Вариант № 1.

1. Имеется 10 билетов, из которых 4 выигрышных. Наудачу берутся три билета. Какова вероятность, что все билеты выигрышные?

2. На отрезке длиной 10 наудачу поставлены две точки. Какова вероятность, что расстояние между ними меньше 2?

3. В первой партии имеется 8 деталей, из которых 2 бракованных, а во второй – 9 деталей, из которых 3 бракованных. Из каждой партии наудачу берётся по одной детали. Найти вероятность того, что хотя бы одна из этих деталей бракованная.

4. Из десяти стрелков три попадают в мишень с вероятностью 0,8, пять – с вероятностью 0,7 и два – с вероятностью 0,6. Наудачу выбранный стрелок произвёл выстрел и попал в мишень. Какова вероятность, что этот стрелок принадлежал к первой группе?

5. Вероятность того, что лампа останется исправной после 1000 часов работы, равна 0,3. Имеется четыре независимо работающих лампы. Построить ряд распределения случайной величины Х – числа ламп, оставшихся исправными после 1000 часов работы.

6. Плотность вероятности случайной величины Х задана на всей числовой оси равенством . Найти функцию распределения и .

Вариант № 2.

1. Имеется 10 изделий, из которых 2 первосортных. Наудачу берутся пять изделий. Какова вероятность, что среди них нет первосортных?

2. В круг радиуса R вписан квадрат. Найти вероятность того, что четыре наугад поставленные в круге точки окажутся внутри квадрата.

3. В первой коробке имеется 8 синих и 2 красных карандаша, а во второй – 3 синих и 7 красных. Из обеих коробок наудачу извлекается по одному карандашу. Какова вероятность, что эти карандаши разного цвета?

4. Имеется пять урн, в четырёх из которых находятся по три чёрных и по два белых шара, а в одной – только пять белых шаров. Из выбранной наудачу урны извлечён шар, который оказался белым. Найти вероятность того, что этот шар извлечён из урны, содержащей пять белых шаров.

5. Вероятность выпадения герба при бросании монеты равна 0,5. Построить ряд распределения случайной величины Х – числа выпадений герба при шести независимых бросаниях монеты.

6. Плотность вероятности случайной величины Х имеет вид . Найти коэффициент а и .

Вариант № 3.

1. Имеется 10 деталей, из которых 3 бракованных. Наудачу берутся четыре детали. Какова вероятность, что одна из них бракованная?

2. В квадрат со стороной а вписан круг. Найти вероятность того, что пять наугад поставленных в квадрате точек окажутся внутри круга.

3. В первой урне имеется 7 белых и 3 чёрных шара, а во второй – 4 белых и 6 чёрных. Из обеих урн наудачу извлекается по одному шару. Какова вероятность, что оба шара одного цвета?

4. Имеются две партии изделий по 7 и 5 штук, причём в каждой партии одно изделие первосортное. Изделие, взятое наудачу из первой партии, переложено во вторую, после чего выбирается наудачу изделие из второй партии. Найти вероятность извлечения первосортного изделия из второй партии.

5. Вероятность попадания стрелком в мишень при одном выстреле равна 0,8. Построить ряд распределения случайной величины Х – числа попаданий в мишень при четырёх независимых выстрелах.

6. Функция распределения случайной величины Х имеет вид . Найти и плотность вероятности .

Вариант № 4.

1. В урне имеется 10 шаров, из которых 6 чёрных, остальные – белые. Наудачу берутся четыре шара. Какова вероятность, что все шары чёрные?

2. В круг радиуса 5 см вписан квадрат. Найти вероятность того, что четыре наугад поставленные в круге точки окажутся за пределами квадрата.

3. В первой коробке имеется 7 синих и 3 красных карандаша, а во второй – 2 синих и 8 красных. Из обеих коробок наудачу извлекается по одному карандашу. Какова вероятность, что эти карандаши одного цвета?

4. Из восьми стрелков два попадают в мишень с вероятностью 0,9, три – с вероятностью 0,8 и три – с вероятностью 0,7. Наудачу выбранный стрелок произвёл выстрел и попал в мишень. Какова вероятность, что этот стрелок принадлежал ко второй группе?

5. Вероятность выпадения герба при бросании монеты равна 0,5. Построить ряд распределения случайной величины Х – числа выпадений герба при семи независимых бросаниях монеты.