44. Схема решений задач на условный экстремум.

Условный экстремум находится, когда переменные х и у, входящие в функцию u = f( x, y), не являются независимыми, т.е. существует некоторое соотношение

(х, у) = 0, которое называется уравнением связи.

Тогда из переменных х и у только одна будет независимой, т.к. другая может быть выражена через нее из уравнения связи.

Тогда u = f(x, y(x)).

В точках экстремума:

=0 (1)

Кроме того:

(2)

Умножим равенство (2) на число  и сложим с равенством (1).

Для выполнения этого условия во всех точках найдем неопределенный коэффициент  так, чтобы выполнялась система трех уравнений:

Полученная система уравнений является необходимыми условиями условного экстремума. Однако это условие не является достаточным. Поэтому при нахождении критических точек требуется их дополнительное исследование на экстремум.

Выражение u = f(x, y) + (x, y) называется функцией Лагранжа

4. Теорема о замене.

Пусть система a₁,a₂,…a_k-линейно независима

b₁,b₂,…b_e- линейно независима, b≤k

Док-во:

1) l=1 <a>:a₁,a₂,…a_k

<b>: b≠(ноль с чертой с верху)

b,a₂,a₃….a_k -

a₁,b,a₃….a_k - Предположим, что ни одна из систем не является л.н.

a₁,a₂,b,…a_k -

а₁,а₂, а₃ …b -

Система a₁,a₂,…a_k – л.н. по лемме 1

По лемме 2- b является линейной комбинацией векторов

b=0*a₁+β₂¹a₂+…+ β_k¹a_k

b=β₁²a₁+0* a₂+ β₃²a₃ +…+ β_k²a_k

b=β₁³a₁+ β₂³a₂ + 0* a₃+…+ β_k³a_k

b=β₁^ka₁+ β₂^ka₂+ β₃^ka₃ +…+ β_k^ka_k

По лемме 3 представление b-единственно<=> все β=0 => b=0

a₁…+0*a_k =(ноль с чертой сверху)- мы получили противоречие,

значит хотя бы ┴(ортогональная) система является л.н. Для l=1 теор. доказана.

2)Предположим, что для l теорема о замене имеет место b₁b₂…b_eb_e+1 e+1≤k

b₁b₂…b_eb_e+1a_e+1a_e+2…a_k - линейно независима.

Предположим, что

b₁b₂…b_ea_e+1a_e+2…a_k - л.з.

b₁b₂…b_ea_e+1b_e+2…a_k – линейно зависима

b₁b₂…b_ea_e+1a_e+2…b_e+1 – л.з.

b_e+1= α₁b₁+ α₂b₂+…+ α_eb_e+0*a_e+1 + β_e+2a_e+2 + β_e+3a_e+3+…+β_ka_k

b_e+1 = α₁b₁+ α₂b₂+…+ α_eb_e+ β_e+1a_e+1+ 0*a_e+2 + β_e+3a_e+3+…+β_ka_k

b_e+1 = α₁b₁+ α₂b₂+…+ α_eb_e+ α_e+1a_e+1+ …+0*a_k

b_e+1 = α₁b₁+ α₂b₂+…+ α_eb_e+0* a_e+1+0* a_e+2+…+

Мы получили противоречие, т.к. линейная комбинация =>

имеет линейно зависимую систему, что противоречит условию.