1.2.3 Метод хорд. Метод секущих.

В методах хорд и секущих функция должна удовлетворять тем же условиям, что и в методе касательных. Сходимость и погрешность методов определяется так же, как и в п.1.2.2.

Идея метода хорд состоит в замене кривой хордами, проходящими через концы отрезков, в которых имеет противоположные знаки. В методе хорд требуется, чтобы один конец отрезка, на котором ищется корень, был неподвижен. Заменяя в алгоритме Ньютона (12) производную приближенно отношением: , получим алгоритм метода хорд с неподвижным правым концом (рис.5а):

, (20)

или с неподвижным левым концом (рис.5б):

. (21)

В качестве неподвижного конца ( или ) выбирают тот конец отрезка, для которого знак совпадает со знаком второй производной .

Вычисление приближенных значений корней уравнения следует вести до тех пор, пока не перестанут изменяться те десятичные знаки, которые требуется сохранить в ответе (т.е. пока не будет достигнута заданная степень точности).

Рис. 5.

На рис.5 стрелкой показано направление сходимости.

Для оценки погрешности приближений можно использовать формулу (18) или

, (22)

где

Идея метода секущих состоит в замене кривой прямой, проходящей через точки и . В качестве следующего приближения к корню принимается абсцисса точки пересечения этой прямой с осью (рис.6).

Уравнение прямой

.

Из условия получаем расчетную формулу

. (23)

Формула (23) определяет метод как двухшаговый (результат -го шага зависит от результатов -го и -го шага).

Теорема 5. Метод секущих имеет порядок по крайней мере .

Рис. 6.

Метод секущих является одним из наиболее эффективных итерационных методов решения уравнений (1), так как имеет высокий порядок скорости сходимости в сочетании с минимальными вычислительными затратами.

При применении метода секущих выбор начальной точки нужно осуществлять по тому же принципу, что и в методе касательных (касательная – предельное положение секущей), вторую из начальных точек , требуемую в двухшаговом методе (23), желательно выбирать между и искомым корнем .

Окончание счета по методу секущих, учитывая его быструю сходимость, можно контролировать по формуле (19).

1.2.4 Метод простой итерации.

Применение метода простой итерации требует предварительного приведения уравнения ( ) к виду

, . (24)

Построим график обеих частей уравнения (24): для левой части -- прямая линия – биссектриса первого координатного угла, для правой части – некоторая линия с уравнением (обозначим буквой ). Решением уравнения является абсцисса точки пересечение и биссектрисы.

Допустим, что для имеется начальное приближение . В простейшем варианте метода все дальнейшие приближения строятся по формуле

, (25)

где , например, .

Геометрический смысл процесса вычислений понятен из рис. 7. По находится на точка . Через нее проводится прямая, параллельная оси , и находится точка ее пересечения с биссектрисой. Абсцисса этой точки принимается за следующее приближение к и т.д.

Рис.7.

1. Когда , погрешность и приближение будет отстоять от дальше, чем . Решение будет “точкой отталкивания” для приближений , близких к нему, и в этом случае не будет сходимости последовательности к .

2. Если , то погрешность . Последовательность , если взято достаточно близким к , будет сходиться к приблизительно со скоростью геометрической прогрессии со знаменателем .

При погрешности и будут иметь одинаковые знаки, и сходимость к будет монотонной. Если , то погрешности и имеют разные знаки, и приближения будут сходиться к , колеблясь около .

3. Случай требует специального рассмотрения, так как будет малой величиной высшего порядка по сравнению с . Поэтому, если взято достаточно близким к , то будут весьма быстро сходиться к при возрастании ,

а погрешность будет стремиться к нулю со скоростью, превосходящей сходимость геометрической прогрессии со сколь угодно малым знаменателем. Это часто используют для ускорения сходимости последовательности к путем преобразования заданного уравнения (24) к новому , имеющему то же решение , но такому, что .

Теорема 6. (Достаточные условия сходимости метода простой итерации)

Пусть функция в уравнении (24) определена и дифференцируема на отрезке . Тогда, если существует число такое, что

(26)

на отрезке , то последовательность (25) сходится к единственному корню уравнения (24) при любом начальном приближении .

На практике итерационный процесс останавливают при выполнении условия .