1.4. Геометрическое определение вероятности

Пусть пространство элементарных событий  некоторого испытания бесконечно и может быть представлено какой-нибудь геометрической фигурой (например, отрезком прямой, плоской фигурой, телом в пространстве). Будем считать, что множество  измеримо, т.е. имеет определённую длину, площадь или объём, а элементарные события, соответствующие различным точкам , равновозможны. Тогда вероятностью события А, состоящего в появлении элементарного события в измеримом подмножестве , называется число , где и – меры множеств и  (например, длины отрезков, площади плоских фигур, объёмы тел).

Геометрическое определение вероятности является интуитивным обобщением классического определения. Все свойства вероятности, установленные на основании свойств частоты, остаются справедливыми. Вероятность каждого из элементарных событий в данной ситуации равна нулю, хотя ни одно из них не является невозможным.

1.5. Аксиомы теории вероятностей. Основные следствия из аксиом

Построение логически полноценной теории вероятностей основано на аксиоматическом определении элементарного события и вероятности. В настоящее время общепринятой является система аксиом, предложенная А.Н. Колмогоровым.

Пусть имеется множество  элементов произвольной природы, называемых элементарными событиями. Само множество  будем называть пространством элементарных событий испытания или достоверным событием, его пустое подмножество  – невозможным событием, остальные подмножества – случайными событиями. Под операциями над событиями будем понимать соответствующие операции над множествами.0000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000

Пусть F – некоторое множество подмножеств , называемое полем событий испытания. Будем считать, что поле F является алгеброй, т.е. обладает следующими свойствами:

1) ;

2) ;

3) .

Если множество F содержит бесконечное число элементов, то будем считать, что оно обладает также свойством:

.

Вероятностью (или вероятностной мерой) называется функция , которая каждому событию ставит в соответствие определённое числовое значение и удовлетворяет следующим аксиомам.

Аксиома 1. Вероятность любого события неотрицательна.

Аксиома 2. Вероятность достоверного события равна единице.

Аксиома 3 (аксиома сложения). Вероятность суммы попарно несовместных событий равна сумме их вероятностей.

Таким образом, вероятность представляет собой неотрицательную, нормированную, аддитивную функцию множеств. Если поле F содержит бесконечное число элементов, то аксиома сложения полагается справедливой также для последовательности попарно несовместных событий . Вероятности случайных событий, не содержащихся в F, считаются неопределёнными.

Тройка называется вероятностным пространством испытания и представляет собой математическую модель реального вероятностного эксперимента. Приведём простейшие следствия из аксиом, считая все рассматриваемые события принадлежащими полю F.

Следствие 1. .

Доказательство. События А и несовместны, поэтому из аксиомы сложения имеем . Поскольку , то из аксиомы 2 получим .

Следствие 2. .

Доказательство. Из аксиомы 1 имеем , а из следствия 1 имеем , поэтому .

Следствие 3. .

Доказательство. События  и  противоположны, поэтому из следствия 1 имеем . Из аксиомы 2 находим .

Следствие 4. Если , то и .

Доказательство. Из включения следует, что событие В есть сумма несовместных событий А и , откуда в силу аксиомы сложения получим , т.е. . Но из аксиомы 1 имеем , поэтому .

Аксиомы и следствия из них определяют общие свойства вероятности как числовой функции множеств и справедливы для каждого из её определений, рассмотренных ранее. В случае конечного или счётного пространства  в качестве поля событий F обычно рассматривается множество всех подмножеств . Если же  несчётно, то задание вероятностной меры на множестве всех подмножеств становится невозможным и в качестве поля приходится брать некоторый класс подмножеств.