1.6. Условная вероятность. Независимость событий. Теорема умножения вероятностей
Пусть некоторое испытание повторяется
n раз, при этом событие А появляется
в
повторениях, событие В – в
повторениях, а их произведение АВ
– в
повторениях. Тогда частоты событий А,
В и
выражаются отношениями
,
и
.
Обозначим через
частоту события А в тех испытаниях,
где появляется событие В, а через
– вероятность события А, вычисленную
при условии появления события В.
Поскольку
,
то естественно положить
.
Значение
характеризует среднюю долю совместного
появления событий А и В в тех
повторениях испытания, где происходит
событие В.
Пусть
– вероятностное пространство некоторого
испытания и
,
при этом
.
Тогда величина
,
определяемая приведённым равенством,
называется условной вероятностью
события А относительно события В.
Если
и
,
то поменяв местами события А и В,
получим равенство
,
в котором
– условная вероятность события В
относительно события А. Из выражений
для
и
следует, что при
и
имеет место
.
(1)
Равенства (1) представляют собой формулу умножения вероятностей для двух событий А и В.
События А и В называются
независимыми, если
.
В противном случае они называются
зависимыми. Из равенств (1) следует, что
для независимых событий А и В
при
и
имеет место
и
.
Понятие независимости обобщается на
случай произвольного числа событий:
называются независимыми, если для любого
набора индексов
(
)
имеет место
.
Теорема. Вероятность произведения событий вычисляется по формуле
.
(2)
Если события независимы, то
.
(3)
Доказательство. Справедливость
формулы (2) при
следует из равенств (1). Для
равенство (2) доказывается методом
математической индукции. Возьмём
произвольное целое
и предположим, что при
это равенство выполняется. Покажем, что
отсюда следует его выполнение при
.
Обозначим
,
тогда
.
Для произведения двух событий имеем
,
поэтому
.
В силу сделанного предположения, правая часть равна
.
Таким образом, из выполнения равенства (2) при следует его выполнение при , а значит, в силу произвольности k, оно справедливо при любом n. Справедливость формулы (3) вытекает из определения независимости событий.
Приведённая теорема называется теоремой умножения вероятностей, а формула (2) – формулой умножения вероятностей для n событий.
1.7. Теорема сложения вероятностей
Теорема. Пусть – вероятностное пространство некоторого испытания и . Тогда вероятность суммы событий А и В вычисляется по формуле
.
(1)
Для произвольных событий справедливо неравенство
.
(2)
Доказательство. Событие
есть сумма попарно несовместных событий
,
и
,
а значит, в силу аксиомы сложения
.
(3)
Поскольку событие А есть сумма несовместных событий и , а событие В есть сумма несовместных событий и , то
,
.
Подставляя полученные выражения в (3), получим равенство (1).
Справедливость неравенства (2) при
следует из равенства (1) и неотрицательности
.
Для произвольного целого
это неравенство доказывается методом
математической индукции. Предположим,
что при
это неравенство выполняется. Покажем,
что отсюда следует его выполнение при
.
Обозначим
,
тогда
.
Для суммы двух событий имеем
,
поэтому
.
В силу сделанного предположения, правая
часть не больше, чем
.
Таким образом, при произвольном k
из справедливости соотношения (2) при
следует его справедливость при
,
а значит, неравенство (2) выполняется
при любом n.
Равенство (1) называется формулой сложения вероятностей для двух событий А и В. Эта формула обобщается на случай произвольного числа событий. Для трёх событий А, В и С она записывается в виде
,
для n событий – в виде
.
Если события попарно несовместны, то в силу аксиомы сложения неравенство (2) обращается в равенство.