- •Тема 1. Задачи, приводящие к уравнениям различных типов.
- •Тема 3. Метод разделения переменных для решения краевых задач.
- •Тема 1. Задачи, приводящие к уравнениям различных типов.
- •Тема 3. Метод разделения переменных для решения краевых задач.
- •Тема 1. Задачи, приводящие к уравнениям различных типов.
- •Тема 3. Метод разделения переменных для решения краевых задач.
- •Тема 1. Задачи, приводящие к уравнениям различных типов.
- •Тема 3. Метод разделения переменных для решения краевых задач.
- •Билет №5
- •Тема 1. Задачи, приводящие к уравнениям различных типов.
- •Тема 3. Метод разделения переменных для решения краевых задач.
- •Тема 2. Решения задачи Коши для волнового уравнения.
- •Тема 5. Метод функций Грина решения краевых задач для уравнений эллиптического типа.
- •Тема 1. Задачи, приводящие к уравнениям различных типов.
- •Тема 3. Метод разделения переменных для решения краевых задач.
- •Тема 2. Решения задачи Коши для волнового уравнения.
- •Тема 3. Метод разделения переменных для решения краевых задач.
- •Тема 3. Метод разделения переменных для решения краевых задач.
- •Тема 5. Метод функций Грина решения краевых задач для уравнений эллиптического типа.
- •Тема 1. Задачи, приводящие к уравнениям различных типов.
- •Тема 3. Метод разделения переменных для решения краевых задач.
- •Тема 1. Задачи, приводящие к уравнениям различных типов.
- •Тема 3. Метод разделения переменных для решения краевых задач.
- •Тема 1. Задачи, приводящие к уравнениям различных типов.
- •Тема 3. Метод разделения переменных для решения краевых задач.
- •Тема 1. Задачи, приводящие к уравнениям различных типов.
- •Тема 3. Метод разделения переменных для решения краевых задач.
- •Тема 1. Задачи, приводящие к уравнениям различных типов.
- •Тема 3. Метод разделения переменных для решения краевых задач.
- •Тема 3. Метод разделения переменных для решения краевых задач.
- •Тема 5. Метод функций Грина решения краевых задач для уравнений эллиптического типа.
- •Тема 3. Метод разделения переменных для решения краевых задач.
- •Тема 5. Метод функций Грина решения краевых задач для уравнений эллиптического типа.
- •Тема 1. Задачи, приводящие к уравнениям различных типов.
- •Тема 3. Метод разделения переменных для решения краевых задач.
- •Тема 2. Решения задачи Коши для волнового уравнения.
- •Тема 3. Метод разделения переменных для решения краевых задач.
- •Тема 3. Метод разделения переменных для решения краевых задач.
- •Тема 5. Метод функций Грина решения краевых задач для уравнений эллиптического типа.
- •Тема 1. Задачи, приводящие к уравнениям различных типов.
- •Тема 3. Метод разделения переменных для решения краевых задач.
Тема 1. Задачи, приводящие к уравнениям различных типов.
Поставить краевую задачу для напряжения v(x,t) в проводе длины l, если левый конец этого провода заземлён через сосредоточенное сопротивление R0 , правый конец заземлён непосредственно.
Решение
Из условия задачи:
Т.к. правый конец заземлен, то
А если левый конец провода заземлён через сосредоточенное сопротивление R0, , т.е.
Запишем систему телеграфных уравнений:
Из 1го уравнения получим 2е краевое условие:
Таким образом получили краевые условия 3го типа.
Тема 3. Метод разделения переменных для решения краевых задач.
Решить задачу:
,
; ;
; .
Решение
Решаем методом разделения переменных (метод Фурье): .
Второе уравнение:
БИЛЕТ 13
Тема 1. Задачи, приводящие к уравнениям различных типов.
Поставить краевую задачу для напряжения v(x,t) в проводе длины l, если левый конец этого провода заземлён через сосредоточенное сопротивление R0 , правый конец заземлён непосредственно.
Из условия задачи:
Т.к. правый конец заземлен, то
А если левый конец провода заземлён через сосредоточенное сопротивление R0, , т.е.
Запишем систему телеграфных уравнений:
Из 1го уравнения получим 2е краевое условие:
Таким образом получили краевые условия 3го типа.
Тема 3. Метод разделения переменных для решения краевых задач.
Найти закон распределения температуры внутри теплоизолированного стержня длиной l=8, если начальное распределение температуры задано:
Решение
Имеем уравнение теплопроводности и краевые условия первого типа:
и
Данную задачу будем решать методом Фурье. Решение данной задачи представим в виде произведения: .
Подставляем, преобразуя, разделяем переменные:
, ,
Получаем
- задача Штурма–Лиувилля, где l=8.
Решение этого уравнения в общем виде
Из начальных и краевых условий:
Отсюда собственные функции (с точностью до произвольного постоянного множителя):
.
Из второго уравнения: .
Решение этого ДУ:
Тогда:
Найдем Cn из начальных условий и принципа ортогональности:
БИЛЕТ 14
Тема 1. Задачи, приводящие к уравнениям различных типов.
Найти и нарисовать область на плоскости (x,y), в которой уравнение
(y2+1)uxx+xuxy+uyy=0 имеет эллиптический тип.
Решение
Для уравнения эллиптического типа необходимо, чтобы
Найдем , известно что: , в нашем случае:
Таким образом:
Область ограничена гиперболой.
В итоге получим следующую область:
Тема 3. Метод разделения переменных для решения краевых задач.
Концы струны x = 0 и x = L закреплены жестко. Начальное отклонение задано равенством:
Начальные скорости равны нулю. Найти отклонения u(x,t) при t > 0.
Решение
Запишем математическую постановку задачи. Колебания струны можно описать уравнением , это уравнение гиперболического типа. Построим первую краевую задачу:
Решаем данную задачу методом Фурье. Решение данной функции представим в виде . Подставив в исходное уравнение, получаем задачу Штурма-Лиувилля
Общее решение задачи можно записать в виде . Подставим численные значения:
Чтобы система имела нетривиальное решение необходимо, чтобы определитель, составленный из коэффициентов при неизвестных значениях:
- собственные значения. Соответствующие им собственные функции: .
Для каждого находим ,
в нашем случае из граничных условий .
Данное выражение в силу свойства ортогональности равно 0 при всех n, кроме n=1, тогда . ,
запишем общее решение
БИЛЕТ 15