7.3. Применение закона полного тока для расчета магнитных цепей

В основу расчета магнитных цепей положен закон полного тока, устанавливающий связь между током и создаваемым им магнит­ным потоком. Математически закон полного тока может быть за­писан следующим образом:

т.е. линейный интеграл вектора напряженности H магнитного поля вдоль замкнутого контура равен алгебраической сумме токов, ох­ватываемых данным контуром. Так как вектор dl расположен по касательной к выбранному контуру, при этом вектор H имеет про­извольное направление в точке а (рис. 7.2) и расположен под уг­лом α, то скалярное произведение векторов:

Тогда закон полного тока может быть записан в виде:

(7.3)

Знак тока I зависит от его направле­ния. Если направление магнитного поля, создаваемого током, совпадает с направ­лением обхода контура по правосторон­нему винту, то ток берут со знаком (+); если же не совпадает, то ток берут со зна­ком (-) (см. рис. 7.2):

Обычно при расчете магнитных цепей контур интегрирования совпадает с линией магнитного поля. В этом случае напряженность Н магнитного поля вдоль всего пути интегрирования — величина постоянная, а вектор Н совпадает с касательной в любой точке контура интегрирования. Следовательно, угол α = 0. Тогда уравне­ние (7.3) принимает вид:

(7.4)

Интеграл равен длине контура, вдоль которого производят интегрирование, т.е. длине l_ср средней линии магнитного по­тока. Поэтому выражение (7.4) преобразуется в следующее алгеб­раическое уравнение:

Полученное уравнение напоминает уравнение второго правила Кирхгофа для электрической цепи. Для катушки (обмотки) с чис­лом витков ω, размещенной на магнитопроводе (сердечнике) (рис. 7.3), оно имеет вид:

(7.5)

где ωI= F — магнитодвижущая сила, А. Используя формулы (7.1), (7.2) и (7.5), получают математическое выражение для магнитного потока:

где - магнитное сопротив­ление цепи.

^{Следовательно,}

Ф = F/R_m. (7.6)

Соотношение (7.6) представляет собой закон Ома для магнит­ной цепи, согласно которому магнитный поток прямо пропорцио­нален магнитодвижущей силе и обратно пропорционален магнит­ному сопротивлению. Для ферромагнитных материалов магнитное сопротивление R_м не является постоянным, так как магнитная про­ницаемость μ_a зависит от степени намагничивания материала, из которого выполнена магнитная цепь. Таким образом, магнитная цепь является нелинейной.

7.4. Расчет неразветвленных магнитных цепей с постоянной магнитодвижущей силой

При расчете магнитных цепей встречаются два вида задач: пря­мая и обратная. Прямая задача предполагает определение магнито­движущей силы по заданному магнитному потоку, а обратная — нахождение магнитного потока по заданной МДС.

Прямая задача. Рассмотрим неоднородную неразветвленную магнитную цепь (рис. 7.4, а), для которой задано: магнитный по­ток Ф; геометрические размеры и материал магнитопровода и со­ответственно кривая намагничивания В=f(Н) (рис. 7.4, б). Требуется определить МДС, обеспечивающую заданный магнитный поток.

Данная магнитная цепь имеет воздушный зазор, а следователь­но, является неоднородной. Цепь делят на участки таким образом, чтобы в пределах каждого из них материал и сечение сердечника оставались неизменными. Если считать сечение по всей длине по­стоянным и пренебрегать магнитным потоком рассеяния и выпучи­ванием основного магнитного потока, таких участков будет два: уча­сток ферромагнитного материала (стали) длиной l_ст и воздушный зазор длиной l_B. Закон полного тока в этом случае запишется в виде

(7.7)

где H_ст - - напряженность магнитного поля в ферромагнитном материале; l_ст — длина средней линии магнитного потока в ферромагнитном материале; H_B — напряженность магнитного поля в воз душном зазоре; l_В — длина воздушного зазора.

Полученное выражение (7.7) можно сравнить с выражением второго правила Кирхгофа для электрической цепи: . Следовательно, величина ωI=F'является магнитодвижущей силой, а произведения Hl — соответствующими магнитным напряжениями U_M.

Будем считать, что весь магнитный поток Ф, создаваемый то ком I, проходит по магнитной цепи. Тогда согласно формуле (7.2) магнитная индукция в ферромагнитном материале и воздушном зазоре , где В_В — магнитная индукция в воздушном зазоре.

Зная величину В_СТ находят по кривой намагничивания B=f(H) напряженность B_ст магнитного поля в ферромагнитном материале (см. рис. 7.4, б). Напряженность магнитного поля в воздушном зазоре определяется из выражения:

H_B=B_B/μ₀

Учитывая, что μ₀=4π·10^-7 Гн/м,

H_B=8·10⁵ В_В (7.8)

Подставляя полученные значения напряженностей Н_ст и Н_В магнитного поля в формулу (7.7), находим требуемую МДС ωI=F'

Решение прямой задачи позволяет перейти к разработке конст­руктивно-технологического варианта исполнения катушки. Если задан ток I через катушку, рассчитывают число витков га = F/1 если же задано число витков, то определяют, какой ток должен протекать по катушке. По значению тока выбирают сечение и тип провода. Затем решают вопрос о конструктивном размещении ка­тушки на магнитопроводе.

Обратная задача. Для магнитной цепи (см. рис. 7.4) задана МДС. Требуется определить магнитный поток Ф.

Поставленную задачу решают путем построения графика зави­симости магнитного потока Ф от МДС:

Ф = f (F). Для этого необхо­димо предварительно решить несколько прямых задач для различ­ных значений магнитного потока (обычно достаточно 3... 5 значений)

Таблица 7.1 Результаты вычислений

Ф,Вб	Нст, А/м	Нст /Iст, А	НВ, А/м	НВIB А	Ф=ωI=∑Hl,A
ФВ
0,9Ф ФВ
0,8 ФВ

Первое значение магнитного потока выбирают исходя из того, что магнитное сопротивление стали R_M.CT. =0, а основным сопротивлением является сопротивление R воздуш­ного зазора. В этом случае значение Ф_в магнитного потока будет несколь­ко завышенным, поэтому далее за­даются меньшими значениями по­тока. При R_M.CT. = 0 закон полного тока для рассматриваемой цепи имеет вид H_BI_B=ωI. Отсюда H_B=(ωI)_ЗАД/l_В

Магнитная индукция в воздушном зазоре B_B=μ₀H_B,, а магнит­ный поток Ф_В=В_ВS где S сечение магнитопровода, через кото­рый проходит магнитный поток, м². Затем задаются меньшими значениями магнитного потока. Результаты вычислений сводят в табл. 7.1.

По полученным данным строят зависимость Ф = f(ωI) (рис. 7.5), затем по заданной МДС находят искомый магнитный поток Ф.