестве единицы счета выступаетто предмет, то его часть. Понятие о единице углубляется, соответственно развивается и понятие о числе.

Обучение делению предмета на равные доли является основной задачей 3-4 занятий. Начинать его следует с деления предмета на части путем складывания (сгибания), но не разрезания: разрезав предмет, дети каждую его часть воспринимают как отдельный объект, независимый от целого. Например, на вопрос, что больше:

целое или часть, некоторые из них отвечают, что "частей больше, потому что их 2, а целое только одно". Установление связи между размером и принадлежностью целому его части подменяется поштучным сопоставлением объектов. Не понимая существа вопроса, дети не могут дать соответствующий ответ.

<...> С самого начала детей убеждают в необходимости точно складывать (в дальнейшем и разрезать) предмет, чтобы получились равные части. Равенство частей проверяется наложением и приложением. Складывая предмет пополам, а потом каждую часть еще раз пополам (дважды пополам), дети делят его на 4 равные части. Воспитатель постоянно побуждает ребят отражать в слове способ и результат деления. ("Что сделали? Что получилось? Равны ли части?).

Когда предмету разрезаются на части, полезно предлагать детям то соединять их вместе ("Как будто остался целый предмет"), то разделить предмет на части (отодвинуть их друг от друга). Устанавливают связь между действием его результатом: разделили предмет пополам (дважды пополам) - получилось 2 (4) части, соединили их вместе - получился целый предмет. По просьбе педагога дети показывают 1 и 2 частей (половину), 1 из 4 частей, 2 половины, 2 (3,4) из 4 частей. Они обводят контур предмета и каждую из его частей пальцем, сравнивают размер целого и части и выясняют, что целое больше части, а часть меньше целого. При этом педагог постоянно следит за тем, чтобы дети правильно употребляли следующие слова и выражения: пополам, половина, равные части, целое, одна из двух, одна из четырех частей. <...>Полезно установить связь между количеством действий разрезания и количеством получившихся частей. Например, воспитатель спрашивает: "Сколько раз надо сложить квадрат пополам, чтобы получить 2 равные части? А 4 части?"

Для обобщения знаний можно использовать схемы деления того или иного предмета на равные части (яблока, круга, квадрата и т.д.). Рассматривая с детьми схему, воспитатель спрашивает: "На сколько равных частей сначала разделили яблоко? Сколько получилось частей? Что больше и что меньше: половина или целое яблоко? 2 половины или целое яблоко? 1 из 4 частей (1/4) или половина (1/2)?" и т.д. Такие упражнения дети обычно воспринимают как игру и с удовольствием отвечают на вопросы. <..->

Деление на части позволит показать детям возможность дробления предметов на равные доли, наглядно выявить отношение целого и части, и, таким образом, создается условие для осознания детьми процесса измерения величин. При измерении предмет как бы дробится на части, сумма которых и характеризует его величину.

После того как дети овладеют приемами измерения, им можно предложить разделить палку, рейку, дощечку, нарисованный на доске прямоугольник и пр. на 2,4,8 равных частей.

Л.С.Меюшна. Математика в детском саду, М., "Просвещение", 1984, с.П-22,52-57,97-110,165-168.

Т.Н.Кухарева, Р.Л.Непомнящая.

ФОРМИРОВАНИЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ У СТАРШИХ ДОШКОЛЬНИКОВ О ВЕЛИЧИНЕ

Последовательное решение вопроса об обеспечении преемственности в обучении требует ознакомления дошкольников с денежными знаками, в частности монетами, их набором и разменом. Такая работа возможна благодаря тому, что дети старшего дошкольного возраста получают знания цифр, количественного состава числа из отдельных единиц и двух меньших чисел в пределах 10., навыки количественного счета и решения простейших арифметических задач на сложение и вычитание в одно действие.

Мы предположили, что вжизненном опыте ребенка, стихийном и целенаправленно формируемом, имеются предпосылки для развития представлений о деньгах как величине. Организация ознакомления старших дошкольников с деньгами и их мерой будет способствовать дальнейшему математическому развитию ребенка, расширению его ориентировки в окружающем.

