1.8. Формула полной вероятности. Формула Байеса

Пусть – вероятностное пространство некоторого испытания, а события попарно несовместны и образуют полную группу, причём , . Тогда вероятность произвольного события вычисляется по формуле полной вероятности

.

События принято называть гипотезами.

Вывод формулы. События попарно несовместны и образуют полную группу, поэтому событие А является суммой попарно несовместных событий . В силу аксиомы сложения

,

а из формулы умножения вероятностей для двух событий имеем , , откуда .

Условная вероятность гипотезы ( ) относительно события А вычисляется по формуле Байеса

,

где .

Вывод формулы. Из формулы умножения вероятностей имеем , откуда

,

где вычисляется по формуле полной вероятности.

Вероятность называется априорной (доопытной) вероятностью гипотезы , а – апостериорной (послеопытной) вероятностью этой гипотезы. Формула Байеса позволяет переоценивать вероятности гипотез после проведения испытания, в результате которого произошло событие А.

1.9. Вычисление вероятностей событий с помощью биномиальной и полиномиальной формул

Пусть некоторое случайное событие А в испытании происходит с вероятностью р и не происходит с вероятностью . Тогда вероятность того, что при n независимых повторениях испытания в одинаковых условиях событие А произойдёт ровно m раз ( ), вычисляется по формуле .

Вывод формулы. Пусть – событие, состоящее в появлении, а – в непоявлении события А в i-м испытании. Рассмотрим событие В, состоящее в том, что при n повторениях испытания событие А произошло ровно m раз. Очевидно, , где

, , ... ,

и . События попарно несовместны и каждое из них является произведением каких-нибудь m событий и событий . События-сомножители являются независимыми, т.к. испытания проводятся независимо друг от друга.

Испытания проводятся в одинаковых условиях, поэтому вероятность события А не меняется, т.е. , , , а значит, из теоремы умножения вероятностей для независимых событий имеем

, , где и .

В силу попарной несовместности событий и аксиомы сложения , т.е. .

Рассмотренная схема повторных независимых испытаний называется схемой Бернулли или биномиальной схемой, а полученная формула для вероятности – формулой Бернулли или биномиальной формулой. Появление рассматриваемого события А при повторных независимых испытаниях принято называть успехом, а непоявление – неудачей.

Пусть, далее, – попарно несовместные события, образующие полную группу, и известны вероятности , . Из аксиом 2 и 3 следует, что . Тогда вероятность того, что в серии из n независимых испытаний событие произойдёт раз, – раз, … , – раз, определяется с помощью полиномиальной формулы

,

где . Данная вероятностная схема называется полиномиальной и представляет собой обобщение биномиальной схемы.

2. Случайные величины

2.1. Понятие случайной величины и её закона распределения. Дискретные и непрерывные величины

Исходами многих экспериментов являются события, связанные с появлением некоторых чисел, при этом в результате опыта каждый раз появляется одно и только одно числовое значение, заранее неизвестное. Примерами таких событий служат выпадение определённого числа гербов при пяти бросаниях монеты, определённое число выстрелов до первого попадания в цель, определённое время безотказной работы радиолампы, определённая масса взятого наугад зерна пшеницы. Подобные примеры приводят к математическому понятию случайной величины.

Пусть – вероятностное пространство некоторого испытания. Случайной величиной (СВ) называется функция , которая каждому элементарному событию ставит в соответствие определённое числовое значение , причём для любого события и принадлежат полю F.

Значение , соответствующее конкретному элементарному событию , называется реализацией СВ. Совокупность всех реализаций называется множеством возможных значений СВ. Случайные величины обозначаются буквами и т.д.

Под законом распределения СВ Х понимается любое правило (таблица, функция, график), позволяющее найти вероятность события для произвольного . Из определения CВ Х и свойств поля F следует, что при любых ( ) определены вероятности событий , , , , , , и т.д.

Случайная величина Х называется дискретной, если множество её возможных значений конечно или счётно, причём вероятность появления каждого отдельного значения отлична от нуля.

Случайная величина Х называется непрерывной, если множество её возможных значений – конечный или бесконечный промежуток числовой прямой, причём вероятность появления каждого отдельного значения равна нулю.

На практике встречаются также случайные величины, множество возможных значений которых – конечный или бесконечный промежуток числовой прямой, но вероятности появления некоторых значений отличны от нуля. Такие СВ называют величинами смешанного типа.