- •Обчислювальний експеримент. Теорія попиту.
- •Абсолютна і відносна похибки
- •Методи розв’язання системи лінійних рівнянь (слр). Прямі методи слр.
- •Метод Гауса чисельного розв’язку слр.
- •Вивід розрахункових формул
- •Модифікація методу Гауса
- •Умови застосування методу Гауса і його зв'язок з розкладом матриці на множники.
- •Обчислення визначника
- •Обчислення обернених матриць
- •Обумовленість с-ми лінійних рівнянь Стійкість слар
- •Обумовленість слар, число обумовленості
- •Метод прогонки для розв’язання слар
- •Ітераційні методи розв’язання слар
- •Ітераційний метод Якобі
- •Ітераційний метод Зейделя
- •Канонічна форма однокрокових ітераційних методів
- •Приклад розв’язання методом Зейделя та Якобі
- •Метод простої ітерації
- •Дослідження збіжності ітераційних методів
- •Необхідна і достатня умова збіжності у стаціонарних методах
- •Оцінки швидкості збіжності стаціонарних ітераційних методів
- •Многочлени Чебишева 1-го роду і многочлени Чебишева на відрізку [0,1]
- •Многочлен Чебишева на проміжку [a,b]
- •Ітераційні методи Чебишовським набором параметрів
- •Неявний Чебишевський ітераційний метод
- •Інтерполяція функцій
- •Інтерполяційний многочлен Лагранжа
- •Розділені різниці. Інтерполяційний многочлен Ньютона
- •Властивості розділених різниць
- •Побудова інтерполяційного многочлена Ньютона
- •Приклад
- •Скінченні різниці
- •Формула залишкового члена інтерполяційного многочлена Лагранжа
- •Інтерполяції за допомогою раціональних функцій
- •Інтерполювання періодичних функцій
- •Інтерполяційний многочлен Ерміта
- •Збіжність інтерполяційних процесів
- •Інтерполяція сплайнами
Формула залишкового члена інтерполяційного многочлена Лагранжа
У випадку коли заміняємо на .
̶ похибка інтерполювання
̶ залишковий член інтерполяційного многочлена
Оцінимо дану похибку в
Для цього ми введемо в розгляд функцію:
(1)
Де k-const
(2)
Необхідно оцінити в ,
̶ який не э вузлом інтерполяції
k в (1) будемо шукати з припущення, що для тієї точки, для якої проводимо оцінку.
;
має Неперервну похідну на проміжку [a,b], а функція має менше ніж нули на [a,b].
має не менше ніж ”0” на [a,b].
має не менше ніж нулів.
має хоча б 1 нуль.
Ǝ
тоді похибку інтерполяції можемо представити у вигляді:
(3)
З (3) можемо зробити висновок, що інтерполяційний многочлен Ньютона є точним для многочлена степеня n.
(4)
Мінімізація похибки інтерполяційного многочлена в конкретних випадках ми можемо оцінити верхню межу n+1 похідної.
Величина похибки (4) буде залежати від величини.
Max| | ̶ мінімізація такої величини відбувається за допомогою вибору вузлів.
Ця задача розв’язуеться за допомогою многочлена Чебешева 1-го роду.
(5)
Тоді за вузли інтерполяції доцільно вибрати корені многочлена виду (5),
, (6)
Тоді ,
Тоді (4): (7)
Інтерполяції за допомогою раціональних функцій
Деколи нам зручніше будувати наближену функцію за допомогою раціональних або дробово-раціональних функцій.
Нехай функція задана своїми значеннями у вузлах і потрібно побудувати функцію:
(1)
Де числа є додатніми і виконується:
(2)
І повинна виконуватись умова близькості (2).
Рівність (2) представляє собою СЛАР з змінними .
Будемо вимагати, щоб кількість рівнянь системи співпадала з кількістю невідомих, тобто, щоб ;
Тоді отримаємо систему рівнянь:
(3)
,
Із системи (3) нам потрібно знайти коефіцієнти , де ,a .
Система (3) э достатньо громосткою, тому досить часто використовують дробово-лінійні інтерполяції, де інтерполяційний многочлен знаходиться за формулою:
, (4)
Припустимо, що функція задана у трьох вузлах інтерполяції:
Виконується умова близькості :
; ; ;
Ця задача є частиггим випадком системи (3) при , то для визначення коефіцієнта побудуємо систему виду (3).
; ;
Знайдемо розв’язок даної системи у явному вигляді:
Введемо у розгляд позначення:
; ;
; ;
; ;
Якщо , то з останнього рівняння можемо знайти .
Знайшовши , підставимо у рівність (4).
Зауваження. Будуючи інтерполяційний многочлен за допомогою раціональних функцій необхідно слідкувати, щоб знаменник виразу (1) або (4) не перетворився в 0.
Іншим моментом є вибір таких вузлів інтерполяції, при якому чисельник виразу (1) ділиться без остачі на знаменник. У цьому випадку дробово-лінійна функція перетвориться у константу.
Ці випадки можуть бути виключеними при розв’язуванні системи (3).
Інтерполювання періодичних функцій
Нехай нам необхідно деяку функцію , яка визначена на проміжку і є періодичною на цьому проміжку з періодами. Побудуємо деяку інтерполяційну функцію, яка у вузлах інтерполяцій на проміжку набуває тих самих значень, що і функція .
Так, як функція є періодичною функцією, то інтерполяційний многочлен будемо шукати у вигляді тригонометричного многочлена.
За систему функцій виберемо систему тригонометричних функцій, які періодичними на проміжку і
Можна показати, що на проміжку система функцій:
при є системою функцій Чебешева, тобто ⍱ тригонометричного многочлена вигляду
на проміжку має, більше ніж додатніх коренів. Тому для кожної визначеної на проміжку періодичної функції з періодом при ⍱ наборі і із проміжку тригоносетричний многочлен для функції , який на заданій системі вузлі, для якого викон , і такий многочлен має наступний вигляд:
, де
Тому для такого вибору , буде виконуватись умова близькості , .