- •Обчислювальний експеримент. Теорія попиту.
- •Абсолютна і відносна похибки
- •Методи розв’язання системи лінійних рівнянь (слр). Прямі методи слр.
- •Метод Гауса чисельного розв’язку слр.
- •Вивід розрахункових формул
- •Модифікація методу Гауса
- •Умови застосування методу Гауса і його зв'язок з розкладом матриці на множники.
- •Обчислення визначника
- •Обчислення обернених матриць
- •Обумовленість с-ми лінійних рівнянь Стійкість слар
- •Обумовленість слар, число обумовленості
- •Метод прогонки для розв’язання слар
- •Ітераційні методи розв’язання слар
- •Ітераційний метод Якобі
- •Ітераційний метод Зейделя
- •Канонічна форма однокрокових ітераційних методів
- •Приклад розв’язання методом Зейделя та Якобі
- •Метод простої ітерації
- •Дослідження збіжності ітераційних методів
- •Необхідна і достатня умова збіжності у стаціонарних методах
- •Оцінки швидкості збіжності стаціонарних ітераційних методів
- •Многочлени Чебишева 1-го роду і многочлени Чебишева на відрізку [0,1]
- •Многочлен Чебишева на проміжку [a,b]
- •Ітераційні методи Чебишовським набором параметрів
- •Неявний Чебишевський ітераційний метод
- •Інтерполяція функцій
- •Інтерполяційний многочлен Лагранжа
- •Розділені різниці. Інтерполяційний многочлен Ньютона
- •Властивості розділених різниць
- •Побудова інтерполяційного многочлена Ньютона
- •Приклад
- •Скінченні різниці
- •Формула залишкового члена інтерполяційного многочлена Лагранжа
- •Інтерполяції за допомогою раціональних функцій
- •Інтерполювання періодичних функцій
- •Інтерполяційний многочлен Ерміта
- •Збіжність інтерполяційних процесів
- •Інтерполяція сплайнами
Обчислення визначника
Одночасно з розв’язанням системи при застосуванні методу Гаусса шукають визначник матриці А.
; ,
- кількість перестановок рядків при відшуканні матриці L. Якщо ж матриця А є виродженою, тоді при використанні методу Гаусса на деякім k – кроці з вибором елемента у стовпці всі елементи k – го стовпця що знаходиться нижче головної діагоналі і на головній діагоналі будуть = 0.
Тоді при застосуванні методу Гаусса повинна виконуватись перевірка
Якщо хоча б один з цих елементів 0, то система може бути розв’язана методом Гаусса;
Якщо всі = 0, тоді розв’язання за методом Гаусса припиняється.
Обчислення обернених матриць
Відшукання обернених матриць еквівалентне розвязку рівняння (1)
(1)
(2)
Введем позначення
Розв’язання системи (2) еквівалентне розв’язанню m-систем (3)
При розвязанні кожної такої системи ми одержимо відповідний стовпець шуканої матриці.
Обумовленість с-ми лінійних рівнянь Стійкість слар
Під коректністю будемо розуміти, що розвязок поставленої задачі існує, він єдиний і неперервно залежить від початкових умов.
Будемо досліджувати с-му . Задача буде корректно поставлена, коли матриця невироджена. Для встановлення неперервної залежності треба виділити:
Що є вхідними даними для даної задачі;
В якому сенсі розрізняти цю неперервну залежність.
Вхідними для даної задачі є будемо розрізняти стійкість у правій частині, коли матриця А є незмінна і вектор має деякі зміни(збурення).
Стійкість коефіцієнта : коли - незмінний, змінні коефіцієнти матриці А.
Дослідимо стійкість у правій частині, коли -збурений. Зазвичай для задач які виникають із життя вектор не завжди можна точно отримати, тоді дивимось, яка неперервна залежність вхідних даних .
Для визначеня неперервної залежності введемо поняття норми для m-вимірних векторів. Простір називається нормованим, якщо кожному ставиться у відповідність деяке дійсне число, яке називається нормою і має задовольняти аксіомам норми:
;
Найчастіше вживані норми:
;
;
;
Нормою матриці наз. Таке число яка підпорядкована вектору x.
Матрична норма – максимум:
Властивості норми матриці:
;
(3) - система яка отримана з системи (1) зазнавши змін в правій частині.
Розв’язок буде називатися стійким, якщо для (4) , де і ця стала незалежить від правих частин, тоді нерівність (4) буде виражати факт неперервної залежності розвязку від правої частини, тобто якщо то .
Якщо , то с-ма (1) буде стійкою по правій частині. Із р-нянь (1) і (3) можемо записати с-му для похибок (5)
(6)
нерівність (6) еквівалентна (4)
нерівність (6) показує стійкість системи із матрицею відносно збурень правої частини. Відмітимо, чим ближче до нуля тим більш точною є М1 і тим сильніша похибка правої частини може впливати на розвязок.
Обумовленість слар, число обумовленості
Розв’яжемо як зв’язні відносні похибки розвязку правої частини
Перемножимо нерівності (6) і (7)
Число , яке виражене в (9) і входить в оцінку (8’) називається числом обумовленості матриці А. Це число характеризує ступінь залежності відносної похибки розв’язку від відносної похибки правої частини. Якщо число обумовленості є достатньо великим, то такі матриці називають погано обумовленими. На випливає також розмірність матриці і при чисельному розв’язанні систем з погано обумовленими матрицями можливе сильне накопичення похибки.
Властивості числа обумовленості:
Розглянемо систему, у якій збережена не тільки права частина, а і матриця А.
Теорема
Нехай матриця А має обернену і викнується нерівність тоді матриця має також обернену матрицю і тоді для відносної похибки розвязку буде справедлива нерівність