5.2 Случайная погрешность результата косвенных измерений. Суммирование погрешностей

Пусть измеряемая величина функционально связана с одной или несколькими непосредственно измеряемыми величинами , т.е. . Абсолютная погрешность измерений

. (5.8)

Относительная погрешность результата измерений

. (5.9)

Если результаты прямых измерений определены с СКО , то

. (5.10)

При измерениях может быть несколько источников систематических и случайных погрешностей. При суммировании составляющих неисключенной систематической погрешности их конкретные реализации можно рассматривать как реализации СВ. Если известны границы составляющих неисключенной систематической погрешности, а распределение этих составляющих в пределах границ равномерно, то граница неисключенной систематической погрешности результата измерения рассчитывается по формуле

, (5.11)

где - коэффициент, определяемый принятой доверительной вероятностью. При доверительной вероятности 0,95 коэффициент (ГОСТ 8.207-76).

При суммировании случайных погрешностей необходимо учитывать их корреляционные связи. Суммарная средняя квадратическая погрешность при двух составляющих вычисляется по формуле

, (5.12)

где - средние квадратические погрешности отдельных составляющих; - коэффициент корреляции, причем для и при . Следовательно, при отсутствии корреляционной связи средние квадратические погрешности складываются геометрически, а при жесткой корреляционной зависимости – алгебраически [2].

Если отношение , то в соответствии с ГОСТ 8.207-76 неисключенными систематическими погрешностями по сравнению со случайными пренебрегают и принимаю, что граница погрешности результата измерений , где - коэффициент Стьюдента, определяемый из табл.5.2. Если , то пренебрегают случайной погрешностью по сравнению с систематической и считают, что граница погрешности результата .

6 Решение задач

Задача 1. В ходе опытов по измерению сопротивления резистора R, предназначенного для аттенюатора, получены значения, приведенные в таблице. Укажите доверительные границы истинного значения сопротивления при доверительной вероятности .

Вычисленные значения отклонений по формуле (5.3) сведены в таблицу.

1	560	-4,5	20,25
2	595	30,5	930,25
3	569	4,5	20,25
4	561	-3,5	12,25
5	559	-5,5	30,25
6	560	-4,5	20,25
7	555	-9,5	90,25
8	561	-3,5	12,25
9	562	-2,5	6,25
10	563	-1,5	2,25

Среднее арифметическое . Оценку СКО рассчитаем по формуле (5.5): . При этом .

Второе измерение сильно отличается от остальных. Проверим, не является ли оно грубой погрешностью. Доверительная вероятность . Максимальная погрешность . Из таблицы следует, что 30,5<33,84 и второе измерение не является грубой погрешностью для доверительной вероятности .

Оценка СКО среднего арифметического по формуле (5.6): . Доверительный интервал определим по доверительной вероятности , используя формулу (5.1):

.

Так как , то по таблице для интегралов вероятности (например, в [4]) находим: , т.е. . Таким образом, границы доверительного интервала:

или .

Задача 2. При многократном измерении температуры в производственной помещении получены значения в : 20,4; 20,2; 20,0; 20,5; 19,7; 20,3; 20,4; 20,1. Укажите доверительные границы истинного значения в помещении с вероятностью (коэффициент Стьюдента ).

Для числа измерений определяем среднее арифметическое температуры . Используя формулу (5.6) находим . По формуле (5.7) находим доверительные границы истинного значения температуры: при .

Задача 3. Мультиметр при измерении электрической емкости класса точности 2/1 на диапазоне до 2 мкФ показывает 0,8 мкФ. Определить предел допускаемой относительной погрешности прибора.

Для определения предела допускаемой погрешности СИ используется формула:

, (5.13)

где - класс точности СИ высокий (низкий); - предел шкалы измерений (показание прибора). Расчеты показывают, что .

Задача 4. При измерении электрического сопротивления нагрузки омметр показывает 85 Ом. СКО показаний , систематическая погрешность от подключения омметра в сеть . Найти доверительные границы для истинного значения сопротивления с вероятностью .

При решении задачи необходимо учитывать правило суммирования погрешностей. По условию задачи систематическая погрешность вычитается из показаний прибора, а случайная имеет знак , т.е. используется правило: . Тогда для .

Задача 5. Электрическое сопротивление нагрузки определяется по закону Ома . При измерении силы тока и напряжения получены значения: . Найти значение сопротивления .

Определим верхнее и нижнее значения сопротивления с учетом погрешностей: . С учетом данных пределов сопротивления результат измерения записывается в виде: .

Задача 6. При определении силы инерции по зависимости измерениями получено значение массы 100 кг и ускорение 2 м/с . СКО результатов измерений: . Найти случайную погрешность измерения силы с вероятностью .

Очевидно, что проводится косвенное измерение силы , когда результаты прямых измерений определены с СКО и . Случайная погрешность измерения силы в соответствии с формулой (5.10) определяется следующим образом:

(5.14)

и составляет .