В работах известных зарубежных (С. Ульдерспш, М.Мошпессори) и русских (Е. Тихеева, М.Морозова, С. Горбунова-Посадова, И.Цунзер, Л.Глаголева, Ф.Блехер), в том числе современных (Я. Ф. Чекмарев, Е.И.Мишарева, А.А. Столяр и др.) педагогов содержатся указания на важность такой работы, имеются отдельные рекомендации по ее организации, использованию упражнений с монетами в целях закрепления знания цифр, состава числа и т.д., но не раскрывается система работы в целом.

Основной задачей нашего исследования было разработать содержание, методы и приемы ознакомления дошкольников с деньгами как величиной. При этом мы учитывали следующее:

1. Формирование у детей представлений о деньгах как величине должно основываться на ознакомлении с некоторыми внешними особенностями процесса торговли (где и как совершают покупки, когда и зачем пользуются деньгами).

2. Сообщение данного содержания необходимо сочетать с воспитанием правильного отношения к деньгам в быту.

3. К моменту поступления вшколуу детей следует формировать навыки самостоятельного совершения покупок.

Основным методом исследования был педагогический эксперимент, который включал констатирующий, обучающий и контрольный этапы. К констатирующему эксперименту привлекались дети старшей и подготовительной к школе групп детского сада # 12 г.Могилева; обучающий эксперимент охватывал только детей подготовительной группы.

Констатирующий эксперимент предусматривал ответы на вопросы (каждым ребенком индивидуально в устной форме) и практическое выполнениен специальных заданий:

1. Был ты в магазине? С кем? А один был?

2. Что вы покупали? Что покупал сам?

3. Что такое магазин?

4. Какие бывают магазины? Почему магазины называют:

продовольственные, промтоварные, овощные и т.д.?

5. Чем расплачиваются в магазине?

6. Как покупатели узнают, сколько им надо заплатить за ту или иную вещь, продукт?

7. Где берут люди деньги?

8. Какие бывают деньги?

9. Что такое монета? Назови несколько монет.

10. Что можно купить в магазине на 1 коп., 2 коп., 20 коп., 1 руб.?

11. Сколько стоит тетрадь, стакан сока, мороженое?

12. Показать детям набор монет разного достоинства и спросить: "Что это?" Попросить назвать достоинство монет.

13. Предложить разменять монеты достоинством в 2 коп., 3 коп., 5 коп., (Взять монету и сказать: "Дай столько же денег". Среди монет, предложенных ребенку, больше нет монеты такого же достоинства).

14. Показать детям две монеты в 2 коп. Задать вопросы:

"Сколько монет? Сколько денег".

15. Разложить наборы монет "1 коп. и 1 коп." и "2 коп. и 2 коп." (старшая группа); "2 коп. и 2 коп." и "3 коп. и 3 коп.# (подготовительная группа). Сравнить их по количеству монет и сумме денег.

16. Набрать сумму в 4,6 коп.

Часть вопросов была направлена на выявление представлений детей о магазине, правилах поведения в нем, процесс торговли, ценах некоторых товаров. Другая группа вопросов и специальных заданий вскрывала уровень знаний детей о достоинстве, монет, их размене, умений различать "монету", "копейку" и т.д.

Анализ ответов детей иГвыполнения ими заданий позволил выявить некоторые особенности детских представлений. Большинство старших дошкольников бывало в магазине, некоторые (30% ст.гр., 70% - подг.гр.) ходили в магазин одни, совершали покупки. От детей требовалось определить, что такое магазин (помещение для торговли, где продают и покупают что-либо). При ответах дети использовали несущественный признак (Люда, ст.гр. "В магазине весы, вот") показывает весы в игровом уголке) или какую-то одну из сторон существенного признака - только "продают" или только "покупают" (Женя, ст.гр.: "Магазин - это дом, в котором продается все"; Валя, подг.гр.: "В магазине все вещи покупают").

При ответе на вопросы "Какие бывают магазины", "Почему магазины делятся на продовольственные, книжные и т.д." половина детей смогла дать относительно правильное перечисление некоторых видов магазинов, но объяснить принцип такого деления смогло лишь 40%.

