БИЛЕТ 1

Тема 1. Задачи, приводящие к уравнениям различных типов.

Найти область на плоскости, в которой уравнение (y²+1)u_xx-x(u_xy+u_yy)+y(u_x+u_y)=0 имеет гиперболический тип.

Решение

Для того, чтобы уравнение гиперболического типа необходимо, чтобы Преобразуем наше уравнение: .

Найдем , известно что: , в нашем случае:

Таким образом:

Неравенство выполняется, когда и имеют один знак.

В первом случае область ограничена прямой а во втором параболой с вершиной в точке (-4,0). Построим графики этих функций.

В итоге получим следующую область:

данное уравнение имеет гиперболический вид в заштрихованных областях, не включая линий графиков функций и .

Тема 3. Метод разделения переменных для решения краевых задач.

На концах однородного изотропного стержня длиной l поддерживается нулевая температура. Предполагая, что стенки стержня теплоизолированы от окружающей среды, найти закон распределения температуры в стержне, если известно, что в начальный момент имелось следующее распределение температуры:

, где U₀ = const.

.

Решение

Имеем уравнение теплопроводности: и краевые условия первого типа. Данную задачу будем решать методом Фурье. Решение данной задачи представим в виде произведения: .

Подставляем, преобразуя, разделяем переменные:

, ,

Получаем

- задача Штурма–Лиувилля:

Решение этого уравнения в общем виде

Из начальных и краевых условий:

Отсюда собственные функции (с точностью до произвольного постоянного множителя):

.

Из второго уравнения: .

Решение этого ДУ:

Тогда:

Найдем Cn из начальных условий и принципа ортогональности:

.

Тогда закон распределения температуры для поставленной задачи запишется в виде:

БИЛЕТ 2

Тема 1. Задачи, приводящие к уравнениям различных типов.

Найти область на плоскости в которой уравнение x³u_xx+2xyu_xy+y(1+x)u_yy-u=0 имеет эллиптический тип.

Решение

Уравнение имеет эллиптический вид, если , где

Для данного уравнения

т.к. всегда, то должно выполнятся

Запишем это неравенство как: Рассмотрим два случая,

1) Если , тогда

2) Если , тогда

Рис. искомая область.

Тема 3. Метод разделения переменных для решения краевых задач.

Однородная прямоугольная мембрана ( , ), закрепленная вдоль всего контура, лежащего в горизонтальной плоскости, и имеющая в начальный момент форму , начала колебаться с начальной скоростью . Найти закон свободных колебаний мембраны. Получить решение в случае , если натяжение мембраны Т₀ равно ее поверхностной плотности , т.е. .

Решение

Предполагая, что мембрана совершает малые колебания, запишем уравнения свободных колебаний мембраны:

, где , (1)

Имеем 1ю краевую задачу с граничными условиями

(3)

(3)

Находим решение методом Фурье:

. (4)

Подставим формулу (4) в уравнение (2), получим .

Разделив это равенство на , имеем ,

Откуда ,(5)

следовательно,

- Задача Штурма-Лиувилля

Собственные функции (с точностью до произвольного постоянного множителя):

, собственные значения , n=1,2…

Также из (5) следует

. (6)

разделим переменные:,

.

Откуда

Решение собственные значения , где k=1,2…

Из (6)

Обозначим или ; где , . (9)

Каждой паре номеров , соответствует свое решение .

Решение этого уравнения:

,

где и - произвольные постоянные.

Подставляя найденные , и в (4), получаем все возможные нетривиальные решения уравнения (1), ,

Общее решение:

(10)

Из начальных условий и принципа ортогональности:

и

.

где , a=1

Из этих равенств заключаем, что все числа за исключением коэффициента . А из 2го условия все

Тогда решение

.

БИЛЕТ 3

ЗАДАЧИ