- •Рекомендуемая литература
- •Теория вероятностей
- •1. Случайные события
- •1.1. Событие и эксперимент. Соотношения между событиями. Пространство элементарных событий
- •1.2. Частота события. Статистическое определение вероятности
- •1.3. Классическое определение вероятности
- •1.4. Геометрическое определение вероятности
- •1.5. Аксиомы теории вероятностей. Основные следствия из аксиом
- •1.6. Условная вероятность. Независимость событий. Теорема умножения вероятностей
- •1.7. Теорема сложения вероятностей
- •1.8. Формула полной вероятности. Формула Байеса
- •1.9. Вычисление вероятностей событий с помощью биномиальной и полиномиальной формул
- •2. Случайные величины
- •2.1. Понятие случайной величины и её закона распределения. Дискретные и непрерывные величины
- •2.2. Ряд и многоугольник распределения дискретной св
- •2.3. Функция распределения св и её свойства
- •2.4. Плотность распределения непрерывной св и её свойства
- •2.5. Математическое ожидание, мода и квантили св
- •2.6. Моменты, дисперсия и среднее квадратическое отклонение св
- •2.7. Биномиальное распределение
- •2.8. Распределение Пуассона
- •2.9. Геометрическое распределение
- •2.10. Равномерное распределение
- •2.11. Показательное распределение
- •2.12. Одномерное нормальное распределение
2.7. Биномиальное распределение
Дискретная СВ Х с возможными значениями называется распределённой по биномиальному закону, если её ряд распределения задаётся формулой
, ,
где и – параметры биномиального распределения и . Для биномиального закона , .
Данное распределение возникает в схеме Бернулли, где р – вероятность появления события А в одном испытании, Х – число появлений события А в n независимых испытаниях.
2.8. Распределение Пуассона
Дискретная СВ Х с возможными значениями называется распределённой по закону Пуассона с параметром , если её ряд распределения задаётся формулой
,
Для закона Пуассона .
Доказано, что биномиальное распределение при одновременном увеличении n и уменьшении р с сохранением постоянного значения неограниченно приближается к распределению Пуассона с параметром . Это означает, что при большом n и малом р вероятность , где Х – число появлений события А в n независимых испытаниях, может быть приближённо вычислена по формуле распределения Пуассона.
2.9. Геометрическое распределение
Дискретная СВ Х с возможными значениями называется распределённой по геометрическому закону, если её ряд распределения задаётся формулой
, ,
где – параметр геометрического распределения и . Для геометрического закона , .
Данное распределение возникает при повторных независимых испытаниях, где р – вероятность появления события А в одном испытании, Х – число испытаний, проведённых до первого появления события А.
2.10. Равномерное распределение
Непрерывная СВ Х называется равномерно распределённой на отрезке , если множество её возможных значений – отрезок , а вероятность попадания СВ Х на любой участок этого отрезка пропорциональна длине участка. Плотность и функция распределения равномерно распределённой СВ имеют вид:
Для равномерного распределения , .
2.11. Показательное распределение
Непрерывная СВ Х называется распределённой по показательному (экспоненциальному) закону c параметром , если множество её возможных значений – полупрямая , а плотность и функция распределения имеют вид:
Для показательного распределения , .
2.12. Одномерное нормальное распределение
Непрерывная СВ Х называется распределённой по нормальному закону (по закону Гаусса) с параметрами и , если множество её возможных значений – вся числовая прямая, а плотность вероятности определяется формулой
.
Для нормального закона используется обозначение , при этом , , а функция распределения задаётся формулой
,
где интеграл не выражается через элементарные функции. Графики плотности и функции распределения имеют вид:
Нормальный закон распределения называется стандартным, если и . Для стандартного нормального закона плотность вероятности имеет вид и обладает свойством , а функция распределения имеет вид и обладает свойством . Функции и называются, соответственно, функцией Гаусса и функцией Лапласа. Для нахождения их значений при различных х составлены таблицы.
Если в выражении для функции распределения СВ сделать замену , то получим . При имеем , а при имеем . Отсюда
,
т.е. функция распределения нормального закона с заданными параметрами m и выражается через функцию распределения стандартного нормального закона.
Поскольку для непрерывной СВ , то для нормально распределённой СВ . В частности,
.
Это означает, что попадание нормально распределённой СВ Х на отрезок – практически достоверное событие. Данное свойство нормального распределения называется “правилом трёх сигма”.