Задача 4. Многокритериальный выбор альтернатив на основе нечеткого отношения предпочтения

Рассмотрим метод принятия решений, предполагающий построение множества недоминируемых альтернатив на основе нечеткого предпочтения.

Постановка задачи в краткой форме представляется следующим образом. Пусть задано множество альтернатив А и каждая альтернатива характеризуется несколькими критериями качества с номерами j =1, …, ,m. Информация о попарном сравнении альтернатив по каждому критерию качества l представлена в форме отношения предпочтения Rj. Таким образом, имеется т отношений предпочтения Rj на множестве А. Требуется выбрать лучшую альтернативу из множества {A, Ri,...,R_m}.

Метод многокритериального выбора альтернатив на основе нечеткого отношения предпочтения построен на ряде определений.

Определение 1. Нечетким отношением R на множестве А называется нечеткое подмножество декартова произведения А x А, характеризующееся функцией принадлежности : А х А [0,1]. Значение (а, b) этой функции понимается как степень выполнения отношения а b.

Определение 2. Нечетким отношением предпочтения на A называется любое заданное на этом множестве рефлексивное нечеткое отношение, функция принадлежности которого вычисляется следующим образом:

Определение 3. Пусть А — множество альтернатив и — заданное на нем нечеткое отношение предпочтения. Нечеткое подмножество недоминируемых альтернатив множества (А, ) описывается функцией принадлежности:

Определение 4. Четко недоминируемыми называются альтернативы, для которых (а) = 1, а множество таких альтернатив

Определение 5. Носителем нечеткого множества В с функцией принадлежности является множество {а | а А, (а) > 0}.

Процедура решения задачи выбора выполняется в несколько шагов.

1. Строится нечеткое отношение Q₁, которое является пересечением исходных отношений предпочтения:

и определяется нечеткое подмножество недоминируемых альтернатив в множестве (А, ):

2. Строится нечеткое отношение Q₂:

и определяется нечеткое подмножество недоминируемых альтернатив в множестве (A, ):

Данная функция упорядочивает альтернативы по степени их недоминируемости. Числа w,- в приведенной выше свертке представляют собой коэффициенты относительной важности рассматриваемых критериев, для которых выполняются следующие условия:

3. Отыскивается пересечение множеств и :

4. Рациональным считается выбор альтернатив из множества

Наиболее рациональной альтернативой из множества А^т является та, которая имеет максимальную степень недоминируемости.

Выбор конкурентоспособного товара методом нечеткого отношения предпочтения.

Под конкурентоспособностью понимают комплекс потребительских, стоимостных и социальных характеристик товара (изделия), определяющих его успех на данном рынке, т.е. способность данного товара быть обмененным на деньги на конкретном рынке в условиях широкого предложения к обмену других конкурирующих товаров-аналогов. Конкурентоспособность – это степень соответствия совокупности свойств объекта ценностной системе рынка. Границы понятия конкурентоспособность непрерывно расширяются, переходя от конкурентоспособности изделия к конкурентоспособности предприятий и даже государств. Конкурентоспособность обеспечивается высокими технологическим уровнем и качеством, соответствием требованиям и стандартам стран-импортеров, фирм-покупателей, высоким уровнем технологического обслуживания, патентной чистотой и патентной защитой, приемлемой ценой, льготными условиями платежа и т.д.

Проанализируем ряд виброзащитных технологий для выявления наиболее конкурентоспособной на определенном международном рынке.

Защита современных транспортных систем, в частности автомобилей, от механических динамических воздействий обеспечивается виброизоляторами. Виброизоляторы являются комплектующими элементами, которые закупаются на рынке фирмами – производителями автомобилей. Разновидностей виброизоляторов достаточно много. Поэтому перед фирмами-изготовителями, с одной стороны, и фирмами-покупателями – с другой, возникает проблема выбора наиболее рациональных элементов для производства и эксплуатации.

