20. Структурні і багатовимірні середні

Для характеристики структури будь-якої статистичної сукупності розраховуються особливі структурні середні – мода і медіана. Мода – це варіант, який найчастіше повторюється в сукупності. У дискретному ряді моду визначають за найбільшою вагою ( f_max ), а в інтервальному – за спеціальною формулою:

Де х₀ – ніжня межа модального інтервалу; - величина модального інтервалу; - ваги відповідного модального, перед- модального та після- модального інтервалів. Модальний інтервал – це інтервал з найбільшою вагою.

Медіана – це середній варіант, який поділяє сукупність пополам на дві рівні частини. У дискретному ряді медіану визначають за порядковим номером центрального варіанта.

Для інтервального ряду медіана (Ме) визначається за формулою:

де x₀ - нижня межа медіанного інтервалу; h – величина медіанного інтервалу;

- загальна сума ваг; - сума накопичених ваг до медіанного інтервалу; - вага медіанного інтервалу.

Ще одним видом середніх величин є багатовимірна середня. З другої половини 20 ст. багатовимірні середні набули великого розвитку у формі різноманітних рейтингів різнорідних економічних та соціальних явищ. Рейтинги (R) часто визначають у відсотках (балах) від 0 до 100% за формулою середньої арифметичної зваженої:

де x_i - експертні оцінки значень різнорідних (різноякісних) факторів, що впливають на величину рейтингу (від 0 до 100%); f_j - вагомість факторів (у % до 100%); .

21. Показники варіації

Варіація – це коливання значень варіантів (х_і) одиниць сукупності. До основних показників, які характеризують варіацію відносять: розмах варіації, середнє лінійне відхилення, дисперсію, середнє квадратичне відхилення, коефіцієнти

варіації.

Розмах варіації (R_max) – це різниця між максимальним та мінімальним значенням варіантів:

R_max = x_max – x_min , де x_max і x_min – максимальне та мінімальне значення варіантів.

Середнє лінійне відхилення – це середнє відхилення варіантів ( х_і ) від їх середнього значення (від x ). Якщо у агрегатній формулі середніх величин усі варіанти (х_і) замінити їх відхиленнями від середнього значення, тобто |x_i - x| , то

отримаємо середнє лінійне відхилення ( L ):

L =

де - варіанти; - ваги; х – середня зважена усіх варіантів.

Дисперсія (²) – це середній квадрат відхилень варіантів (х_i) від їх середньої величини:

Середнє квадратичне відхилення () – це корінь квадратний із дисперсії:

Варіацію характеризують абсолютні та відносні показники. Розмах варіації, середнє лінійне відхилення, дисперсія та середнє квадратичне відхилення – це абсолютні показники варіації, оскільки усі вони є іменованими величинами, які мають одиниці виміру їх варіантів ( х_і ).

Відносними показниками, які характеризують варіацію, є коефіцієнти варіації. Найчастіше використовують коефіцієнти варіації, які розраховують на основі середнього лінійного та середнього квадратичного відхилення:

1. лінійний коефіцієнт варіації (V_L ):

2. квадратичний коефіцієнт варіації (V_):