Большинство испытуемых в результате стихийно накопленного опыта приближается к пониманию того, что мерой стоимости

товара являются деньги: "Расплачиваются за покупки деньгами:

рублями и копейками".

Осознают старшие дошкольники и то, что деньги - это плата за труд - Олег, подг.гр. "Зарабатывают на работе за то, что хорошо работают. Моя мама печатает на работе, а папа - сварщик"; Таня, подг.гр.: "Деньги получают на работе, они работают и зарабатывают деньги. Вот, например, моя мама: она проводит один урок, чтобы заработать один рубль", она учительницей работает в вечерней школе".

Оказалось, что из 40 опрошенных детей только 16, т.е. 40% имеют некоторые знания относительно специальных правил поведения в магазине. У„60% такие знания отсутствуют, следовательно, они не смогут"?амостоятельно сделать покупки. Между тем 87% первоклассников, как показал опрос группы детей I⁶ класса СШ № 7 г.Могилева, имеет карманные деньги в размере 10-20 коп.

Дети старшего дошкольного возраста (37 из 40 опрошенных) не разделяют деньги на бумажные и металлические, т.е. монеты. Большая их часть не знает, что монета - это денежный знак, изготовленный из металла. Монета ассоциируется у детей со старинными, либозолотыми, т.е. какими-то необычными деньгами

- Родион, подг.гр.: "Монеты - это старинные деньги: английские, немецкие"; Олег, ст.гр.: "Монеты - золотые деньги". Монета ' отождествляется с копейкой. Иногда в разговорной речи копейкой

-НазываютГмонету достоинством в 1 коп., но дети распространяют это на все монеты -Света, подг.гр.: "Монета - это копейка". Дошкольники также часто взаимозаменяют слова "монета", "деньги", "копейка".

Ответы показали, что наиболее знакомы детям цены "самых нужных" для них товаров: мороженого, сока, газированной воды. Здесь ими приводятся даже колебания цен в зависимости от вида, сорта - Люда, ст.гр.: "Мороженое - 13,20 коп."; Игорь, ст.гр.:

"Водичка беленькая - 1 коп., лимонад и газировка - 3 коп." На сумму 1 руб. и болеедети считают возможным купить "килограмм конфет", "много мороженого", "конверты, дали б еще сдачи", "молоко и хлеб". Наиболее знакомы детям цены на те товары, покупать которые им приходилось самостоятельно или при покупке которых они часто присутствовали. ~ ~

Большинство старших дошкольников различает достоинство монет. Но при этом они называют только цифру, изображенную на монете, не добавляя слова "копеек". <...>

На основе полученных данных была разработана экспериментальная программ,<1р.бучения, которая включала:

- формирование у детей представлений о магазине как помещении для торговли, где продают и покупают разнообразные вещи и продукты, о видах магазинов в зависимости от продаваемых товаров;

- воспитание культуры поведения в магазине;

- развитие представлений о том, когда и зачем пользуются деньгами, какие они бывают (металлические, или монеты, или бумажные);

- знакомство с монетами в 1, 2, 3, 5, 10 коп., их набором и размером;

- подведение к пониманию того, что деньги - это мера труда, позволяющая получать определенные блага. - •

Поскольку существующая ныне "Программа воспитания в детском саду" не предусматривает сообщения детям такого содержания, мы стремились большую часть работы осуществлять в повседневной жизни и деятельности.

Процесс обучения осуществляется поэтапно. На первом, подготовительном этапе дети овладевали знаниями о некоторых особенностях-процесса торговли. Задачей этого этапа было: дать детям возможность увидеть настоящие деньги, показать, когда и зачем ими пользуются, какими они бывают; уточнить и расширить знания, необходимые для самостоятельного совершения покупок в магазине. На втором, основном этапе шла работа по 'I непосредственному формированию представлений о. .деньгах;. знакомство с достоинством монет, отношением между монетами разного достоинства, их набором и разменом. В качестве главного метода обучения на этом этапе мы избрали дидактическую игру, так как она делает усвоение материала более доступным.

