- •1. Метод Данилевского
- •1.1 Метод Гаусса.
- •1.2 Метод Гаусса с выбором главного элемента. ( )
- •1.3 Метод оптимального исключения ( )
- •1.4 Метод прогонки.
- •II. Методы, основанные на разложении матрицы коэффициентов.
- •2.1. Метод квадратного корня (случай эрмитовой матрицы)
- •2.2 Частный случай метода квадратного корня (случай симметричной матрицы)
- •2.3 Схема Халецкого (случай матрицы с отличными от 0 глав. Минорами).
- •Приближенные (итерационные) методы.
- •2.1 Метод простой итерации.
- •2.2 Метод Якоби.
- •2.3 Метод Зейделя.
- •2. Решение полной проблемы собственных чисел.
- •1. Метод Данилевского
- •2. Итерационный метод вращений.
- •Решение нелинейных уравнений.
- •1.2.1 Метод половинного деления (метод дихотомии).
- •1.2.2 Метод Ньютона или метод касательных
- •1) Существование производных 1-го и 2-го порядков;
- •1.2.3 Метод хорд. Метод секущих.
- •1.2.4 Метод простой итерации.
- •III. Решение дифференциальных уравнений.
- •Задачи с начальными условиями для оду (задача Коши).
- •Численные методы решения дифференциальных уравнений Одношаговые методы. Метод Эйлера и его модификации
- •Одношаговые методы. Метод Эйлера и его модификации.
- •1 Метод Эйлера
- •2. Метод Рунге-Кутта.
- •Многошаговые методы
- •1. Формулировка методов
- •Постановка линейных краевых задач для оду 2-го порядка.
- •Конечно-разностный метод решения краевой задачи.
III. Решение дифференциальных уравнений.
При решении ОДУ без каких-либо условий получается множество решений. Для получения единственного решения задают дополнительные условия. Если задано значение функции в начальный момент времени, то условия называются начальными, а полученная задача называется задачей Коши; если условия задаются на границе, то их называют граничными или краевыми, а саму задачу – краевой. Если заданы и начальные и граничные условия задачу называют смешанной краевой задачей.
Задачи с начальными условиями для оду (задача Коши).
Задача Коши для дифференциального уравнения -го порядка заключается в отыскании , удовлетворяющей уравнению (1) и начальным условиям (2)
(1)
, (2)
где – заданные числа.
Численные методы решения дифференциальных уравнений Одношаговые методы. Метод Эйлера и его модификации
Рассматриваются две группы численных методов решения задачи Коши.
Одношаговые методы, в которых для нахождения решения в некоторой точке отрезка используется информация лишь в одной предыдущей точке (методы Эйлера, Рунге–Кутта).
Многошаговые методы, в которых для отыскания решения в некоторой точке используется информация о решении в нескольких предыдущих точках (метод Адамса)
Опр 1. Метод сходится на отрезке , если он сходится в каждой точке
Опр 2. Метод имеет р-й порядок точности, если существует число р>0 такое, что при
Опр 3. Сеткой на отрезке называется любое конечное множество точек этого отрезка. Функция, определенная в точках сетки, называется сеточной функцией.
В численных методах используются замены производных конечными разностями:
Одношаговые методы. Метод Эйлера и его модификации.
Метод Эйлера является простейшим методом решения задачи Коши и имеет невысокую точность, поэтому на практике его используют достаточно редко. Однако на его основе в дальнейшем легче объяснить алгоритмы более эффективных методов.
Рассмотрим задачу Коши для ОДУ 1-го порядка.
(1)
(2)
Требуется найти функцию , которая удовлетворяет уравнению (1) на интервале и начальному условию (2) в точке .
Приведем без доказательства теорему существования и единственности задачи Коши:
Теорема 1. Пусть в области функция непрерывна. Тогда на некотором отрезке существует решение уравнения (1), удовлетворяющее условию (2).
Если в области функция удовлетворяет условию Липшица
,
то указанное решение единственно.
Проведем разбиение отрезка на частей:
. (3)
Найдем приближенные значения решения в точках .
1 Метод Эйлера
Рассмотрим уравнение (1) в точках и заменим производную
. (4)
Подставим в (1), получим
Введем обозначения , получим
– это явная несимметричная схема, 1-го порядка аппроксимации
Рекуррентная формула метода Эйлера для приближенных значений :
. (5)
Можно рассмотреть неявную схему, формула будет иметь вид
(5’)
Недостатки метода Эйлера: малая точность, систематическое накопление ошибок
Модификации метода Эйлера (погрешность ).
Для повышения точности метода Эйлера применяют следующие приемы.
Первый улучшенный метод (метод серединных точек) для решения задачи (1), (2) состоит в том, что сначала вычисляют промежуточную (серединную) точку с координатами
, (7)
где . Затем находят число
, (8)
определяющее уточненное направление, и берут
. (9)
Второй улучшенный метод (метод Эйлера-Коши).
Сначала находят приближенное значение решения по методу Эйлера:
, (10)
исходя из которого определяют направление поля интегральных кривых
а затем уточняют его по формуле
. (11)
Этот метод называется методом Эйлера-Коши.