2.2 Метод Якоби.
Пусть матрица
системы (1) представлена в виде
,
где
– диагональная, а
и
– соответственно левая и правая строго
треугольные (т.е. с нулевой диагональю)
матрицы. Тогда система (1) может быть
записана в виде
, (11)
и, если на диагонали исходной матрицы нет нулей, то эквивалентной (1) задачей вида (2) будет
,
т.е. в равенствах (2) и (3) следует положить
.
Основанный на таком приведении системы (1) к виду (2) метод простой итерации (3) называют методом Якоби:
(12)
Обратной
матрицей к матрице
служит диагональная матрица
с элементами диагонали
.
Метод Якоби решения системы (1) в
координатной форме имеет вид
Теорема 3. (Достаточный признак сходимости). В случае диагонального преобладания в матрице системы (1) метод Якоби (12) сходится.
Диагональное преобладание в матрице означает, что
.
(13)
2.3 Метод Зейделя.
Под
методом Зейделя (МЗ) обычно понимается
такой вариант МПИ (3) решения СЛАУ,
приведенной к виду (2), при котором для
подсчета (k+1)-го
приближения неизвестного
при
используются уже вычисленные ранее
(k+1)-е
приближения неизвестных
,
,…
.
Таким образом, для системы (2) расчеты
ведутся по формулам
(14)
или
Если преобразование системы (1) к виду (2) основано на представлении (11) (метод Якоби) , то соответствующие расчетные формулы имеют вид
(15)
где
;
– заданное начальное приближение.
Теорема 5. Если матрица системы (1) имеет диагональное преобладание, то метод Зейделя (15) сходится, причем быстрее, чем метод Якоби.
Замечание. В соответствии с теоремой 5 в МЗ (15) в указанных условиях допустимо использование оценок погрешности метода Якоби. Естественно, они заведомо грубее.
Наряду с рассмотренными применяют и другие способы приведения системы (1) к виду (2) для ее решения методом Зейделя.
2. Решение полной проблемы собственных чисел.
1. Метод Данилевского
Сведение
матрицы
преобразованием подобия к
канонической форме Фробениуса Ф:
Преобразование
матриц
и
с помощью невырожденной матрицы
называется преобразованием подобия.
По
первой строке полученной матрицы
составляется собственный многочлен
:
.
Собственные векторы матрицы
Умножая
на собственный вектор
,
получим для собственного вектора
матрицы А
выражение
2. Итерационный метод вращений.
Идея в преобразовании матриц к диагональной форме
Любую симметричную действительную матрицу можно привести к диагональному виду преобразованием подобия
, (1)
где
– ортогональная матрица (
)
и
– диагональная, элементами которой
являются собственные значения
матрицы
.
Так как для ортогональной матрицы
обратная совпадает с транспонированной
(
),
то (1) равносильно
(2)
Метод
вращений
обладает быстрой сходимостью–
это
итерационный процесс, где на каждом
шаге осуществляется такое преобразование
подобия, что
– наибольший недиагональный элемент
по абсолютной величине обращается в 0.
В качестве
выбирается матрица вращения. Т.к. матрица
симметричная, то достаточно рассмотреть
элементы выше главной диагонали.
(3)
Опред.
Вещественные матрицы, отличающиеся от
единичной матрицы, четырьмя элементами,
расположенными на пересечении строк и
столбцов с номерами
и имеющими вид (3) называются матрицами
вращения, в
которой угол
определяется из условия , что наибольший
недиагональный элемент после преобразования
подобия =0