47.Комбинаторика элементтері

№48.Ықтималдықтардың қосу ж\е көбейу теоремалары. Үйлесімсіз екі оқиға қосындысының ықтималдығы осы оқиғалардың ықтималдықтарының қосындысына тең болады: . Бұл теорема оқиғалар саны екіден көп болғанда да дұрыс болады: егер А₁, А₂, ..., А_n оқиғалар қос-қостан үйлесімсіз болса, онда Егер А₁, А₂, ..., А_n оқиғалар қос-қостан үйлесімсіз және оқиғалардың толық тобын құраса, онда .Тәжірибе нәтижесінде мүмкін болатын екі оқиғаның бірінің пайда болуы екіншісін болдырмаса, ол оқиғалар қарама-қарсы оқиғалар деп аталады А оқиғасына қарама-қарсы оқиғаны деп белгілейді. Қарама қарсы оқиғалардың ықтималдықтарының қосындысы бірге тең:

. Екі оқиғаның бiреуiнiң пайда болуы екiншiсiнiң пайда болу ықтималдығын өзгертпесе олар тәуелсiз деп аталады. Ал екі оқиғаның бiреуiнiң пайда болуы екiншiсiнiң пайда болу ықтималдығын өзгертсе, олар тәуелдi деп аталады. Тәуелсіз А мен В оқиғаларының көбейтіндісінің ықтималдығы әр оқиға ықтималдықтарының көбейтіндісіне тең: Бұл оқиғалар саны екіден көп болғанда да дұрыс болады: егер А₁, А₂, ..., А_n оқиғалар қос-қостан тәуелсіз болса, онда .

№49. Шартты ықтималдық.Тәуелді оқиғалар. Шартты ықтималдық. В оқиғасының ықтималдығы А оқиғасының болған болмағанына тәуелді болатын жағдайлар болады. Сондықтан деп, шартты ықтималдық, А оқиғасы орындалып кетті деп есептегендегі В оқиғасының ықтималдығын белгілейді. Екі оқиғаның бiреуiнiң пайда болуы екiншiсiнiң пайда болу ықтималдығын өзгертпесе олар тәуелсiз деп аталады. Ал екі оқиғаның бiреуiнiң пайда болуы екiншiсiнiң пайда болу ықтималдығын өзгертсе, олар тәуелдi деп аталады

№51. Тәуелсіз сынақтар үшін Бернулли формуласы.Пуассон формуласы. Тәуелсіз п рет тәжірибе жасадық дейік. Әр жолы ізделінді А оқиғаның пайда болу ықтималдығы тұрақты болсын. Онда А оқиғасының пайда болмауы болады. Енді осы тәжірибелер нәтижесінде А оқиғасы k рет пайда болу ықтималдығын деп белгілейді және ол мынаған тең:

Осы формуланы Бернулли формуласы деп атайды.

Егер тәжірибелер саны көп болып (п ), ондағы А оқиғасының пайда болу ықтималдығы ( ) аз болса, ықтималдықты Пуассон формуласымен есептеу қолайлы: мұндағы, , және деп есептейміз. Пуассон формуласын көбінесе деп жазады және ықтималдықтар теориясы оқулықтарында Пуассон функциясының кестесі беріледі.

52. Кездейсоқ шама.Дискретті кездейсоқ шаманың үлестірім заңдылығы. Тәжiрибе нәтижесiнде алдын-ала белгiсiз, бiрақ нақтылы бiр мән ғана қабылдайтын шаманы кездейсоқ шама деймiз. Кездейсоқ шамаларды латын алфабитiнiң үлкен әрiптерiмен (Х, У, Z), ал олардың қабылдайтын мүмкiн мәндерiн кiшi әрiптерiмен (х₁, х₂,..., х_п ,у₁,у₂,..., z₁, z₂,...) белгiлейдi. Ақырлы немесе ақырсыз саналатын мәндер қабылдайтын кездейсоқ шаманы дискреттi кездейсоқ шама деп атайды. Кездейсоқ шаманың қабылдайтын мәндерi мен олардың сәйкес ықтималдықтарын көрсетiп жазуды дискреттi кездейсоқ шаманың үлестiрiм заңы деп атайды.Дискреттi кездейсоқ шаманың үлестiрiм заңы кездейсоқ шаманы толық сипаттайды. Бұл заңды кесте түрiнде жазып не графиктiк түрде салып көрсетедi. Кесте түрiнде жазып көрсеткенде бiрiншi жолға кездейсоқ шаманың қабылдайтын мүмкiн мәндерi жазылады да, екiншi жолда кездейсоқ шаманың сол мәндердi қабылдау ықтималдығы жазылады. Х кездейсоқ шаманың х₁ мәндi қабылдау ықтималдығын р₁ , х₂ мәндi қабылдау ықтималдығын р₂ , т.с.с., х_п мәндi қабылдау ықтималдығын р_п деп белгiлесек кесте мына түрде жазылàды:

