Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Алтайский государственный технический университет им. И.И.Ползунова

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

ответы к Вышке.doc

Скачиваний:

Добавлен:

20.09.2019

Размер:

1.4 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 / 32 3 > Следующая >>>

№43Непрерывность функции в точке

Пусть функция y=f(x) определена в некоторой окрестности

точки х₀.

Определение 1. Функция y=f(x) называется непрерывной в точке х₀, если для любого найдется такое, что при всех х, удовлетворяющих неравенству , будет выполняться неравенство

Определение 2. Функция y=f(x) называется непрерывной на множестве АÌR, если она непрерывна в каждой точке множества А.

Сравнивая определение 1 с определением предела функции(Определение. Число А называется пределом функции при , если для любого e>0 найдется такое, что при всех х, удовлетворяющих неравенству 0<, будет выполняться неравенство . Кратко это можно записать так:

), можно получить, что функция y=f(x) непрерывна в точке х₀ тогда и только тогда, когда ее предел при x ® х₀равен значению функции в этой точке:

Определение 3. Приращением аргумента называется разность двух значений переменной х и обозначается Dх. Приращением функции, соответствующим данному приращению аргумента, называется разность двух значений функции от соответствующих аргументов и обозначается Dу:

Dх=х-х_0
,Dу=f(x)-f(x₀).

Из определения 1 следует:

"$, для будет выполняться , т.е.

Таким образом, функция непрерывна в точке тогда и только тогда, когда малому приращению аргумента соответствует малое приращение функции.

№44

Частные производные функции многих переменных

Рассмотрим функцию двух переменных. Пусть даны множества DRⁿ и IR.

Определение. Если каждой точке множества D ставится в соответствие единственное число у из I, то говорят, что задана функция n переменных у=f(x₁, …, x_n). Множество D называется областью определения функции D(у)=D, множество I называется множеством значений функции I (у)= I.

Если зафиксировать любые n-1 переменные, то функция многих переменных превращается в функцию одной переменной. x₂=с₂, x₃=с₃, …, х_n=c_n; y=f(x₁, c₂, …, c_n) - функция одной переменной х₁. n=2; z=f(x,y).

Определение. Частной производной функции z=f(x,y) в точке (x₀, y₀)D(у) по соответствующей переменной называется предел отношения частного приращения функции по этой переменной к приращению этой переменной, когда приращение переменной

Определение. Приращением аргумента называется разность двух значений переменной х и обозначается Dх. Приращением функции, соответствующим данному приращению аргумента, называется разность двух значений функции от соответствующих аргументов и обозначается Dу:

Dх=х-х_0
,Dу=f(x)-f(x₀).стремится к нулю (если этот предел существует и конечен).

При введении частной производной по любой переменной остальные переменные были фиксированы. Данное определение совпадает с определением производной функции одной переменной.

Определение 1. Производной функции в данной точке называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента, когда приращение аргумента стремится к нулю, если этот предел существует и конечен. Функция называется дифференцируемой в точке х₀.

Определение 2. Функция называется дифференцируемой на множестве АÌR, если она дифференцируема в каждой точке множества А.

Следовательно, частную производную можно найти, зафиксировав все переменные, кроме одной, считая их постоянными. Производная находится как производная функции одной переменной, т.е. . Все правила и формулы, справедливые для производной функции одной переменной, остаются справедливыми и для частных производных.

Пример 1.

Пример 2.

Билет №45

Полное приращение и полный дифференциал функции

Если функция Z=f(x,y) дифференцируема, то её полный дифференциал dz равен Замечая что запишем формулу (1) в следующем виде Распространим понятие дифференциала функции на независимые переменные, положив дифференциалы независимых переменных равными их преращениям: После этого формула полного дифференциала функции примет вид Аналогично, если есть дифференцируемая функция n независимых переменных, то

Выражение называется частным дифференциалом функции z=f(x,y) по переменной x; выражение называется частным дифференциалом функции z=f(x,y) по переменной y. Из формул (3),(4) и (5) следует, что полный дифференциал функции является суммой её частных дифференциалов:

Отметим, что полное приращение функции z=f(x,y) дифференцируема и дифференциал в этой точке, то её полное приращение отличается от своей линейной части только на сумму последних слагаемых которые при являются бесконечно малыми более высокого порядка, чем слагаемые линейной части. Поэтому при линейную часть приращения дифференцируемой функции называют главной частью приращения функции и пользуются приближённой формулой которая будет тем более точной, чем меньшими по абсолютной величине будут приращения аргументов.

Билет №47

Полная производная

Полной производной функции U=f(M) в точке M(x1,x2,x3,x4,…,xn) по х называется отношение dU/dx.

Пример:

U=sin( )

Билет №48

Производная функции, заданной неявно

Говорят, что функция y=f(x), x<-(a,b), неявно задана уравнением F(x,y)=0, если для всех x<-(a,b) F(x,f(x))=0

Для вычисления производной функции y=f(x) следует тождество F(x,f(x))=0 продифференцировать по x (рассматривая левую часть как сложную функцию x), а затем полученное уравнение разрешить относительно f`(x).

При неявном задании функции, а также для сложных функций будем для производной использовать также обозначения типа там, где необходимо уточнить, по какой переменной ведется дифференцирование.