1.4. Комплексные числа

Понятие комплексного числа

Рассмотрим выражения вида

,

где и – действительные числа, – особое число, называемое мнимой единицей. По определению

.

Указанные элементы будем называть комлексными числами. У комплексного числа выделяют

• – действительную часть, пишут ,

• – мнимую часть, пишут .

Два комплексных числа называют равными, если равны их действительные части и равны их мнимые части.

Множество комплексных чисел будем обозначать в дальнейшем .

Арифметические операции

Арифметические операции над комплексными числами определяются через операции над действительными числами.

Пусть , .

1. Сложение.

2. Умножение.

3. Вычитание.

Вычитание определяется как действие, обратное к сложению:

, если .

4. Деление.

Деление определяется как действие, обратное к умножению:

, если .

Векторная интерпретация комплексных чисел.

Модуль и аргумент комлексного числа

Каждому комплексному числу соответствует единственная упорядоченная пара действительных чисел , и, наоборот, любой упорядоченной паре действительных чисел отвечает вполне определенное комплексное число . Упорядоченные пары действительных чисел находятся во взаимно одназначном соответствии с точками (или векторами) на плоскости, на которой задана система координат. В результате комплексное число можно рассматривать как вектор на плоскости с координатами .

y

x

0

z

Координатная плоскость, векторы которой интерпретируются как комплексные числа, называется комплексной плоскостью, ее ось – действительной осью, а ось – мнимой осью.

Длина вектора называется модулем комплексного числа.

Если -угол между ненулевым вектором и действительной осью, то всякий угол вида , где – целое число, и угол только такого вида, также будет углом, образованным вектором с действительной осью. Множество всех таких углов называется аргументом комплексного числа :

.

Действительная и мнимая части комплексного числа выражаются через его модуль и значение аргумента:

.

Тогда

.

Правая часть равенства называется тригонометрической формой записи комплексного числа.

Операции с комплексными числами, записанными в тригонометрической форме

Тригонометрическая форма записи комплексных чисел удобна при перемножении чисел, возведении их в натуральную степень, при извлечении корня.

Если

, ,

то произведение комплексных чисел

Таким образом, при умножении комплексных чисел модули перемножаются, а аргументы складываются:

,

.

Следует обратить внимание на то, что второе равенство является равенством двух множеств.

Применив последовательно формулу умножения двух чисел к произведению чисел, получим

.

Эта формула называется формулой Муавра.

Извлечение корня из комплексного числа

Если – натуральное число, – комплексное число, то корнем n-ой степени из комплексного числа называется всякое такое число , что

.

Если , то числа и являются значениями корня 2-ой степени из –1.

Следовательно, корень из комплексного числа определяется неоднозначно.

Корень имеет ровно значений, вычисляемых по формуле

.

Сопряженные комплексные числа

Для каждого комплексного числа число называется ему сопряженным числом. Геометрически вектор симметричен вектору относительно действительной оси.

Перечислим основные свойства сопряженных чисел.

1. 

2. 

3. 

4. 

5.