- •Матрицы, определители, системы лин. Уравнений
- •1.Матрицы и операции над ними: сложение, умножение на скаляр, произведение матриц. Свойства этих операций.
- •2.Определители произвольного порядка и их свойства. Теорема о разложении определителя по элементам строки (столбца) и следствия из нее. Необходимое и достаточное условие обращения в ноль определителя.
- •Следствие 2 (фальшивое разложение определителя)
- •3.Произвольные системы линейных уравнений. Метод Гаусса. Квадратные системы с невырожденным определителем. Формулы Крамера.
- •Векторная алгебра
- •4. Векторы. Простейшие операции над ними и их свойства. Линейная комбинация и линейная зависимость системы векторов.
- •Скалярное произведение двух векторов, его свойства и вычисление его в координатах. Применение скалярного произведения в геометрии и механике.
- •Аналитическая геометрия
- •Аффинная и декартова система координат на плоскости и в пространстве.
- •Уравнения фигуры. Основные теоремы об уравнениях и о фигурах, определяемых ими. Порядок алгебраической фигуры.
Скалярное произведение двух векторов, его свойства и вычисление его в координатах. Применение скалярного произведения в геометрии и механике.
Скаля́рное произведе́ние — операция над двумя векторами, результатом которой является число (скаляр), не зависящее от системы координат и характеризующее длины векторов-сомножителей и угол между ними. Данной операции соответствует умножение длины данного вектора x на проекцию другого вектора y на данный вектор x. Скалярное произведение обладает переместительным свойством: ab=ba
Векторы и заданы своими координатами: , ,то их скалярное произведение может быть вычислено по формуле .
Отсюда следует необходимое и достаточное условие перпендикулярности двух векторов .Угол между векторами , ,дается формулой , или в координатах .
|
Любые геометрические вычисления (как собственно в математике, так и в приложениях), связанные с длинами, углами, проецированием, ортогональностью. В механике, наиболее характерным применением скалярного произведения является вычисление работы.
Правые и левые базисы на плоскости и в пространстве. Векторное произведение двух векторов и смешанное произведение трех векторов в ориентированном пространстве, их свойства. Вычисление в ортонормированном базисе векторного произведения двух векторов и смешанного произведения трех векторов. Их применения.
В пространстве различают правые и левые тройки векторов. Тройка некомпланарных векторов наз. правой, если наблюдателю из их общего начала обход концов векторов в указанном порядке кажется совершающимся по часовой стрелке. В противном случае - левая тройка. Правая (левая) тройка векторов располагается так, как могут быть расположены соответственно большой, несогнутый указательный и средний пальцы правой (левой) руки .Все правые (или левые) тройки векторов наз. одинаково ориентированными. Ниже тройка векторов базиса считается правой.
Векторным произведением вектора а на вектор b называется вектор, который:
1. Перпендикулярен векторам a и b, т. е. с^а и с^b; 2. Имеет длину, численно равную площади параллелограмма, построенного на векторах а и b как на сторонах, т. е. 3.Векторы a, b и с образуют правую тройку.
Свойства векторного произведения
1. При перестановке сомножителей векторное произведение меняет знак, т.е. а хb =(b хa ) Векторы ахb и b ха коллинеарны, имеют одинаковые модули (площадь параллелограмма остается неизменной), но противоположно направлены (тройки а , b , а хb и a , b , bxa противоположной ориентации). Стало быть axb = -(bxa ).
2. Векторное произведение обладает сочетательным свойством относительно скалярного множителя, т. е. l(а хb ) = (lа ) х b = а х (lb ). Модуль векторного произведения равняется площади параллелограмма, построенного на приведённых к общему началу векторах и
Если — единичный вектор, ортогональный векторам и и выбранный так, что тройка — правая, а — площадь параллелограмма, построенного на них (приведённых к общему началу), то для векторного произведения справедлива формула:
Если — какой-нибудь вектор, — любая плоскость, содержащая этот вектор, — единичный вектор, лежащий в плоскости и ортогональный к , — единичный вектор, ортогональный к плоскости и направленный так, что тройка векторов является правой, то для любого лежащего в плоскости вектора справедлива формула
При использовании векторного и скалярного произведений можно высчитать объём параллелепипеда, построенного на приведённых к общему началу векторах a, b и c (см. Рисунок 2). Такое произведение трех векторов называется смешанным.
Сме́шанное произведе́ние векторов — скалярное произведение вектора ( умножение длины данного вектора x на проекцию другого вектора y на данный вектор x) на векторное произведениевекторов и :
.
Иногда его называют тройным скалярным произведением векторов, по всей видимости из-за того, что результатом является скаляр (точнее — псевдоскаляр).Смешанное произведение кососимметрично по отношению ко всем своим аргументам:
т. е. перестановка любых двух сомножителей меняет знак произведения. Отсюда следует, что
Смешанное произведение в правой декартовой системе координат (в ортонормированном базисе) равноопределителю матрицы, составленной из векторов и :
Смешанное произведение в левой декартовой системе координат (в ортонормированном базисе) равноопределителю матрицы, составленной из векторов и , взятому со знаком "минус":
В частности Если любые два вектора параллельны, то с любым третьим вектором они образуют смешанное произведение равное нулю. Если три вектора линейно зависимы (т. е. компланарны, лежат в одной плоскости), то их смешанное произведение равно нулю. Геометрический смысл — Смешанное произведение по абсолютному значению равно объёму параллелепипеда(см. рисунок), образованного векторами и ; знак зависит от того, является ли эта тройка векторов правой или левой.
Тройно́е ве́кторное произведе́ние (другое название: двойное векторное произведение) векторов —векторное произведение вектора на векторное произведение векторов и
Базис называется ортонормированным, если его векторы попарно ортогональны и равны единице.