18. Понятие стационарности случайного процесса (ссп).

В информационных системах очень часто встречаются случайные процессы, протекающие во времени приблизительно однородно. Эти процессы имеют вид непрерывных случайных колебаний около

екоторого среднего значения, причем ни среднее значение, ни харак-

этих колебаний не претерпевают существенных изменений во

пемени. Такие случайные процессы называются стационарными.

В качестве примеров стационарных случайных процессов можно привести шумы на выходе электронных устройств, случайные колебания в цепях питания и т. д.

В любой динамической системе случайный процесс начинается с так называемого «переходного» процесса и затем переходит в уста­новившийся режим, который с некоторым приближением можно считать стационарным. Строго говоря, стационарные процессы бесконечны во времени, т. е. не имеют ни начала, ни конца. Таких процессов практически нет. Однако многие случайные процессы на определенных отрезках времени с определенным приближением можно считать стационарными.

Известно два понятия стационарности: стационарность в узком смысле и стационарность в широком смысле.

Под стационарными процессами в узком смысле понимаются случайные процессы, для которых функция распределения плотности вероятности w_n (x₁ t₁, x₂, t₂, ... , x_nt_n) произвольного порядка n не меняется при любом сдвиге всей группы точек t_l t₂, ..., t_n вдоль оси времени [14], т. е. для любых n и тay

w_n(x₁, t₁, x₂, t₂; ... ; x_n, t_n) = w_n(x_l ,t₁ + τ;

x₂, t₂ + τ; ... ; x_n t_n + τ). (3.20)

Из приведенного определения следует, что для стационарных процессов:

а) одномерная функция распределения плотности вероятности не зависит от времени, т. е.

w₁(x, t₁) = w_l(x, t₁ + τ) = w₁(x); (3.21)

б) двумерная функция распределения плотности вероятности зависит только от разности времени t₂ —t₁ = τ, т. е.

w₂(x₁, t₁, x₂, t₂) = w₂(x₁ x₂; t₂ — t₁) = W₂(x₁, x₂, τ); (3.22)

в) трехмерная функция распределения плотности вероятности зависит только от двух разностей времен t₂ — t₁ = τ ₁ и t₃ — t₁ = = τ ₂, т. е.

w3(x₁, t₁, x₂, t₂ ,x₃, t₃) = w3(x₁, x₂,x₃,t₂-t₁,t₃-t₁,)=

= w₃ (x₁, x₂, x₃, τ ₁ , τ ₂) и т. д. (3.23)

Поскольку математическое ожидание и дисперсия выражаются через одномерную функцию распределения плотности вероятности, то на основании следствия (а) можно утверждать, что для ста­ционарного процесса математическое ожидание и дисперсия не зависят от времени. Вследствие зависимости двумерной функции распределения только от разности времен τ = t₂ — t₁ корреляционная Функция стационарного процесса также зависит только от разности времен τ.

Таким образом, для стационарных процессов

(3.24)

На практике наиболее часто встречаются случайные процессы, для которых при выполнении условий (3.24) моменты высших порядков зависят от времени. Поэтому понятие стационарности оказалось целесообразным расширить, приняв за основу определения стационарности условия (3.24).

В связи с вышеизложенным введено понятие стационарности в широком смысле (или стационарности в смысле А. Я. Хинчина), согласно которому стационарными процессами являються такие случайные процессы, у которых математическоe ожидание и дисперсия не зависят от времени, а корреляционная функция зависит только

от разности времен τ = t₂ — t1. Случайные процессы, стационарные в узком смысле, будут всегда стационарными в широком смысле, но не наоборот.

Стационарные случайные процессы по своей природе проще, чем нестационарные и описываются более простыми характеристиками. Ввиду того, что стационарные процессы встречаются на практике очень часто, получила широкое применение специальная теория стационарных случайных процессов. Раздел теории, посвященный изучению лишь тех свойств процессов, которые определяются моментами первых двух порядков, называется корреляционной теорией случайных процессов.

Так как свойства стационарного процесса во многом определяются свойствами корреляционной функции, то для изучения стационарного процесса нужно, в первую очередь, определить свойства корреляционной функции.