Тема 1. Задачи, приводящие к уравнениям различных типов.

Определить тип уравнения с частными производными 4(u_xx+u_yy)-u_xy+2(u_x+u_y)=0.

Решение

Классификация уравнений и принадлежность их к тому или иному типу определяется в зависимости от коэффициентов при старших производных. В общем виде уравнение имеет следующий вид:

=0 (*)

Любое такое уравнение можно привести к каноническому виду. Классификация производится в зависимости от дискриминанта :

• Если в некоторой области D то уравнение называется гиперболическим в D

• Если в области D, то (*) называется эллиптическим в D

• если во всех точках области D, то уравнение (*)называется параболическим в D.

Определим, к какому классу относится наше уравнение.

Найдем коэффициенты:

Посчитаем дискриминант

следовательно, уравнения эллиптического типа.

Тема 3. Метод разделения переменных для решения краевых задач.

Однородная прямоугольная мембрана ( , ), закрепленная вдоль всего контура, лежащего в горизонтальной плоскости, и имеющая в начальный момент форму , начала колебаться с начальной скоростью . Найти закон свободных колебаний мембраны. Получить решение в случае , если натяжение мембраны Т₀ равно ее поверхностной плотности , т.е. .

Решение

Предполагая, что мембрана совершает малые колебания, запишем уравнения свободных колебаний мембраны:

, где , (1)

Имеем 1ю краевую задачу с граничными условиями

(3)

(3)

Находим решение методом Фурье:

. (4)

Подставим формулу (4) в уравнение (2), получим .

Разделив это равенство на , имеем ,

Откуда ,(5)

следовательно,

Решение:

, собственные значения , n=1,2…

Также из (5) следует

. (6)

разделим переменные:,

.

Откуда

Решение собственные значения , где k=1,2…

Из (6)

Обозначим или ; где , . (9)

Т.е. каждой паре номеров , соответствует свое решение .

Решение этого уравнения:

,

где и - произвольные постоянные.

Подставляя найденные , и в (4), получаем все возможные нетривиальные решения уравнения (1), ,

Общее решение:

(10)

Из начальных условий и принципа ортогональности:

и

.

где , a=1

Из этих равенств заключаем, что все числа за исключением коэффициента . А из 2го условия все

Тогда решение

.

БИЛЕТ 4

Тема 1. Задачи, приводящие к уравнениям различных типов.

Определить тип уравнения с частными производными 2u_xx+4u_xy+2u_yy-2u_x+4u_y=0.

Решение

Классификация уравнений и принадлежность их к тому или иному типу определяется в зависимости от коэффициентов при старших производных. В общем виде уравнение имеет следующий вид:

=0 (*)

Любое такое уравнение можно привести к каноническому виду. Классификация производится в зависимости от дискриминанта :

• Пусть в не которой области D тогда уравнения называется гиперболическим в D

• Если в области D, то (*) называется эллиптическим в D

• если во всех точках области D, то уравнения (*)называется параболическим в D.

Определим, к какому классу относится наше уравнение.

2u_xx+4u_xy+2u_yy-2u_x+4u_y=0

Найдем . следовательно, уравнения параболического типа.