2.2. Ряд и многоугольник распределения дискретной св

Пусть Х – дискретная СВ, имеющая конечное множество возможных значений , расположенных в порядке возрастания, и , . Тогда простейшей формой закона распределения СВ Х является следующая таблица, называемая рядом распределения:

Х			. . .
Р			. . .

События , являются попарно несовместными и образуют полную группу, поэтому

.

Для наглядности ряд распределения можно представить графически: на координатной плоскости изображаются точки , , которые последовательно соединяются отрезками прямых. Полученная ломаная называется многоугольником распределения.

Если дискретная СВ имеет счётное множество возможных значений , расположенных в порядке возрастания, то её закон распределения может быть задан формулой вида , , где р – некоторая функция натурального аргумента и выполняется условие . Указанная формула также называется рядом распределения.

2.3. Функция распределения св и её свойства

Функцией распределения СВ Х называется такая функция , которая при каждом значении числового аргумента х равна вероятности того, что СВ Х принимает значение, меньшее х, т.е. . Из определения СВ следует, что определена при любом значении х. Функция распределения является одной из форм закона распределения как дискретной, так и непрерывной СВ.

Рассмотрим основные свойства .

1⁰. .

Доказательство следует из определения как вероятности: .

2⁰. – неубывающая функция аргумента х, т.е. если , то .

Доказательство. Пусть . Событие есть сумма несовместных событий и , поэтому из аксиомы сложения имеем или , откуда , т.е. .

3⁰. .

Доказательство следует из полученного выше равенства

.

4⁰. , .

Доказательство. Рассмотрим значение СВ Х как положение случайной точки на числовой оси. Тогда функция при каждом значении х равна вероятности того, что случайная точка окажется левее точки х. При неограниченном перемещении точки х влево (вправо) попадание случайной точки левее х в пределе становится невозможным (достоверным) событием, поэтому , .

5⁰. Функция распределения дискретной СВ постоянна на любом интервале, не содержащем возможных значений этой СВ, и имеет скачок в каждой точке, совпадающей с возможным значением, при этом величина скачка равна вероятности появления соответствующего значения.

6⁰. Функция распределения непрерывной СВ непрерывна на всей числовой оси. Функция распределения произвольной СВ при любом значении аргумента х непрерывна слева.

2.4. Плотность распределения непрерывной св и её свойства

Пусть Х – непрерывная СВ, а – её функция распределения. Плотностью распределения (или плотностью вероятности) СВ Х называется функция , равная производной от функции распределения этой СВ, т.е. . Если при некотором значении аргумента недифференцируема, то в этой точке не определена.

Разность равна вероятности попадания СВ на участок , поэтому отношение есть средняя вероятность, приходящаяся на единицу длины этого участка. Это означает, что характеризует “плотность вероятности”, с которой распределены возможные значения СВ. Если дифференцируема в точке х, то при малом имеет место

,

где величина называется элементом вероятности.

Рассмотрим основные свойства плотности распределения.

1⁰. .

Доказательство следует из равенства и неубывания .

2⁰. .

Доказательство.

.

3⁰. .

Доказательство. .

4⁰. .

Доказательство. .

Замечание. Для непрерывной СВ Х при любых имеет место , поэтому

.

Функция распределения непрерывной СВ называется также её интегральным законом, а плотность вероятности – дифференциальным законом распределения. График плотности называется кривой распределения.