- •Предмет физики
- •Раздел 1. Физические основы механики.
- •Глава 1. Кинематика.
- •§1.1. Инерциальные системы отсчета. Принцип относительности.
- •§1.2. Кинематика поступательного и вращательного движений.
- •§1.3. Закон (кинематическое уравнение) движения
- •§1.4. Скорость
- •§1.5. Ускорение
- •§1.6. Равномерное и равнопеременное движения.
- •§ 1.7. Связь между линейными и угловыми кинематическими характеристиками.
- •§ 1.8. Краткие итоги главы 1.
- •§ 1.9. Примеры
- •Глава 2. Динамика
- •§2.1. Задача динамики. Динамические характеристики
- •§2.2. Виды сил.
- •§2.4. Момент инерции.
- •§2.5. Момент силы.
- •§2.6. Уравнение динамики
- •§2.7. Итоги главы 2.
- •П римеры
- •Глава 3. Законы сохранения в механике.
- •§ 3.1.Фундаментальный характер законов сохранения
- •§ 3.2. Закон сохранения импульса.
- •§3.3.. Работа силы. Мощность.
- •§ 3.4. Механическая энергия.
- •§ 3.5. Закон сохранения механической энергии
- •§ 3.6. Столкновения тел
- •§ 3.5. Закон сохранения момента импульса
- •§ 3.6. Итоги главы 3
- •Примеры
- •Глава 4. Элементы специальной теории относительности
- •§ 4.1. Закон сложения скоростей. Постулат о скорости света
- •§ 4.2. Релятивистское сокращение длины и замедление времени
- •§ 4.3. Релятивистская динамика
- •Примеры
- •Раздел 2. Электромагнетизм
- •Глава 5. Электростатика
- •§ 5.1.Электрический заряд. Закон Кулона.
- •§5.2. Электрическое поле. Напряженность.
- •§ 5.3. Теорема Гаусса.
- •§ 5.4. Потенциал и работа электростатического поля.
- •§ 5.5. Связь напряженности и потенциала электростатического поля.
- •§ 5.6. Электростатическое поле в веществе.
- •§ 5.7. Электроемкость. Конденсатор.
- •§ 5.8. Энергия электрического поля.
- •Глава 6. Постоянный электрический ток.
- •§ 6.1. Электрический ток: сила тока, плотность тока
- •§ 6.2. Механизм электропроводности
- •§ 6.3. Законы постоянного тока.
- •§ 6.4. Работа и мощность тока
- •Глава 7. Магнитное поле тока
- •§ 7.1 Магнитное взаимодействие. Магнитное поле
- •§ 7.2. Закон Био-Савара-Лапласа
- •§ 7.3. Вихревой характер магнитного поля.
- •§ 7.4. Действие магнитного поля на токи и движущиеся электрические заряды
- •§ 7.5. Магнитное поле в веществе
- •Глава 8. Явление электромагнитной индукции
- •§ 8.1. Основной закон электромагнитной индукции
- •§ 8.2. Самоиндукция и взаимная индукция
- •§ 8.3. Энергия магнитного поля
- •§ 8.4. Вихревое электрическое поле. Уравнения Максвелла
- •Раздел 3. Физика колебаний и волн
- •Глава 9. Свободные и вынужденные колебания
- •§ 9.1. Гармонический осциллятор
- •Подведем итоги:
- •§ 9.2. Примеры гармонических осцилляторов.
- •1) Физический маятник
- •§ 9.3. Затухающие колебания
- •§9.4. Вынужденные колебания. Резонанс.
- •Глава 10. Волны
- •§ 10.1.Упругие волны
- •§ 10.2. Электромагнитные волны
- •§ 10.3.Энергия волн
- •§ 10.4. Волны и передача информации
- •Глава 11. Волновая оптика
- •§ 11.1.Световая волна
- •§ 11.2. Интерференция. Когерентность.
- •§ 11.3.Способы наблюдения интерференции света
- •§ 11.4. Дифракция. Условия ее наблюдения. Принцип Гюйгенса - Френеля
- •§ 3.5. Метод зон Френеля.
- •§ 11.6. Дифракция на щели. Дифракционная решетка как спектральный прибор.
- •§ 11.7. Голография
- •§ 11.8. Поляризация света.
- •§ 11.9. Рис. 3.12 Получение и применение поляризованного света
§ 9.3. Затухающие колебания
Опыт показывает, что свободные колебания реальных физических систем затухают, так как первоначальный запас энергии колебаний расходуется на преодоление сопротивления и превращается в теплоту, излучение и т.д. Количественной характеристикой затухания служит добротность колебательной системы - Q, равная отношению энергии колебаний W к ее потерям W23:
Q=W/W (9.3.1)
Из определения следует, чем больше добротность, тем медленнее затухают колебания, и тем ближе колебательная система к идеальной. Добротность гармонического осциллятора равна бесконечности.
Рассмотрим свободные колебания пружинного маятника и учтем тормозящее действие на него окружающей среды (например, воздуха). Помимо возвращающей силы Fвозвр=-kx действует сила вязкого трения Fтр=-r, где r - постоянный коэффициент, зависящий от размеров и формы тела, а также от вязкости среды, - скорость тела.. Запишем уравнение движения : md2x/dt2=-kx-r. Учитывая, что =dx/dt, и введя новые обозначения постоянных коэффициентов 2 =r/m и 02=k/m. (их физический смысл выясним чуть позже), получаем линейное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами и без правой части:
d2x/dt2+2dx/dt+02x=0. (9.3.2)
Из математики известно, что его решение имеет вид;
x=C1 exp(1t)+C2 exp(2t), (9.3.3)
где С1 и C2 - постоянные, 1 и 2 - корни характеристического уравнения 2+2+02=0, равные 1,2=- .
