1.5. Элементарные функции
Понятие элементарной функции
Определение. Функции:
линейная ( – постоянная),
степеная
показательная ,
логарифмическая ,
тригонометрические ,
обратные тригонометрические ,
называются основными элементарными функциями.
Всякая функция, которая может быть задана с помощью конечного числа арифметических операций (сложение, умножений, вычитание, деление) и конечного числа композиций над основными элементарными функциями, называется элементарной функцией.
В множестве элементарных функций обычно выделяют следующие важные классы .
Многочлены (полиномы) – функции вида
.
Здесь – постоянные (в общем случае, комплексные) числа, называемые коэффициентами многочлена, – натуральное число. Если , то называется степенью многочлена.
Многочлены действительного переменного определены на всей числовой прямой.
Алгебраические рациональные функции – функции , представимые в виде
,
где – многочлены, многочлен не равен тождественно нулю. Рациональные функции определены всюду, кроме тех точек, в которых многочлен, стоящий в знаменателе, равен нулю.
3. Алгебраические иррациональные функции – функции, не являющиеся рациональными и представимые в виде композиции конечного числа рациональных функций, степенных функций с рациональными показателями и четырех арифметических действий.
Функция
является иррациональной, поскольку представима в виде композиции степенной функции
с показателем ½ и многочлена
.
4. Трансцендентные функции – элементарные функции, не являющиеся алгебраическими.
К трансцендентным функциям относят, например, функции
.
Многочлены. Разложение многочленов на множители
1. Рассмотрим многочлен
-ой степени. Здесь – комплексное переменное, т.е. переменое, которому придаются значения из множества комлексных чисел , коэффициенты – комплексные числа.
Основная теорема алгебры многочленов утверждает, что многочлен имеет ровно корней с учетом их кратности:
,
– комплексные корни многочлена кратности соответственно, .
2. Если многочлен рассматривается над множеством действительных чисел:
,
– действительное переменное, - действительные коэффициенты, и комплексное число является корнем, то число , сопряженное этому числу, также будет являться корнем многочлена.
В этом случае разложение многочлена на множители над множеством действительных чисел принимает вид:
.
Здесь
– действительные корни многочлена кратности соответственно, многочлены вторых степеней имеют комплексно сопряженные корни кратности соответственно, сумма кратностей корней .
Многочлен раскладывается на множители:
.
Разложение свидетельствует о том, что многочлен имеет пару простых комплексно сопряженных корней и действительный корень кратности 2.
Многочлен раскладывается на множители:
.
Он имеет действительные корни , причем оба корня кратности 2.
Представление рациональных функций
Рассмотрим функции вида
,
где – многочлены степени и соответственно.
Если степень числителя строго меньше степени знаменателя, т.е. ,
то функция называется правильной рациональной дробью, в противном случае, когда степень числителя не меньше степени знаменателя, т.е. , функция называется неправильной рациональной дробью.
Функция есть пример правильной рациональной дроби.
Функция дает пример неправильной рациональной дроби.
Неправильная дробь раскладывается делением числителя на знаменатель в сумму:
.
Здесь – многочлен (n–m)-ой степени, называемый целой часть неправильной дроби , второе слагаемое есть отношение многочленов k-ой и m-ой степеней, где k<m, и называется правильной частью дроби .
Введем в рассмотрение так называемые элементарные дроби. К таковым относят дроби вида
, где – действительные числа, – натуральное число;
, где - действительные числа, - натуральное число; многочлен 2-ой степени, стоящий в знаменателе, не имеет действительных корней.
Дроби вида 1 будем называть элементарными дробями первого типа, дроби
вида 2 – элементарными дробями иторого типа.
Теорема. Правильная рациональная дробь
с действительными коэффициентами раскладывается в сумму элементарных дробей. При этом, если
,
где
- попарно различные действительные корни многочлена кратности соответственно,
многочлены второй степени не имеют действительных корней, т.е. для любого
,
- пара комплексно сопряженных корней многочлена ,
,
то справедливо разложение
.
Здесь - некоторые однозначно определяемые константы.
Теорема утверждает, что разложение правильной рациональной дроби определяется корнями знаменателя, причем
действительному корню кратности , отвечает серия из элементарных дробей первого типа
паре комплексно сопряженных корней , кратности , , отвечает серия из элементарных дробей второго типа
.
Умение раскладывать правильные дроби на сумму элементарных дробей востребуется, в частности, при интегрировании функций.