18. Поняття середніх величин

Масові явища і процеси, які досліджує статистика, відображаються у безлічі самих різних показників, факторів і параметрів. Тому виникає потреба у стисненні і узагальненні первинної інформації у формі середніх величин.

Середня величина ( хі ) – це узагальнююча характеристика сукупності, яка має три основні, фундаментальні властивості:

1) середня відображається єдиним числом;

2) середня розташована між найбільшим ( max x ) і найменшим варіантом (min x ) сукупності або дорівнює їм: min x . х . max x ;

3) середня – це наукова знакова модель.

При визначенні середніх використовують два види величин – варіанти ( і х ) і ваги ( i f ).

Варіанти – це числа, із яких розраховується середня величина. Ваги – це числа, які показують скільки разів повторюється той чи інший варіант.

Середня величина будь-яких варіантів визначається як відношення повної суми цих варіантів до повної суми ваг:

Середня величина =

19. Основні види середніх величин

Найбільше значення для теорії і практики статистики

мають чотири види середніх величин:

1) середня агрегатна;

2) середня арифметична;

3) середня гармонічна;

4) середня геометрична.

Середня агрегатна – це відношення двох агрегатів – повної суми варіантів до повної суми ваг:

де Z_i = x_i f_j

Середня агрегатна є найважливішою вихідною формулою для побудови основних видів середніх величин.

Найбільш поширеним видом середньої величини є середня арифметична. Розрізняють два види середньої арифметичної – незважена (проста) і зважена (складна). Якщо у агрегатній формулі прийняти нереалістичне допущення, що усі ваги дорівнюють одиниці, тобто j f =1, то отримаємо середню арифметичну незважену:

X=

Де - неповна сума варіантів; - неповна сума ваг.

Як бачимо, середня арифметична незважена –це відношення неповної суми варіантів до неповної суми ваг. Ця середня є помилковою тому, що вона отримана як результат співвідношення двох помилкових величин – неповної суми варіантів до неповної суми ваг.

Тому середню незважену потрібно виключити збудь -яких розрахунків. У випадку, коли потрібно визначити середнє значення інтервалу, як підсумку двох його меж ,треба також використовувати середню арифметичну зважену. У

цьому випадку f₁ =1 та f₂ =1.

Якщо у агрегатній формулі усі повторні варіанти замінити їх вагами, тобто

z_i = x_i f_j , то отримаємо середню арифметичну зважену:

Де – варіанти, – ваги; - повна сума варіантів; - повна сума ваг.

Як бачимо, середня арифметична зважена – це перетворена середня агрегатна, оскільки її чисельник – це повна сума варіантів, а знаменник – повна сума ваг.

На практиці це означає необхідність при розрахунку середньої арифметичної величини завжди записувати її стислий зміст у вигляді цілком прозорої схеми агрегатної формули, використовуючи для цього підказ,

який міститься у самій умові завдання. Середню арифметичну зважену можна визначити за спрощеним способом зменшених варіантів. Для цього треба від кожного варіанту спочатку відняти число, яке дорівнює найбільшому варіанту, близькому до імовірної середньої, а потім додати це число. Тобто:

де А- число, яке дорівнює найбільшому варіанту, близькому до імовірної середньої. Цей варіант завжди буде зменшуватися до 0, спрощуючи розрахунок.

Середня гармонічна – це також перетворена середня агрегатна. Розрізняють два види середньої гармонічної – незважена (проста)і зважена (складна). Якщо у агрегатній формулі усі z = x_i f_j замінити одиницями, а f_j = z_i / х_i = 1/ х_i величинами 1/ х_i, то отримаємо середню гармонічну незважену:

де n – число варіантів; - варіанти.

Ширше використовується середня гармонічна зважена. Якщо в агрегатній формулі усі ваги ( ) замінити величинами то отримаємо середню гармонічну зважену:

Таким чином, середня гармонічна зважена – це також перетворена середня агрегатна.

Таким чином, при розрахунку середньої гармонічної необхідно також записувати її стислий зміст у вигляді схеми цілком прозорої агрегатної формули, використовуючи для цього підказ, який міститься у самій умові завдання. Вибір формули середньої зваженої арифметичної або гармонічної залежить від вихідних даних. Якщо є варіанти ( х_i) та ваги ( f_j ), то використовують формулу середньої арифметичної зваженої. Якщо ваги (f_j) відсутні, але є чисельник агрегатної формули, то середню визначають за формулою середньої гармонічної.

При розрахунку темпів змінювання (росту) статистичних показників, які характеризують будь який об'єкт дослідження, використовують середню геометричну.

Розрізняють два види середньої геометричної – незважена (проста) та зважена (складна). Середня геометрична незважена ( x_г ) визначається за формулою:

де x_i - варіанти (темпи змінювання статистичних показників);

П - символ добутку.

Середня геометрична зважена (х_гзв) розраховується за формулою:

де x_i - варіанти (темпи змінювання статистичних показників); f_j - ваги.

Середня геометрична – це також перетворена середня агрегатна. Якщо варіанти (x_i) пов'язані між собою не як сума додатків, а як добуток співмножників, то використовують їх середню геометричну. Для одержання результатів за формулами середніх геометричних їх треба прологарифмувати:

1. середня геометрична незважена:

2. середня геометрична зважена:

Як бачимо, середня геометрична зважена та незважена – це перетворена середня агрегатна, оскільки чисельники цих середніх – це сума варіантів (у вигляді логарифмів), а знаменники – сума ваг.

На практиці частіше використовується середня геометрична незважена. Вона застосовується головним чином при дослідженні динаміки статистичних показників.