Проанализируем физический смысл полученного результата. Если силы трения малы, т.е.
2-02 <0, то закон движения (1.3.3) удобно записать в виде:
x =A0 exp(- t)sin( t+0), (9.3.4)
где A0 и 0 - постоянные, определяемые начальными условиями, т.е. начальным смещением - x0 и начальной скоростью - υ0 при t=0. На рис.42 этот закон движения представлен графиком. Это колебание не является гармоническим, так как размах колебаний уменьшается, поэтому понятия “частота”, “период”, “амплитуда” к нему можно применять условно. Промежуток времени между двумя последовательными максимальными отклонениями маятника от положения равновесия в одну и ту же сторону называют периодом колебаний Т. Циклическая частота
=(02 - 2)1/2 (9.3.5)
Она тем меньше, а период колебаний T=2/ тем больше, чем больше . Коэффициент перед синусом в законе движения называют амплитудой затухающих колебаний:
A=A0 e- t (9.3.6)
На графике она изображена тонкой линией, огибающей максимальные смещения маятника от положения равновесия. Чем больше коэффициент , т.е чем больше трение, тем быстрее затухают колебания. Коэффициент называют коэффициентом затухания. Обратите внимание, что t- есть показатель степени, безразмерная величина, так что коэффициент затухания измеряют в СИ в с-1. Таким образом, трение тормозит движение колебательной системы, увеличивая период колебаний и уменьшая их размах. В идеальной колебательной системе без трения (=0) частота свободных колебаний =0 и определяется только свойствами самой колебательной системы (упругостью и массой маятника), поэтому 0 называется собственной циклической частотой.
В качестве количественной характеристики скорости затухания колебаний используют декремент затухания, равный отношению амплитуд двух следующих друг за другом колебаний: A(t)/A(t+T). Логарифм этого отношения называют логарифмическим декрементом затухания:
=lnA(t)/A(t+T)=T (9.3.7)
Выясним его физический смысл. Промежуток времени , в течение которого амплитуда уменьшается в е=2,7 раз, называют временем жизни (или временем релаксации) колебаний. Из формулы (9.3.6) следует, что
=1/ (9.3.8)
За время система совершает Nе колебаний. Используя (9.3.7) и (9.3.8), получим:
Ne=/T=/=1/ (9.3.9)
Таким образом, логарифмический декремент затухания равен обратному числу колебаний, уменьшающему амплитуду в е раз. Естественно, что логарифмический декремент затухания связан с добротностью Q:
Q=/=Ne (9.3.10)
Если силы трения велики (т.е. 2-02 0), то при 0, как следует из формулы (9.3.5), , следовательно, . Это означает, что система, будучи выведена из положения равновесия, плавно возвращается к нему. Такой процесс называется апериодическим (т.е. непериодическим). Попробуйте самостоятельно нарисовать два примера апериодических законов движения: мысленно поместите пружинный маятник в очень вязкую среду, отклоните его от положения равновесия и толкните его в первом примере к положению равновесия, а во втором примере в противоположную сторону. Как разные начальные условия отразятся на этих графиках?
Свободные колебания часто встречаются в технике. Если колебания должны поддерживаться длительное время, то затухание вредно и с ним нужно бороться, уменьшая трение. В таких случаях в механических устройствах применяют смазку, подшипники и т.п. Например, в механических часах опоры осей делают конической формы из твердых камней (агат, рубин). Если колебания нежелательны, их стремятся погасить, увеличивая трение с помощью успокоителей (демпферов). Подобные устройства используются в звеньях механических машин, гидравлических устройствах, электроизмерительных приборах.
Нередко к наличию колебаний следует подходить диалектически. Гасить их чрезмерной жесткостью опасно, так как это приводит к ударам, разрушающим здания, перевозимые грузы, станки, стрелки измерительных приборов. Подобные удары амортизируют упругими подвесками, растяжками: сейсмическую стойкость зданий обеспечивают мощной упругой “подушкой“; столы для чувствительных измерений, кузова автомобилей, перевозимые хрупкие предметы крепят на упругих подвесках.
Подведем итоги:
1.Уравнение движения свободных механических колебаний в присутствии сил вязкого трения имеет вид: d2x/dt2+2 dx/dt+02x=0, где - коэффициент затухания,0 - собственная циклическая частота.
2.Характер закона движения определяется величиной трения. Если трение мало (математически это выражается так: <<0), то колебания похожи на гармонические, однако их амплитуда экспоненциально уменьшается со временем; и такие колебания называются затухающими. Быстрота затухания (диссипации энергии) характеризуется логарифмическим декрементом затухания, временем жизни колебаний, добротностью колебательной системы. Эти характеристики взаимосвязаны между собой. Если трение велико ( 0 ), то движение становится апериодическим.
3.Закономерности свободных колебаний, установленные нами для механического движения, справедливы для колебаний любой физической природы, в частности, для электромагнитных колебаний в электрическом колебательном контуре, имеющем сопротивление.