4. Решение уравнения методом Ньютона
В программе Office Excel был реализован алгоритм метода хорд, изображенный на данной блок-схеме:
За начальное приближение принято значение 2, т.к. оно удовлетворяет поставленным в блок-схеме условиям.
Вычисления и итоги:
|
|
|
|
|
Итерации |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Номер |
x |
Δ |
|
|
0 |
2 |
- |
- |
- |
1 |
1,375 |
-0,625 |
10 |
16 |
2 |
1,157916 |
-0,21708 |
2,099609 |
9,671875 |
3 |
1,13496 |
-0,02296 |
0,184162 |
8,022308 |
4 |
1,134728 |
-0,00023 |
0,001819 |
7,864401 |
|
|
|
|
|
|
Решение |
1,134728 |
|
|
|
Точность |
0,001 |
|
|
Видим, что при использовании метода Ньютона достаточно точный результат достигается за малое число итераций, следовательно он является самым эффективным алгоритмом для решения уравнений, подобных данному.
Чтобы рассмотреть принцип, по которому строилась таблица, рассмотрим первую итерацию. Этого будет достаточно, чтобы понять принцип по которому строилась таблица:
Шаги создания таблицы:
1) Сначала заполняется первая строчка. Это – названия столбцов.
2) Заполняем столбец A порядковыми номерами строк, начиная с нулевой.
3) В ячейке B2 содержится число, принятое начальным приближением. В данном случае это число 2, т.к удовлетворяет требованиям метода (cм. выше).
4) Ячейки C2 D2 E2 остаются незадействованными.
5)В ячейке D3 содержится значение функции от предыдущего приближения.(В данном случае от B2), а в ячейке E3 – значение производной функции от предыдущего приближения
6) В ячейку B3 заносится значение выражения
Оно в данном случае равно:
7) В ячейке C3 содержится число, являющееся разницей между текущим значением x и предыдущем, это число равно:
|B3-B2|=|1,375-2|=0,625. Это – точность решения.
8)Далее, значения всех пяти ячеек продляются ниже, пока разность не станет меньше заданного значения точности.
НИЖЕГОРОДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ
ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ
им. Р.Е. Алексеева