Подведем итоги:

1. Система, уравнение движения которой имеет вид

(9.1.13)

является гармоническим осциллятором, совершающим колебания с круговой частотой = .

2. Частота собственных колебаний определяется параметрами колебательной системы и не зависит от внешних условий, в частности, от запаса энергии, сообщенной осциллятору при возбуждении колебаний .

3. При гармонических колебаниях механического осциллятора гармонически колеблются смещение, скорость, ускорение, возвращающая сила, причем, частоты их колебаний совпадают, а амплитуды и фазы колебаний разных характеристик движения согласованы; кинетическая и потенциальная энергии колеблются с удвоенной частотой в противофазе, тогда как полная энергия сохраняется.

§ 9.2. Примеры гармонических осцилляторов.

Реальные физические системы при малых отклонениях от положения равновесия можно считать гармоническими осцилляторами, если силы сопротивления малы. Рассмотрим такие системы.

1) Физический маятник

Тело, подвешенное на горизонтальной оси, не проходящей через его центр тяжести, и выведенное из положения равновесия, качается под действием силы тяжести mg.. Такое твердое тело и есть физический маятник (рис.40) Неподвижная горизонтальная ось перпендикулярна плоскости рисунка и проходит через точку O. Центр тяжести тела – точка C. Расстояние OC обозначим b. Составим уравнение движения этого тела, для чего используем основной закон динамики вращательного движения:  = M, где  - момент инерции тела относительно оси O,  - угловое ускорение, =d²/dt², где  - угол отклонения прямой OC от вертикали, M - момент силы относительно оси O. На тело действует сила тяжести mg, приложенная в центре тяжести C, и сила реакции опоры, приложенная в точке O. В положении равновесия эти силы направлены вдоль прямой OC в противоположные стороны и уравновешивают друг друга, если тело покоится. При отклонении тела на угол  сила тяжести создает момент M = - mgb sin..Знак “ минус “ обусловлен противоположными направлениями векторов d и M. Пренебрегая трением в подвесе и сопротивлением воздуха, получим:

d² /dt² = - mgbsin (9.2.1)

Для малых углов sin, так что уравнение движения примет вид:

d²/dt² + (mgb/) = 0 (9.2.2)

Сравнивая (9.1.13) и (9.2.2), видим, что малые колебания физического маятника являются гармоническими с периодом

T=2 (9.2.3)

Примерами физических маятников могут служить маятники часов, раскачиваемые ветром линии электропередач, здания, поднимаемые грузы, перевозимые в цистернах жидкости и т. п.

2) Математический маятник - маленький груз (материальная точка) массы m , подвешенный на невесомой нерастяжимой нити длиной l. Он является частным случаем физического маятника с моментом инерции  =ml² и расстоянием от точки подвеса до центра тяжести b=l, так что

T = 2 (9.2.4)

Формулу (9.2.4) используют для определения с высокой точностью ускорения свободного падения g, зависящего от плотности залегающих в земле пород, и применяют в геологоразведке.

Физический маятник характеризуют приведенной длиной L. Она равна длине математического маятника, колеблющегося с тем же периодом, что и физический. Из сравнения формул (9.2.3) и (9.2.4) следует: L= /mb.

Роль возвращающей силы при колебаниях физического и математического маятников играет составляющая силы тяжести, которая является консервативной, поэтому полная механическая энергия колебаний сохраняется.

3) Колебательный контур.

Убедимся в том, что процессы, происходящие в гармонических осцилляторах любой физической природы, подчиняются одинаковым закономерностям.

Рассмотрим замкнутую электрическую цепь, состоящую из конденсатора емкостью C и катушки с индуктивностью L (рис.41). Равновесие в такой цепи означает электрическую нейтральность всех ее участков. При отклонении от равновесия происходит смещение положительных зарядов относительно отрицательных. Этого можно достичь, зарядив конденсатор, т.е. переместив некоторое количество свободных электронов с одной пластины на другую. Для этого достаточно присоединить конденсатор к источнику постоянного тока, при этом на одной пластине тут же появится избыточный положительный заряд, а на другой - такой же по модулю отрицательный заряд. Возникшее электрическое поле будет работать как возвращающая сила. Отключение источника тока и соединение обкладок конденсатора друг с другом через катушку индуктивности создаст второе условие возникновения колебаний - инерционность системы: ток в катушке не может сразу прекратиться вследствие явления самоиндукции.

Составим уравнение движения заряда. Уравнением движения для электрической цепи является закон Ома или, что то же самое, второе правило Кирхгофа. Согласно ему, сумма падений напряжений на всех участках замкнутого контура равна сумме ЭДС, действующих в этом контуре. Напряжение U на конденсаторе и его заряд q связаны между собой соотношением U=q/C. Катушка при протекании по ней изменяющегося тока становится источником тока с ЭДС ε = - L di/dt . Таким образом, уравнение движения для рассматриваемой колебательной системы примет вид:

q/C = - L di/dt (9.2.5)

Учитывая, что i=dq/dt, получим уже знакомое нам уравнение гармонического осциллятора:

d²q/dt² + (1/LC)q=0 (9.2.6)

Его решение имеет вид:

q=q_m cos(t+₀) (9.2.7)

где

 = (9.2.8)

При этом напряжение на конденсаторе колеблется синфазно с зарядом:

U=(q_m/C)cos(t+₀) (9.2.9)

а ток опережает по фазе напряжение на /2:

i=q_m sin(t+₀₎ (9.2.10)

Энергия электрического поля в конденсаторе

W_э=q²/(2C)=(q_m²/2C)cos²(t+₀) (9.2.11)

и энергия магнитного поля в катушке

W_м= Li²/2 = Lq_m² ²sin²(t+₀) (9.2.12)

со временем изменяются подобно потенциальной и кинетической энергиям при механических колебаниях, тогда как полная энергия колебаний сохраняется:

W =Wэ+Wм=q_м ²/2С=Lq_м ² ²/2 (9.2.13)

Таким образом, колебания в контуре по своей природе являются электромагнитными и происходят с периодом, выражаемым известной из школы формулой Томсона:

T = 2 (9.2.14)

В современной технике электромагнитные колебания играют значительно большую роль, нежели механические, так как лежат в основе устройств связи, телевидения, радиолокации, энергетики, всевозможных электронных и электромагнитных приборов.