31.Предел функции нескольких переменных. Арифметика пределов.

Пусть D входит в Rⁿ,M₀ € D и дана функция ∫:D→ R. Говорят, что предел функции при М→М₀ равен А, (lim ∫(М)=А)., если для любого ε>0 существует δ>0 такое, что |∫(М)-А|<ε для всех М€D∩U_δ , где U_δ –окрестность точки М_0.

Эквивалентное определение предела через последовательность заключается в следующем. Предел функции ∫ при М→М₀ равен А, если для любой послед-и точек М сходящейся к М₀ при k→∞, последовательность ∫(М_к)→А при k→∞.

Арифметика пределов. Пусть даны функции ∫,g: D→R и существует пределы lim ∫(М)=А(М→М₀), lim g(M)=B (М→М₀).Тогда:

1. lim (f(M)-+g(М)=А+В М→ М₀

Пусть ε>0, тогда для ε'=ε/2 существует из δ'иδ'' определения для функции ∫,g. Положим δ=min(δ';δ''). Тогда для всех М из δ-окрестности точки М₀ имеем: |∫(М) ± g(М)|-(А±В)|=|∫(М)-А| ±|g(М)-В|≤|∫(М)-А|+|g(М)-В| < ε/2+ε/2 = ε

2. lim (∫(М)g(М))=АВ

М→М₀

|∫(М)g(М)-АВ|=|(∫(М)-А)(g(М)-В)+В∫(М)+Аg(М)-2АВ|=|(∫(М)-А(g(М)-В)+В(∫(М)-А)+А(g(М)-В)|≤|(∫(М)-А)||(g(М)-В|+|В||∫(М)-А|+|А|g(М)-В|→0 при М→ М₀

3. , (М→М₀), если g≠0 в некоторой окрестности точки М₀

4. Следует из предыдущих:

32.Замкнутые и открытые множества. Компакт.

Множество Uвходит Rⁿ называется открытым, если U содержит каждую свою точку вместе с некоторой ε – окрестностью. Пусть F входит Rⁿ. Точка М называется точкой прикосновения множества F, если всякая ее окрестность U имеет не­пустое пересечение с F. Множество F называется замкнутым, если оно содержит все свои точки прикосновения. Дополнением множества U входит Rⁿ называется множество CU = R» \ U = {х € R» | х не € U). Заметим, что CCU = U для любого множества U.

Теорема 1. Множество U открыто, значит о его дополнение CU замкнуто.

Пусть U открыто. Пусть М — точка прикосновения U, то есть всякая ее окрестность V имеет непустое пересечение с CU. Тогда никакая окрестность М не лежит целиком в U, поэтому М не € U, то есть М € CU. Отсюда CU замкнуто.

Обратно, пусть CU замкнуто и М € U. Тогда существует окрестность V точки М, не имеющая пересечения с CU (так как если любая окрестность точки М пересекается с CU, то М — точка прикосновения CU, значит М € CU — противоречие). Эта окрестность целиком лежит в U – CCU, то есть U открыто.

Следствие Множество F замкнуто и его дополнение CF открыто.

Теорема 2. 1. Объединение любого числа открытых множеств открыто. 2. Пересечение конечного числа открытых множеств открыто.

1. Пусть М — точка из объединения. Тогда она лежит в одном из множеств. Но оно открыто, значит она лежит в нем вместе с некоторой окрестностью V. Но тогда эта окрестность содержится и в объединении.

2. Пусть М — точка из пересечения. Тогда она лежит во всех множествах. Но каждое множество открыто, значит А/ лежит в них вместе с шаровыми окрестностями И. Но тогда существуем шар V, лежащий во всех шарах Vi. Тогда эта окрестность V содержится и в пересечении.

Следствие 1. Пересечение любого числа замкнутых множеств замкнуто. 2. Объединение конечного числа замкнутых множеств замкнуто.

< Следует из теорем 1 и 2. >

Множество К называется компактом, если оно замкнуто и ограничено.