1. Введение в анализ

1.1. Множество. Основные операции над множествами. Математическая символика

Понятие множества является одним из основных первичных понятий математики. Под множеством понимается совокупность каких-либо объектов произвольной природы. Множества обозначают обычно заглавными буквами A, B, C, D, … латинского алфавита, а элементы множества – соответствующими прописными буквами - a, b, c, d, … . Задаются множества перечислением элементов или с помощью свойства, которым все элементы данного множества обладают. В последнем случае означенное свойство называют характеристическим свойством множества.

Для удобства и полноты вводится в рассмотрение пустое множество . Пустое множество не содержит элементов. Ясно, что содержится в любом множестве.

Часто применяемые математические обозначения.

Символ	Как читается символ	Пример
Символ принадлежности	«принадлежит», «содержится»	a A – “a принадлежит множеству A”
Символ включения	«вложено», «содер- жится», «является подмножеством»	A B – “множество A является подмножеством множества B”
Символ следования	«следует», «влечет»	- “из предложения следует предложение »
Символ эквивалентности	«равносильно», «эквивалентно»	- “предложение равносильно предложению ”
Квантор всеобщности	«всякий», «любой», «произвольный», «для всех» и т.п.	см. ниже
Квантор существования	«существует», «найдется» и т.п.	см. ниже
(…)	В круглые скобки помещают предложения, вытекающие из предыдущих условий	a A b B (a b) – “для любого элемента множества A найдется ему не равный элемент множества B”

Основные операции над множествами

1. Объединение множеств.

Определение 1. Объединением множеств A и B называется множество, состоящее из элементов множеств A и B:

A B = {c: c A либо c B}.

A

B

A B

2. Пересечение множеств.

Определение 2. Пересечением множеств A и B называется множество, состоящее из элементов, принадлежащих как множеству A, так и множеству B:

A B = {c: c A и c B}.

A

B

A B

3. Разность множеств.

Определение 3. Разностью множеств A и B называется множество, состоящее из элементов множества A, не содержащихся во множестве B:

A\B = {c: c A, но c B}.

Здесь символ читается как “не принадлежит”.

A

1.2. Функция. Понятия обратной функции и сложной функции

Понятие функции является одним из фундаментальных понятий математического анализа.

Пусть X и Y – непустые множества элементов произвольной природы.

Определение. Соответствие, при котором каждому элементу x из X отвечает единственный элемент y из Y называется функцией, заданной на множестве X со значениями на множестве Y, или отображением множества X на множество Y.

X

Y

x

y

Функцию обозначают обычно буквой латинского алфавита, например, буквой . Пишут

y = (x), x X,

или

: X Y,

или

X Y.

Элемент х X называют независимой переменной, или аргументом, а соответствующий элемент y Y – зависимой переменной. Множество X называется областью определения функции, множество

Y_f ={y Y: x X ( = y)}

т.е. множество всех тех y, каждый из которых поставлен в соответствие хотя бы одному x, называется множеством значений функции. Очевидно

Y_f Y.

Если при выполняется неравенство , то функция определяет взаимно однозначное соответствие X в Y.

Если : X Y, E – подмножество множества X, то функция f_E: E Y называется сужением функции f на множество E.