Работу начали со знакомства детей с достоинством разных монет, которое проводилось в процессе изготовления моделей — монет для игр в "магазин, "автобус", т.е." в Практической деятельности. Они изготовлялись путем перерисовки монеты, подложенной под лист бумаги. Изготовленные модели дети раскладывали в специальные коробки, на стенках которых была изображена цифра, обозначающая достоинство монеты, и дан ее набор из монет в 1 коп. Раскладывая каждый раз модели монет после игр, дети зрительно запоминали их набор.

¹ В дидактической игре "Найди деток для мамы-монетки" дети упражнялись в различении достоинства разных монет, а также цифр, выделении части из целого, в счете, у них воспитывалась внимательность.

Затем следовала подвижная игра с фотомоделями монет, которая имела несколько вариантов, различающихся по своим дидактическим задачам. Проведении игры по первому варианту детей упражняли в назывании достоинств монет, по второму -закрепляли эти знания, по третьему - знакомили с отношениями между монетами разного достоинства (больше, меньше, равные по достоинству).

С целью освоения детьми отношений междумонетами разного достоинства, обучения умению рассуждать предлагалась игра -., "Поможем Буратиномайти монеты", в котором в качестве игровой задачи выступало задание помочь Буратино отыскать на карте все спрятанные разбойниками -лисой Алисой и котом Базилио монеты. Ориентиром служил и кружки, обозначающие места со спрятанными

монетами, и стрелки, направленные от монеты меньшего достоинства к монете большего достоинства.

Следующий момент в обучении - знакомство с .набором и разменом, монет, разного достоинства и параллельно закрепление знания состава числа из отдельных единиц и двух меньших чисел. Детям была предложена игра "Поищем вместе", которая подготавливала к упражнениям по набору и размену монет. В процессе игры дети знакомились с тем, что одну и ту же сумму денег можно набрать по-разному, учились находить заданную сумму в разном наборе монет.

Для упражнений в наборе и размене монет организовывалась дидактическая игра "Разменн.ый..акгома1"-..Материалом служили символические моделиразменных автоматов, наборы фотомоделей монет. Игра имела семь вариантов.

Первый вариант использовался с целью упражнения детей в наборе монет разного достоинства из монет в 1 коп., второй -в размене монет намонеты в 1 коп., третий - внаборе монет большего достоинства из двух монет меньшего достоинства, четвертый - в размене монет большего достоинства на две монеты меньшего, пятый - седьмой - с целью упражнения детей в последовательном выполнении нескольких операций: размене монет большего достоинства на две монеты меньшего достоинства, а их - на монеты в l.Kpn., наборё^юнет разного достоинства из„монет в 1 коп. и последующим их размене на две монеты меньшего"достойнстоа; в наборе монет большего достоинства из двух монет меньшего достоинства и последующем их размене на монеты в 1 коп.. Для закрепления знаний предлагалась игра типа "Домино", основанная на принципе "приложи такую же сумму денег и игра "Вырасти дерево". """""'

На третьем этапе работа была направлена на воспитание у детей правильного отношения к деньгам. Поставленная воспитательная задача частично решалась в процессе двух занятий. Целью одного их них было формирование у детей представления, что деньги - это мера труда, позволяющая получать определенные блага, и что деньги, заработанные честным трудом, по пустякам не тратят. Занятие протекало в форме беседы по содержанию народных сказок "Как-братья отцовский клад искали" (молдавская сказка), "Шейдула - лентяй" (азербайджанская сказка"), "Трудовые деньги" (осетинская сказка). Второе занятие строилось на основе работы над пословицами. Мы напомнили детям, что пословица - это мудрое суждение народа о жизни и людях, которое всегда имеет поучительный смысл, познакомили с пословицами, в которых положительно оценивается такое качество как бережливость, отражается правильное отношение к деньгам. "Не имей 100 рублей, а имей 100 друзей". "Не деньгами жить, а с добрыми людьми". "Уговор дороже денег". "Копейка рубль бережет".

