3. Решение нелинейного уравнения методом простых итераций
В программе Office Excel был реализован алгоритм метода хорд, изображенный на данной блок-схеме:
Уравнение
было
преобразовано х виду
.
Начальное приближение
примем равным
.
Следовательно F(x) – сжимающее отображение, его можно использовать для решения уравнения методом простых итераций
Ниже приведены результаты вычислений организованных в соответствии с данным алгоритмом:
Начало Продолжение
|
|
|
|
|
|
Итерации |
x(n) |
Δ |
0 |
1 |
- |
1 |
1,25 |
0,25 |
2 |
1,011719 |
0,238281 |
3 |
1,241108 |
0,229389 |
4 |
1,022066 |
0,219042 |
5 |
1,233083 |
0,211017 |
6 |
1,031276 |
0,201807 |
7 |
1,225801 |
0,194525 |
8 |
1,039531 |
0,18627 |
9 |
1,219164 |
0,179633 |
10 |
1,04697 |
0,172194 |
11 |
1,213092 |
0,166121 |
12 |
1,053706 |
0,159386 |
13 |
1,207518 |
0,153812 |
14 |
1,059829 |
0,147689 |
15 |
1,20239 |
0,142561 |
16 |
1,065414 |
0,136976 |
17 |
1,197661 |
0,132247 |
18 |
1,070522 |
0,127139 |
19 |
1,193291 |
0,122769 |
20 |
1,075205 |
0,118086 |
21 |
1,189248 |
0,114043 |
22 |
1,079509 |
0,109739 |
23 |
1,185502 |
0,105993 |
24 |
1,08347 |
0,102032 |
25 |
1,182027 |
0,098557 |
26 |
1,087122 |
0,094905 |
27 |
1,178801 |
0,091679 |
28 |
1,090493 |
0,088308 |
29 |
1,175803 |
0,08531 |
30 |
1,093609 |
0,082194 |
31 |
1,173016 |
0,079407 |
32 |
1,096492 |
0,076524 |
33 |
1,170423 |
0,073931 |
34 |
1,099162 |
0,071261 |
35 |
1,16801 |
0,068848 |
36 |
1,101637 |
0,066373 |
37 |
1,165763 |
0,064126 |
38 |
1,103931 |
0,061831 |
39 |
1,163669 |
0,059738 |
40 |
1,106061 |
0,057608 |
41 |
1,161719 |
0,055658 |
42 |
1,108038 |
0,053681 |
43 |
1,159902 |
0,051863 |
44 |
1,109875 |
0,050027 |
45 |
1,158208 |
0,048332 |
46 |
1,111582 |
0,046625 |
47 |
1,156628 |
0,045046 |
48 |
1,113169 |
0,043459 |
49 |
1,155156 |
0,041987 |
50 |
1,114645 |
0,040511 |
51 |
1,153782 |
0,039138 |
52 |
1,116017 |
0,037765 |
53 |
1,152502 |
0,036484 |
54 |
1,117295 |
0,035207 |
55 |
1,151307 |
0,034012 |
56 |
1,118483 |
0,032824 |
57 |
1,150193 |
0,03171 |
58 |
1,11959 |
0,030603 |
59 |
1,149154 |
0,029564 |
60 |
1,12062 |
0,028534 |
61 |
1,148184 |
0,027564 |
62 |
1,121579 |
0,026605 |
63 |
1,14728 |
0,025701 |
64 |
1,122473 |
0,024807 |
65 |
1,146437 |
0,023964 |
66 |
1,123305 |
0,023132 |
67 |
1,14565 |
0,022345 |
68 |
1,12408 |
0,02157 |
69 |
1,144916 |
0,020836 |
70 |
1,124802 |
0,020114 |
71 |
1,144231 |
0,019429 |
72 |
1,125475 |
0,018756 |
73 |
1,143592 |
0,018117 |
74 |
1,126102 |
0,01749 |
75 |
1,142996 |
0,016894 |
76 |
1,126686 |
0,01631 |
77 |
1,14244 |
0,015754 |
78 |
1,127231 |
0,01521 |
79 |
1,141922 |
0,014691 |
80 |
1,127738 |
0,014184 |
81 |
1,141438 |
0,0137 |
82 |
1,128211 |
0,013227 |
83 |
1,140986 |
0,012776 |
84 |
1,128652 |
0,012335 |
85 |
1,140565 |
0,011914 |
86 |
1,129063 |
0,011503 |
87 |
1,140173 |
0,01111 |
88 |
1,129446 |
0,010727 |
89 |
1,139806 |
0,010361 |
90 |
1,129803 |
0,010004 |
91 |
1,139465 |
0,009662 |
|
|
|
|
Решение |
1,139465 |
|
Точность |
0,01 |
Примечание:
Число итераций оказалось слишком большим, поэтому точность была понижена.
Чтобы рассмотреть принцип, по которому строилась таблица, рассмотрим первую итерацию. Этого будет достаточно, чтобы понять принцип по которому строилась таблица:
Шаги создания таблицы:
1) С начала заполняется первая строчка. Это – названия столбцов.
2) Заполняем столбец A порядковыми номерами строк, начиная с нулевой.
3) В ячейке B2 содержится число, принятое начальным приближением. В данном случае это число 1.
4) в ячейке B3 содержится значение сжимающей функции при аргументе, равном предыдущему значению х.
В данном случае
B3=
.
5) В ячейке C3 содержится число, являющееся разницей между текущим значением x и предыдущем, это число равно:
|B3-B2|=|1,25-1|=0,25. Это – точность решения.
6)Далее, значения всех трех ячеек продляются ниже, пока разность не станет меньше заданного значения точности.