§9.4. Вынужденные колебания. Резонанс.

Для поддержания колебаний необходимо компенсировать потери колебательной энергии с помощью какого-либо внешнего источника. Очевидно, что внешняя сила, поддерживающая колебания, не может быть постоянной или действовать однократно. Она должна быть периодической. В простейшем случае это может быть гармонически изменяющаяся сила:

F=F₀ sint. Такую силу называют вынуждающей, а колебания под действием вынуждающей силы - вынужденными. В уравнении движения помимо возвращающей силы и силы трения появится еще вынуждающая сила:

md²x/dt²=-kx-rv+F_o sint. (9.4.1)

Используя обозначения, введенные в уравнении (9.3.2), получим:

d²x/dt²+2 dx/dt+₀²x =(F₀/m)sint. (9.4.2)

Это уравнение отличается от (9.3.2) только наличием правой части, т.е. является неоднородным. Из математики известно, что его решение есть сумма двух решений: общего решения соответствующего однородного уравнения (это затухающие колебания) и частного решения уравнения (9.4.2). По прошествии некоторого времени вследствие затухания первое слагаемое обратится в ноль и в установившемся режиме движение описывается только вторым слагаемым - частным решением. Найдем его. Из опыта понятно, что под действием периодической силы система будет колебаться с частотой этой силы. Поэтому решение уравнения (1.43) логично предположить в виде:

x=Asin(t+). (9.4.3)

A и  - постоянные, соответственно амплитуда и начальная фаза, значения которых надо определить. Для этого подставим (9.4.3) в (9.4.2) .В результате получим:

A(₀²-²)sin(t+)+2A cos(t+)=(F₀/m)sint (9.4.4)

П отребуем, чтобы последнее уравнение обратилось в тождество. Для этого воспользуемся методом векторных диаграмм. В левой части (9.4.4) складываются два гармонических колебания с одинаковыми частотами и отличающимися на /2 начальными фазами. Их можно изобразить взаимно перпендикулярными векторами и сложив, получить вектор, соответствующий правой части (9.4.4), что представлено на рис.43. Используя простые математические преобразования, получим:

A=(F/m)/ (9.4.5)

tg=-2 /(₀²-²) (9.4.6)

Из этих формул следует, что амплитуда и начальная фаза вынужденных колебаний не зависят от начальных условий, а определяются только параметрами колебательной системы и возвращающей силы. Это закономерно, так как мы рассматриваем установившийся режим, когда свободные колебания уже “затухли” и система “забыла” свое начальное состояние.

Рассмотрим, как влияет частота вынуждающей силы  на величину амплитуды A. Из формулы (9.4.5) следует, что при =0 (постоянная сила) система сместилась на расстояние x₀=A=F₀/(m₀²)=F₀/k и вновь уравновесилась. Если , то A0. Это означает, что вследствие инерционности система не успевает реагировать на слишком часто изменяющееся направление внешнего воздействия и остается на месте. При некотором значении частоты вынуждающей силы амплитуда резко возрастает и достигает максимума. Это явление называется резонансом, а соответствующая частота - резонансной частотой _р. Очевидно, что резонансная частота соответствует минимуму подкоренного выражения в формуле (9.4.5). Дифференцируя его и приравнивая результат к нулю (т.е. проведя исследование функции на экстремум), получим:

_р= . (9.4.7)

Проанализируем полученную формулу: трение препятствует движению, замедляет его, увеличивая период и уменьшая резонансную частоту по сравнению с частотой собственных колебаний. Если трение мало (₀), то резонансная частота практически совпадает с собственной частотой.

Подставим в формулу (1.4.5) формулу (1.4.7), найдем резонансную амплитуду:

А_р = (9.4.8)

В частности, при ₀

А_р  (9.4.9)

А если 0, то А_р. Существует правило: солдаты строем по мосту не ходят. Оно делается вполне понятным, если вспомнить про резонанс.

С энергетической точки зрения резонанс представляет собой способность колебательной системы активно поглощать энергию, сообщаемую ему источником колебания. Резонанс – это максимально благоприятный отклик колебательной системы на внешнее воздействие. Анализируя способность студентов усваивать учебный материал, можно сказать, что ближе к концу семестра возникает резонанс: студенты на лету схватывают сообщаемую им преподавателями учебную информацию.