Задачу выбора рационального виброизолятора с учетом наиболее важных критериев качества рассмотрим на примере анализа четырех альтернатив: а₁ – пневматического виброизолятора; а₂ – металлического торсионного элемента, работающего на скручивание; а₃ – винтовой пружины; а₄ – резинового элемента.

Для оценки альтернатив используем восемь критериев качества:

F₁ – собственная частота колебаний виброизолятора (f, Гц);

F₂ – долговечность элемента (Т, лет);

F₃ – габаритный размер (h, метр);

F₄ – коэффициент передачи на резонансе (Т_Z, безразмерные единицы);

F₅ – устойчивость к механическим повреждениям (шкала экспертных оценок);

F₆ – стоимость (тыс. руб.)

F₇ – шумоизоляция (дБ)

F₈ – патентная чистота (условные единицы измерения).

На основе функций принадлежности всех альтернатив по восьми критериям определены их конкретные значения, которые представляют собой следующие нечеткие множества:

По этим данным составлены матрицы нечетких отношений предпочтения R₁, …, R₈.

F1 a1 a2 a3 a4 a1 1 0 0,15 0,25 a2 0 1 0,15 0,25 a3 0 0 1 0,1 a4 0 0 0 1

F2 a1 a2 a3 a4 a1 1 0 0 0,5 a2 0 1 0 0,5 a3 0 0 1 0,5 a4 0 0 0 1

F3 a1 a2 a3 a4 a1 1 0 0,8 0,9 a2 0,1 1 0,9 1,0 a3 0 0 1 0,1 a4 0 0 0 1

F4 a1 a2 a3 a4 a1 1 0,65 0,65 0,15 a2 0 1 0 0 a3 0 0 1 0 a4 0 0,5 0,5 1

F5 a1 a2 a3 a4 a1 1 0 0 0 a2 0,85 1 0 0,25 a3 0,85 0 1 0,25 a4 0,6 0 0 1

F6 a1 a2 a3 a4 a1 1 0,05 0 0 a2 0 1 0 0 a3 0,5 0,55 1 0 a4 0,65 0,7 0,15 1

F7 a1 a2 a3 a4 a1 1 0,7 0,85 0,2 a2 0 1 0,15 0 a3 0 0 1 0 a4 0 0,5 0,65 1

F8 a1 a2 a3 a4 a1 1 0,25 0,25 0,25 a2 0 1 0 0 a3 0 0 1 0 a4 0 0 0 1

Задача выбора решается в соответствии с описанной выше процедурой.

1. Строим нечеткое отношение :

		a1	a2	a3	a4
	a1	1	0	0	0
	a2	0	1	0	0
	a3	0	0	1	0
	a4	0	0	0	1

Находим подмножество недоминируемых альтернатив на множестве :

по всем i и j (i j):

a1	a2	a3	a4
1	1	1	1	.

Таким образом,

2. Строим отношение Q₂:

Коэффициенты w_k относительной важности критериев имеют следующие значения:

w₁ = 0,23, w₂ = 0,09, w₃ = 0,04, w₄ = 0,23, w₅ = 0,04, w₆ = 0,09, w₇ = 0,23, w₈ = 0,04.

Определяем нечеткое отношение Q₂:

		a1	a2	a3	a4
	a1	1	0,325	0,427	0,229
	a2	0,038	1	0,105	0,152
	a3	0,079	0,05	1	0,082
	a4	0,082	0,293	0,278	1

Находим подмножество недоминируемых альтернатив множества :

по всем i и j (i j):

a1	a2	a3	a4
1,0	0,712	0,652	0,854	.

3. Результирующее множество недоминируемых альтернатив есть пересечение множеств и

{(1 1 1 1) (1,0 0,712 0,652 0,854)} =

= {(1,0 0,712 0,652 0,854)}.

4. Следовательно, рациональным следует считать выбор альтернативы a₁, имеющей максимальную степень недоминируемости.