Задание: найти корень уравнения
следующими
способами:
-Метод половинного деления
-Метод хорд
-Метод простых итераций
-Метод Ньютона
График функции
:
1. Решение нелинейного уравнения методом бисекций
В программе Office Excel был реализован алгоритм метода бисекций, изображенный на данной блок-схеме:
При выполнении итераций c выбором начального интервала [0;5], ε=0,001 были получены следующие итоги:
Итерации |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Номер |
a |
b |
c |
f(a) |
f(b) |
f( c ) |
b-a |
0 |
0 |
5 |
2,5 |
-6 |
139 |
19,625 |
5 |
1 |
0 |
2,5 |
1,25 |
-6 |
19,625 |
0,953125 |
2,5 |
2 |
0 |
1,25 |
0,625 |
-6 |
0,953125 |
-3,25586 |
1,25 |
3 |
0,625 |
1,25 |
0,9375 |
-3,25586 |
0,953125 |
-1,42603 |
0,625 |
4 |
0,9375 |
1,25 |
1,09375 |
-1,42603 |
0,953125 |
-0,31656 |
0,3125 |
5 |
1,09375 |
1,25 |
1,171875 |
-0,31656 |
0,953125 |
0,296825 |
0,15625 |
6 |
1,09375 |
1,171875 |
1,132813 |
-0,31656 |
0,296825 |
-0,01505 |
0,078125 |
7 |
1,132813 |
1,171875 |
1,152344 |
-0,01505 |
0,296825 |
0,139568 |
0,039063 |
8 |
1,132813 |
1,152344 |
1,142578 |
-0,01505 |
0,139568 |
0,061931 |
0,019531 |
9 |
1,132813 |
1,142578 |
1,137695 |
-0,01505 |
0,061931 |
0,023358 |
0,009766 |
10 |
1,132813 |
1,137695 |
1,135254 |
-0,01505 |
0,023358 |
0,004132 |
0,004883 |
11 |
1,132813 |
1,135254 |
1,134033 |
-0,01505 |
0,004132 |
-0,00546 |
0,002441 |
12 |
1,134033 |
1,135254 |
1,134644 |
-0,00546 |
0,004132 |
-0,00067 |
0,001221 |
13 |
1,134644 |
1,135254 |
1,134949 |
-0,00067 |
0,004132 |
0,001732 |
0,00061 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение |
1,134949 |
|
|
|
|
|
|
Точность |
0,001 |
|
|
|
Чтобы рассмотреть принцип, по которому строилась таблица, рассмотрим первую итерацию. Этого будет достаточно, чтобы понять принцип по которому строилась таблица:
Шаги создания таблицы:
1) Заполнение первой строчки названиями столбцов
2) Постановление первого порядкового номера равным нулю (A2=0)
3) В ячейках B2 и C2 содержатся значения, описывающие интервал, найденный до построения таблицы(см. выше).
4) В ячейке D2 содержится равно среднеарифметическому из ячеек B2 и С2.
5) В ячейках E2, F2, G2 содержатся значения функций при аргументе равном значениям в ячейках B2, C2 и D2 соответственно.
6) в ячейке H1 – разница между значениями a и b текущей итерации. Это значение играет роль точности
7) В ячейке B3 содержится условие: если произведение значений функций при аргументах, равных значениям a и с из предыдущей итерации, то значение этой ячейки равно значению a из предыдущей итерации, в противном случае- значению с из предыдущей итерации
8) В ячейке С3 содержится условие: если произведение значений функций при аргументах, равных значениям a и с из предыдущей итерации, то значение этой ячейки равно значению с из предыдущей итерации, в противном случае- значению b из предыдущей итерации
9) Значения остальных ячеек продляются из второй строчки
10) Строки продляются до тех пор, пока значение точности (столб H) не станет меньше установленного заранее значения