53.Дискретті кездейсоқ шаманың сандық сипаттамалары. Кездейсоқ шама өзiнiң үлестiрiм заңымен толық сипатталады. Бiрақ күнделiктi өмiрде кездейсоқ шаманың барлық мүмкiн мәндерi мен сәйкес ықтималдықтарын толық бiлу мiндеттi емес. Кездейсоқ шама жөнiнде бiлгiмiз келген кейбiр деректердi оның басқа да сипаттамаларына қарап анықтай алады екенбiз. Мұндай сипаттамаларға кездейсоқ шаманың математикалық үмiтi, дисперсиясы, орта квадраттық ауытқуы және т.б. сандық сипаттамалары жатады. Кездейсоқ шаманың барлық мүмкiн мәндерiн сәйкес ықтималдықтарына көбейтiп қосқаннан шыққан санды кездейсоқ шаманың математикалық үмiтi деп атайды да, М(Х) деп белгiлейдi.Кездейсоқ шаманың математикалық үмiттен ауытқуы квадратының математикалық үмiтiн дисперсия деп атайды да, D(X) деп белгiлейдi:D(Х)=М{Х-М(Х)}².

54.Үзіліссіз кездейсоқ шама.Ықтималдықтардың үлесірім заңдылығы ж\е негізгі сандық сипаттамалар. Ақырлы немесе ақырсыз аралықтағы кез келген мәндi қабылдай алатын кездейсоқ шаманы үзiлiссiз кездейсоқ шама деп атайды. Биномдық үлестірім. Егер Х кездейсоқ шаманың қабылдайтын мүмкін мәндері болып, ал осы мәндерді қабылдау ықтималдығы Бернулли формуласымен анықталса онда кездейсоқ шама биномдық үлестірім заңымен берілген деп аталады . теорема: Биномдық үлестірім заңы берілген Х кездейсоқ шамасының математикалыұ күтімі М(х)=np, ал дисперсиясы Д(х)=npq тең. Пуассон үлестірімі. Егер Х кездейсоқ шаманың қабылдайтын мүмкін мәндері болып, ал осы мәндерді қабылдау ықтималдығы Пуассон формуласымен анықталса онда кездейсоқ шама Пуассон үлестірім заңымен берілген деп аталады. Теорема: Пуассон үлестірім заңымен берілген кездейсоқ шаманың математикалық үміті мен дисперсиясы мынаған тең: M(x)=λ. D(x)=λ.Бірқалыпты үлестірім. Үзіліссіз кездейсоқ шаманың үлестірім тығыздығы аралығында тұрақты болып, одан тыс жерде 0-ге тең болса, онда кездейсоқ шама бірқалыпты үлестірілген деп аталады: .Көрсеткішті (экспоненциалды) үлестірім.Егер кездейсоқ шаманың үлестірім тығыздығы арқылы берілсе, онда ол көрсеткіштік үлестірім заңымен берілген деп аталады. Қалыпты үлестірім. Егер кездейсоқ шаманың үлестірім тығыздығы арқылы берілсе, онда ол қалыпты үлестірім заңымен берілген дейді.

55.Биномдық және Пуассон үлестірімі . Биномдық үлестірім. Егер Х кездейсоқ шаманың қабылдайтын мүмкін мәндері болып, ал осы мәндерді қабылдау ықтималдығы Бернулли формуласымен анықталса онда кездейсоқ шама биномдық үлестірім заңымен берілген деп аталады . теорема: Биномдық үлестірім заңы берілген Х кездейсоқ шамасының математикалыұ күтімі М(х)=np, ал дисперсиясы Д(х)=npq тең. Пуассон үлестірімі. Егер Х кездейсоқ шаманың қабылдайтын мүмкін мәндері болып, ал осы мәндерді қабылдау ықтималдығы Пуассон формуласымен анықталса онда кездейсоқ шама Пуассон үлестірім заңымен берілген деп аталады. Теорема: Пуассон үлестірім заңымен берілген кездейсоқ шаманың математикалық үміті мен дисперсиясы мынаған тең: M(x)=λ. D(x)=λ