1. Пространства r n и с n , их элементы- векторы. Операции над векторами в r n и с n свойства.

R ⁿ – n – мерное действит. арифм. пространство.

(x1, x2)

(x1, x2, x3) x=(x1, x2, … ,xn)

x+y=(def)=(x1+y1, x2+y2, … ,xn+yn)

αx=(def)=(αx1,αx2,…,αxn)

С ⁿ – n – мерное комплексное арифм. пространство.

1) x+y=y+x; 2) (x+y)+z=x+ (y+z); 3) существует нулевой вектор 0, что для любого x, x+0=x; 4) для всех x существует (-x), что x+(-x)=0 (0;0;0…;0); 5) α(x+y)= αx+αy; 6) (α+β)x=αx+βx; 7) (αβ)x=α(βx)

2. Линейные комбинации векторов, линейная оболочка системы векторов. Определение подпространства.

3.Линейная зависимость и независимость системы векторов. Основные леммы о линейной зависимости.

Примечание:!! Везде, где после буквы идёт цифра, например а1, это означает а_1, так же β’2 – это β штрих с индексом 2, € - значок принадлежит.

Система линейных векторов является линейно зависимой: a1=λ2a2+λ3a3+ …+λkak. Система векторов называется линейно независимой, если ни один из векторов не является линейной комбинацией остальных векторов системы (k>1). Если система векторов состоит из одного вектора, то эта система линейно независима.

Лемма 1: 1.Всякая подсистема линейно независимых систем векторов линейно независима и наоборот.

2. Всякая подсистема линейно зависимой системы векторов линейно зависима.

Д-во:

2. а1, а2, …, аk

λ1а1+ λ2а2+…+λLaL=0

при под. λ1, λ2, …, λL на все λ =0

λ1а1+λ2а2+…+0λL=0

доказано

1. а1, а2,…, аL – подсистема

Пусть она линейнозависема, тогда её надсистема, по только что доказанному должна быть линейнозависима, что противоречит условию. Доказано.

Лемма 2: а1, а2, …, аk – линейно независима

а1, а2, …, аk – линейно зависима. Тогда b € L (а1, а2, …, аk) (т.е. в мин. Комбинации векторов а1, а2, …, аk).

= лемма 2= лемма по рассмотрению

Д-во:

λ1а1+λ2а2+…+λkλk+m(мю)b=0

2. m=0

λ1a1+λ2a2_{+ …}λkak = 0 и не все λ=0, но этого быть не может, т.к. по усл. система а1,а2,…,ak – независима => m не равно 0.

3. m не равно 0

b= -λ1 – λ2 - …λk

m*a1 m*a2 m*ak

След-но a1, a2, … ,ak – л.н. а1, …, аk; b – л.н. , то b не принадлежит L (а1, а2, …, аk) b лежит в лин. оболочке векторов а1, а2, …, аk. Доказано

Лемма 3: о единственности

Пусть есть система а1, а2, …, аk – лин. нез. И b € L(а1, а2, …, аk), b=β1a1+ β2a2+…+ β_ka_k.

Если b=β’1a1+ β’2a2+ β’kak, то для всех i β’_i= β_i, т.е. разложение вектора b единственно.Д-во: 0(нулевой вектор)=( β₁- β’₁)a₁+( β₂- β’₂)a₂+…+( β_k- β’_k)a_k, т.к. сист. а₁, а₂, …, а_k – лин.незав. = 0 , для всех i β_i- β’_i=0 Доказано.

4. Теорема о замене.

Пусть система a₁,a₂,…a_k-линейно независима

b₁,b₂,…b_e- линейно независима, b≤k

Док-во:

1) l=1 <a>:a₁,a₂,…a_k

<b>: b≠(ноль с чертой с верху)

b,a₂,a₃….a_k -

a₁,b,a₃….a_k - Предположим, что ни одна из систем не является л.н.

a₁,a₂,b,…a_k -

а₁,а₂, а₃ …b -

Система a₁,a₂,…a_k – л.н. по лемме 1

По лемме 2- b является линейной комбинацией векторов

b=0*a₁+β₂¹a₂+…+ β_k¹a_k

b=β₁²a₁+0* a₂+ β₃²a₃ +…+ β_k²a_k

b=β₁³a₁+ β₂³a₂ + 0* a₃+…+ β_k³a_k

b=β₁^ka₁+ β₂^ka₂+ β₃^ka₃ +…+ β_k^ka_k

По лемме 3 представление b-единственно<=> все β=0 => b=0

a₁…+0*a_k =(ноль с чертой сверху)- мы получили противоречие,

значит хотя бы ┴(ортогональная) система является л.н. Для l=1 теор. доказана.

2)Предположим, что для l теорема о замене имеет место b₁b₂…b_eb_e+1 e+1≤k

b₁b₂…b_eb_e+1a_e+1a_e+2…a_k - линейно независима.

Предположим, что

b₁b₂…b_ea_e+1a_e+2…a_k - л.з.

b₁b₂…b_ea_e+1b_e+2…a_k – линейно зависима

b₁b₂…b_ea_e+1a_e+2…b_e+1 – л.з.

b_e+1= α₁b₁+ α₂b₂+…+ α_eb_e+0*a_e+1 + β_e+2a_e+2 + β_e+3a_e+3+…+β_ka_k

b_e+1 = α₁b₁+ α₂b₂+…+ α_eb_e+ β_e+1a_e+1+ 0*a_e+2 + β_e+3a_e+3+…+β_ka_k

b_e+1 = α₁b₁+ α₂b₂+…+ α_eb_e+ α_e+1a_e+1+ …+0*a_k

b_e+1 = α₁b₁+ α₂b₂+…+ α_eb_e+0* a_e+1+0* a_e+2+…+

Мы получили противоречие, т.к. линейная комбинация =>

имеет линейно зависимую систему, что противоречит условию.