- •Обчислювальний експеримент. Теорія попиту.
- •Абсолютна і відносна похибки
- •Методи розв’язання системи лінійних рівнянь (слр). Прямі методи слр.
- •Метод Гауса чисельного розв’язку слр.
- •Вивід розрахункових формул
- •Модифікація методу Гауса
- •Умови застосування методу Гауса і його зв'язок з розкладом матриці на множники.
- •Обчислення визначника
- •Обчислення обернених матриць
- •Обумовленість с-ми лінійних рівнянь Стійкість слар
- •Обумовленість слар, число обумовленості
- •Метод прогонки для розв’язання слар
- •Ітераційні методи розв’язання слар
- •Ітераційний метод Якобі
- •Ітераційний метод Зейделя
- •Канонічна форма однокрокових ітераційних методів
- •Приклад розв’язання методом Зейделя та Якобі
- •Метод простої ітерації
- •Дослідження збіжності ітераційних методів
- •Необхідна і достатня умова збіжності у стаціонарних методах
- •Оцінки швидкості збіжності стаціонарних ітераційних методів
- •Многочлени Чебишева 1-го роду і многочлени Чебишева на відрізку [0,1]
- •Многочлен Чебишева на проміжку [a,b]
- •Ітераційні методи Чебишовським набором параметрів
- •Неявний Чебишевський ітераційний метод
- •Інтерполяція функцій
- •Інтерполяційний многочлен Лагранжа
- •Розділені різниці. Інтерполяційний многочлен Ньютона
- •Властивості розділених різниць
- •Побудова інтерполяційного многочлена Ньютона
- •Приклад
- •Скінченні різниці
- •Формула залишкового члена інтерполяційного многочлена Лагранжа
- •Інтерполяції за допомогою раціональних функцій
- •Інтерполювання періодичних функцій
- •Інтерполяційний многочлен Ерміта
- •Збіжність інтерполяційних процесів
- •Інтерполяція сплайнами
Інтерполяційний многочлен Ерміта
Нехай у вузлах інтерполяції , де вибирається з деякого проміжку і вузли інтерполяції є різними, , .
Задані значення функції для кожного вузла , та задані значення похідних , порядком .
Всіх відомих значень є для вузла інтерполяції.
Тоді потрібно побудувати алгебраїчний многочлен степеня n, де , для якого в одночас будуть виконуватись:
, , (1)
Такий многочлен, який задовольняє рівняння (1) називається інтерполяційний многочлен Ерміта.
Він буде мати вигляд:
Для відшукання коеф нам потрібно розв’язати лінійну алгебраїчну систему, яка випливає із рівності (1).
̶ назив кратністю вузла .
Число рівнянь системи (1) = .
Збіжність інтерполяційних процесів
При побудові кожного інтерполяційного многочлена виникає питання, чи буде збігатися до 0 похибка інтерполяції, якщо кількість вузлів необмежено збільшувати?
, при .
При збільшенні вузлів інтерполяції не завжди похибка , але якщо за вузли інтерполяції взяти корені многочлена Чебешева 1-го роду, то інтерполяційний процес може бути збіжним.
Означення(збіжності інтер. процесу).
Множину вузлів з проміжку , які є впорядкованими
До цих пір ми розглядали скінченні сітки, які складалися з скінченної кількості вузлів. Тепер розглянемо множину точок, у якої кількість вузлів буде зростати:
Нехай функція є визначеною і неперервною на проміжку . Тоді можемо задати послідовність інтерполяційних многочленів , побудованих для функцій , по x значення .
Інтерполяційний многочлен є збіжним в точці , якщо виконується .
Рівномірна збіжність має місце, якщо .
Властивість збіжності буде щалежати від двох факторів:
Від вибору сіток інтерполяції;
Від гладкості функції, яку ми наближаємо.
Теорема.
Якщо функція є нескінченне число разів диференційованою і всі її похідні обмежені на , , , , тоді – збігається рівномірно до на .
Теорема(Фабера).
Якою б не була послідовність сіток, знайдеться така функція на проміжку , що послідовність інтерполяційних многочленів не збігається рівномірно до функції на цьому проміжку.
Теорема(Марцікевича).
Якщо функція є неперервна на , то можемо підібрати таку послідовність сіток, для якої інтерполяційний многочлен буде збігатися рівномірно на заданому проміжку.
Як наслідок:
Якщо функція є цілою функцією, тобто її можна представити у виді то послідовність буде рівномірно збігатися до функції на .
Інтерполяція сплайнами
Означення.
Для того, щоб побудувати на якийсь інтерполяційний многочлен, цей проміжок розбивають на частинні відрізки і функцію на кожномуз відрізків записують многочленом не високого порядку.
Означення.
Сплайном називають кусково поліноміальну функцію, яка визначається на , яка має на цьому проміжку деяке визначене число неперервних похідних.
Означення.
Сплайном порядку з дефектом ладкості на називається функція, яка на кожному із проміжків є многочленом степеня не вищого ніж :
(1)
Цей поліном повинен задовольняти умові неперервних похідних до порядку:
(2)
Обов’язкова умова інтерполяційної функції:
, (3)
Побудуємо сплайн 1-го порядку:
(4)
Необхідно, щоб виконувалась умова близькості функції до сплайна
,
Для відшукання невідомих коефіцієнтів на проміжку розв’язується система:
Найбільше вживані є сплакни при .
+