- •Рекомендуемая литература
- •Теория вероятностей
- •1. Случайные события
- •1.1. Событие и эксперимент. Соотношения между событиями. Пространство элементарных событий
- •1.2. Частота события. Статистическое определение вероятности
- •1.3. Классическое определение вероятности
- •1.4. Геометрическое определение вероятности
- •1.5. Аксиомы теории вероятностей. Основные следствия из аксиом
- •1.6. Условная вероятность. Независимость событий. Теорема умножения вероятностей
- •1.7. Теорема сложения вероятностей
- •1.8. Формула полной вероятности. Формула Байеса
- •1.9. Вычисление вероятностей событий с помощью биномиальной и полиномиальной формул
- •2. Случайные величины
- •2.1. Понятие случайной величины и её закона распределения. Дискретные и непрерывные величины
- •2.2. Ряд и многоугольник распределения дискретной св
- •2.3. Функция распределения св и её свойства
- •2.4. Плотность распределения непрерывной св и её свойства
- •2.5. Математическое ожидание, мода и квантили св
- •2.6. Моменты, дисперсия и среднее квадратическое отклонение св
- •2.7. Биномиальное распределение
- •2.8. Распределение Пуассона
- •2.9. Геометрическое распределение
- •2.10. Равномерное распределение
- •2.11. Показательное распределение
- •2.12. Одномерное нормальное распределение
Рекомендуемая литература
1. Вентцель Е.С. Теория вероятностей.
2. Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика: Уч. пособие.
3. Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике.
4. Данилаев П.Г. Математическая статистика с основами теории вероятностей. Казань: КГТУ, 1995.
5. Кожевников Ю.В. Теория вероятностей и математическая статистика. М.: Машиностроение, 2002.
6. Письменный Д.Т. Конспект лекций по теории вероятностей, математической статистике и случайным процессам.
Теория вероятностей
Теория вероятностей – это раздел прикладной математики, изучающий закономерности случайных явлений, т.е. таких явлений, которые при многократном повторении в одинаковых условиях могут протекать по-разному. Методы теории вероятностей широко применяются в теории информации, теории надёжности, теории массового обслуживания, теории автоматического управления, а также при планировании и организации производства, анализе технологических процессов, контроле качества продукции и во многих других областях человеческой деятельности.
1. Случайные события
1.1. Событие и эксперимент. Соотношения между событиями. Пространство элементарных событий
Под событием понимается любой факт, который может произойти или не произойти. Примеры событий: появление герба при бросании монеты, появление трёх гербов при пяти бросаниях монеты, попадание в мишень при выстреле, отказ изделия при испытании на надёжность.
Эксперимент (испытание, опыт) – это воспроизведение определённой совокупности событий и наблюдение результатов этого воспроизведения. Воспроизводимые события называются условиями эксперимента (испытания, опыта), а те события, которые появляются или не появляются в результате воспроизведения условий – исходами. Примеры экспериментов: бросание монеты, выстрел по мишени, испытание изделия.
Событие называется достоверным, если в результате эксперимента оно всегда происходит. Событие называется невозможным, если в результате эксперимента оно никогда не происходит. Достоверное событие будем обозначать знаком , невозможное – знаком .
Событие называется случайным, если в результате эксперимента оно иногда происходит, а иногда не происходит. Случайные события обозначаются буквами и т.д.
Если при каждом наступлении события А наступает и событие В, то говорят, что А – частный случай В (А влечёт за собой В, А благоприятствует В). Используются обозначения и .
События А и В называются равными (равносильными, эквивалентными), если одно из них происходит тогда и только тогда, когда происходит другое. Используется обозначение . При математическом описании случайных явлений равные события не различаются.
Событие, состоящее в совместном наступлении событий А и В, называется произведением событий А и В и обозначается или .
Событие, состоящее в наступлении хотя бы одного из событий А и В, называется суммой событий А и В и обозначается или .
Понятия произведения и суммы обобщаются на случай произвольного конечного или счётного числа событий. Для произведения n событий используются обозначения и , для суммы – обозначения и .
Событие, состоящее в том, что в результате опыта событие А происходит, а событие В не происходит, называется разностью событий А и В и обозначается или .
События А и В называются несовместными, если их совместное появление в опыте невозможно, т.е. . События называются попарно несовместными, если несовместны любые два из них.
Говорят, что события образуют полную группу, если в результате опыта всегда появляется хотя бы одно из них, т.е. .
Событие , состоящее в том, что событие А в опыте не происходит, называется противоположным событию А.
Практика показывает, что из совокупности всех возможных исходов испытания можно выделить такое множество событий, называемых элементарными, что при каждом повторении опыта появляется одно и только из них, а произвольное событие А в опыте происходит тогда и только тогда, когда наступает элементарное событие из некоторого подмножества . Множество будем называть пространством элементарных событий испытания. В зависимости от характера эксперимента оно может содержать конечное или бесконечное число элементов. Поскольку каждое подмножество однозначно определяется своими элементами, то между всеми возможными исходами испытания и всеми подмножествами существует взаимнооднозначное соответствие.
Пусть А и В – возможные исходы испытания, а и – соответствующие подмножества. Тогда из определений произведения, суммы и разности событий следует, что событиям , и будут соответствовать подмножества , и . Из определения частного случая события следует, что в том и только в том случае, если . Подмножество, соответствующее достоверному (невозможному) событию, совпадает с пространством (с пустым множеством ).
, , , .