Четвертый этап - обобщающий и одновременно выступающий как часть контрольного эксперимента. Путем создания соответствующей игровой обстановки, активизации полученных ранее впечатлений мы вызывали у детей желание организовать сюжетно-ролевые игры в "магазин", "автобус" и др. Созданные самим детьми, они показывали, насколько усвоена предложенная экспериментальная программа. Мы проанализировали и сравнили две сюжетно-ролевые игры в "магазин". Первая игра по времени проведения совпала с констатирующим этапом эксперимента, вторая - с заключительным этапом обучения.

Игровой замысел в обеих играх одинаков, но вторая игра значительно глубже, шире, богаче по содержанию, в ней полнее отражаются взаимоотношения покупателя и продавца; игровые действия по своему характеру сложнее, разнообразнее, ближе к реальным. Все это говорит о том, что знания, подученные детьми на 1-3 этапах обучения, значительно расширили представления о магазине, взаимоотношениях покупателя продавца, их действиях и тем самым обогатили игровые образы. Речь детей пополнилась новыми словами: отдел, касса, кассир, фасовщик, сдача, рассчитать, чек и др. В ходе второй игры дети часто прибегали к набору заданной суммы разными монетами, счету денег и т.д. <...>

По итогам проведенной работы можно сделать выводы:

1. Получены данные, подтверждающие выдвинутую гипотезу о наличии в жизненном опыте детей, стихийно и целенаправленно формируемом, необходимым предпосылок для формирования представлений о деньгах как величине.

2. Подтверждено положение о доступности для детей старшего дошкольного возраста знаний о деньгах и их мере, о некоторых внешних особенностях процесса купли и продажи, необходимых для дальнейшей практической деятельности.

3. Предложенная экспериментальная программа была детьми полностью усвоена. Все, чему детей учили, было применено ими в новых ситуациях, вне условий обучения, что говорит о достаточно обобщенном характере знаний и гибкости приобретенных навыков.

4. Отбор программного материала был произведен с учетом возрастных возможностей, а методические приемы отвечали поставленным задачам и были адекватны возрасту.

5. Реализация экспериментальной программы осуществлялась в основном в повседневной жизни и деятельност детей: не потребовалось введения дополнительного времени для занятий, нарушения режима детского сада.

6. Обучение по предложенной программе повысили математическую подготовку шестилеток к школе, расширило их ориентировку в окружающем.

Т.Н.Кухарева, Р.Л. Непомнящая. Формирование представлений у старших дошкольниках о величинах. Оптимизация учебно-воспитательного процесса в детском саду. Л., 1985, с.68-76.

СОДЕРЖАНИЕ

К.Ф.Лебединцев. Современные педагогические исследования

в области вопросов, связанных с методикой начальной

математики ........................................................................5

Г.С.Костюк. О генезисе понятия числа у дегей................. 13

Н.А.Менчичская.Пуги формирования первоначального

понятия о числе у детей до школы ................................ 19

А.В.Брушлчнскчй. Некоторые вопросы детского

мышления в условиях усвоения счета ...........................27

А.М.Леушина. Развитие представлений о множестве в

раннем детстве.................................................................. 31

П.Я.Гальперин ч Л.С.Георгиев. Недостатки обучения

счету.................................................................................. 38

П.Я.Гальперин, Л.С.Георгиев. Формирование начальных

математических понятий .................................................43

В.В.Данилова. Особенности понимания количественных

отношений совокупности детьми 2-х - 3-х лет.............46

ГЛ. Корнеева. Роль предметных действий в

формировании понятия числа у дошкольников........... 54

ГД.Бершивчяч, И.В.Котетчшвшлч. С чего начинать обучение

математике в школе?........................................................ 63

Н. И. Непомнящая. Усвоение математических действий

в дошкольном возрасте ....................................................65

М.Фидлер. Математика уже в детском саду ........................69

Л.С.Метлчна. Методика формирования у детей

элементарных математических представлений .............73

Т.Н.Кухарева, Р.Л.Непомшчцая. формирование

представлений у старших дошкольников о

величине ...........................................................................87

5