3.3. Потеря устойчивости при напряжениях, превышающих предел пропорциональности

Формулы, выведенные ранее, справедливы только тогда, когда напряжения в материале, вызванные критической силой, не превышают предела пропорциональности, т.е. когда . Это следует из того, что в основу вывода формул положено дифферен­циальное уравнение упругой линии, которым можно пользоваться лишь в пределах применимости закона Гука.

Подставляем в условие значение по формуле (3.13):

.

Из этого уравнения

. (3.14)

Правая часть выражения (3.14) представляет собой то наимень­шее значение гибкости стержня, при котором формула Эйлера еще применима,— это так называемая предельная гибкость :

. (3.15)

Предельная гибкость зависит только от физико-механических свойств материала стержня — его модуля упругости и предела про­порциональности.

Условие (3.14) применимости формул Эйлера с учетом выра­жения (3.15) можно представить в виде

. (3.16)

Итак, формула Эйлера для определения критической силы сжа­того стержня применима при условии, что его гибкость больше предельной.

Приведем значение для различных материалов.

Для стали СтЗ , МПа и, следова­тельно,

Для дерева ; для чугуна . Для стали с повышенным значением предельная гибкость уменьшается по выражению (3.15). В частности, для некоторых марок легиро­ванной стали

Действительные критические силы и критические напряжения для стержней, гибкость которых ниже предельной, значительно меньше величин, определяемых по формуле Эйлера. Для таких стержней критические напря­жения определяются по эмпи­рическим формулам.

Профессор Петербургского института инженеров путей сообщения Ф. С. Ясинский пред­ложил эмпирическую формулу критических напряжений для стержней, имеющих гибкость , меньшую предельной:

(3.17)

где а и b — определяемые экс­периментально коэффициенты, зависящие от свойств мате­риала. Например, для стали СтЗ

МПа; МПа.

Формула (3.17) применима для стержней из малоуглеродистой стали при гибкости При гибкости напря­жение считается примерно постоянным и равным пределу теку­чести.

На рис. 3.6. приведен график, изображающий зависимость от гибкости стержня для стали СтЗ. На участке напря­жение имеет постоянное значение; на участке оно изменяется по закону прямой, определяемой формулой Ясинского (3.17); при >100 напряжение определяется по формуле Эйлера (3.13).

Рис. 3.6. Зависимость критических напряжений от гибкости для Ст 3

Умножая величину критического напряжения на площадь попе­речного сечения стержня , можно определить критическую силу. Здесь — площадь брутто поперечного сечения стержня, т.е. без учета его ослаблении.